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nombres ne font pas une proportion continue, mais, en autant de façons que l'un est comparé à l'autre, autant font-ils de proportions différentes; de sorte que ce sont plusieurs proportions ou progressions disjointes et ainsi, quand on prendroit un terme moyen entre i et G, il n'auroit rien de commun avec les autres nombres.

Toute la proportion ou suite, qu'on peut remarquer entre ces nombres, consiste au rapport qu'ont entre eux les nombres dont ils proviennent par multiplication, auxquels on voit une espèce de progression arithmétique. Néanmoins il ne sçauroit passer aux nombres susdits, en telle sorte que, par icelui, on puisse donner un terme moyen entre deux des nombres, qui ait correspondance à toute la suite.

Au contraire, la propriété même de cette progression fait qu'il n'y en peut avoir; voici comment :

Les nombres donnés

sont produits par les suivants en multipliant :

ou les équivalents

En ces nombres, qui servent à faire les donnés, il est facile de voir où est le rapport. Il consiste, aux premiers, en la seule augmentation du dénominateur de la fraction qui y est jointe, ce qui fait diminuer les nombres d'autant plus qu'ils s'éloignent du premier terme, savoir

de i; et aux seconds

6 10 I, -) — ) etc.,

qui sont les mêmes en autres termes, les numérateurs des fractions augmentent de 4 t't b^s dénominateurs de l'unité, ce qui fait pareillement diminuer les nombres tant plus la progression avance : en sorte

(]uv ct'liii qui est lo plus proche du premier terme i, savoir 4- ou -> i|ni vaut G, est le plus grand de tous.

Il faut, aussi remarquer que le rapport des nombres de la dite progression n'arrive pas jusques au premier terme i, ou plutôt ne commence pas dès le premier terme, mais au second seulement, qui est sa horne. De sorte que, si on vouloit augmenter les termes de la dite

progression, en la changeant et mettant un nombre moyen entre le

premier et le second terme, savoir entre i et A- ou -> il ne faudroit ' II

pas avoir égard à i, mais aux autres nombres

ou il ces autres qui sont les mêmes :

6 lo i/i i8 12 3 4

car cette progression n'auroit pas de suite, si on la commençoit par i . Puis donc : qu'il ne faut pas avoir égard au premier terme i, qui n'a rien de commun avec les nombres de la dite progression, mais aux autres seulement; et qu'ils augmentent à mesure qu'ils approchent du premier terme i : il s'ensuit que le nombre, qu'on prendroit entre i

et 1 - ou -) seroit plus grand que le dit - ou G, et il faudroit multiplier

le premier terme i par ce nombre moyen qui seroit plus grand que 6, pour avoir le moyen terme entre les deux premiers des nombres premièrement donnés, qui sont i et 6 (car les dits nombres donnés

n'ont point d'autre rapport ou liaison que celle qu'ils empruntent de leurs multiplicateurs, autrement ils n'en ont aucune). Et ainsi on auri)it un nombre plus grand que G pour le moyen terme d'entre i et G ; ce qui est absurde.

De lii s'ensuit qu'on ne peut donner le moyen terme entre i et G, en