LXXVIII. - 28 SEPTEMBRE

qui donnent chacun 3 pistoles et qu'il y en ait 2 qui donnent chacun 4 pistoles, et qu'il y en ait 3 qui ôtent chacun 3 pistoles, il faut ajouter toutes les sommes ensemble et les hasards ensemble, et diviser l'un par l'autre. Le quotient est le requis, ce qui revient à une même énonciation que la vôtre.

2. Mais il ne voit pas comment cette règle peut s'appliquer à l'exemple suivant :

Si on joue en six parties, par exemple du piquet, une certaine somme et qu'un des joueurs ait deux, trois ou quatre parties et que l'on veuille quitter le jeu, quel parti il faut faire quand un a une partie à point, ou deux ou trois etc. à point, ou bien quand un a deux parties et l'autre une, etc.?

Et le dit S'' Pascal n'a trouvé la règle que lorsqu'un des joueurs a une partie à point ou quand il en a deux à point (lorsque l'on joue en plusieurs parties), mais il n'a pas la règle générale. Voici son énonciation (') :

Il appartient à celui qui a la première partie de tant qu'on voudra, par exemple de six, sur l'argent du perdant, le produit d'autant de premiers nombres pairs que l'on joue de parties, excepté une, divisé par le produit d'autant de premiers nombres impairs. Le premier produit sera la mise du perdant, le second produit sera la part qui en appartient au gagnant.

Par exemple, si on joue en 4 parties, prenez les 3 premiers nombres pairs : -2, ^, G; multipliez l'un par l'autre, c'est 4^; prenez les 3 premiers impairs : \, 3, j; le produit c'est i5 qui appartiendront au gagnant sur l'argent du perdant, si on a mis chacun 48 pistoles.

Cette règle sert pour la première et la seconde partie, celui qui en a deux ayant le double de celui qui n'en a qu'une. Il en a la démonstration, mais qu'il croit très difficile.

(') Coinp. Lettre LXX. 3. — L'énoncé de Carcavi est mal confu et en désaccord avec l'exemple.

Fermât. — U. 42

330 ŒIVUF.S DK FERMAT.- (.011 HESPONDANCE.

3. Voii'i uiio autre proposilion qu'il ii laile à M. de Fermai, la(|U('ll(' il juge saus coniparaison plus tlillicile que (ouïes les autres :

Deux joueurs joueut à celte coiulition que la chauce du premier soit 1 1 el celle du seeoud i /j ; uu troisième jette les trois dés pour eux deux el, (|iiaiul il arrive i i, le premier mai'que nu poiut el, (|uaud il ari'ive i '|, le see.oud de son eolé eu uiarque uu. Us jouent en 12 points, mais à condition (jue, si celui (|ui jelle le dé ramène i 1 et qu'ainsi le premier marque un point, s'il arrive (|ue le dé tasse i/| le coup d'après, le second ne marque point, mais en ote uu au premier, et ainsi réciprO(|uement, eu sorte que, si le dé amène six fois 11 et le premier ail mar(|ué six points, si eu après le dé amène trois fois de suite i/j, le second ne marquera rien, mais otcra trois points du premier. S'il arrive aussi en après que le dé fasse six fois de suite 14, il ne restera rien au premier et le second aura trois points, et s'il amène encore huit fois de suite i4 sans amener ii entre deux, le second aura II points et le premier rien; et s'il amène quatre fois de suite 11, le second n'aura que sept points et l'autre rien; et s'il amène cinq fois de suite i4, il (') aura gagné.

La (juestion parut si dilïïcile à M. Pascal qu'il douta si M. de Fermât en viendroit à bout, mais il m'envoya incontinent cette solution :

Celui qui a la chance de n , contre celui qui a la chance i!\, peut parier 1 1 56 contre i , mais non pas 1167 contre i ;

et qu'ainsi la véritable raison de ce parti étoit entre les deux; par où M. Pascal ayant connu que M. Fermât avoit fort bien résolu ce qui lui avoit été proposé, il me donna les véritables nombres pour les lui envoyer et pour lui témoigner que de son côté il ne lui avoit pas proposé une chose qu'il n'eût résolue auparavant. Les voici :

i5o og\ 635 296 ggg 121' 129 746 337 890 620.

Mais ce que vous trouverez de plus considérable est que le dit S"^ de

( ' ) Lisez : le second.