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ii3.

loi

11 y a aussi des voies pour avoir les différences égales desdits quarrés : car, en la première colonne, si on multiplie 2^ par les sommes de tous les quarrés, lesquelles sommes sont i, 5, i], 3o, etc., on aura

(') Frciiiclo reprend la construction do trois carrés en progression arithmétique d'après les séries de triangles commençant par 5, 12, i3; 8, i5, 17.

■im (KUVIÎES l)l<: FKUMAT. — COr.l'.KSPONDANCi:.

les (lifrércncps des quarrés, cl on la s('C(M1(1o cdIoiuic, il faudroil tnulliplior ■2^\ par les sommes des seuls quarrés impairs.

Il V a d'antres choses à considérer lii-dessiis, que je n'ai pas mainlenanl le loisir de déduire plus au long.

6. Me voici Miaiiilenant ii l'endroit de votre Lettre , au(|U(d vous parlez des nombres ([ui sont la somme des deux petits colés d'un I riaugle (')<'!, sur ce sujet, je vous dois oler de l'opinion (]ne vous avez (|ne je ne susse pas que chacun de ces nouihres peut servir de dillérence à une infinité de (jnarrés et de donides (|uarrés. Vous vous êtes l'onde sur un avertissement que j(^ donnois, que les dits nombres sont toujours deux l'ois la dilTérence d'un quarré et d'un double quarré; mais je n'ai ])as dit (ju'ils fussent seulement deux f((is la dillérence d'un quarré et d'un double quarré, comme vous croyez avoir In. Il faudroit avoir bien peu de pratique aux nombres pour ne s'être pas aperçu d'abord que 7 est quatre fois la dillérence entre de fort petits nombres : savoir entre i et 8, 2 et 9, 18 et 2."), 2j et 32. K( je ne vous ai pas coté cela pour une propriété des dits nombres; mais, vous ayant demandé le moyen de trouver le triangle dont un nombre donné est la somme des côtés, sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont il est la dillérence (-), il falloit vous avertir (]ue les dits nombres éloicnl toujours deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré.

('ar il y a deux couples dont je me sers pour avoir le dit triangle, l'ar exemple, pour avoir le triangle dont 7 est la somme des deux (•ôtés, je me sers de i et iS, et de 2 et 9. Et, pource que j'étois pressé, je n'eus pas le loisir de m'éclaircir davantage. Je n'entends pas que les dits couples soient 2, 9 et iH, 2), comme vous avez cru, mais r, S cl 2, 9; et ce (jue j'observe en ceci est que les dites sommes sont deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré, en chaque couple desquels il y a un nombre moindre que la dilTérence donnée : savoir, il un des couples le quarré est moindre, et à l'autre couple c'est le

( ' ) /'oir Lcllrcs XLVIII, 11, el XLIX, 9. (2) roirLearc XLIX, 10.