SON ATTRIBUTION A FERMAT

(Tome II, p. 26, 28, 37, 55.) (Florence, Bibl. Naz., Mss. Galileiani, Parte V, Torao VII, f°s 98 recto à 100 verso.)

Selon le regretté Duhem('), la règle qui permet d'évaluer l'espace parcouru, en un certain temps, par un mobile mû d'un mouvement uniformément varié, se trouverait clairement formulée déjà dans l'Ouvrage où Nicolas Oresme posait les principes essentiels de la Géométrie analytique ; elle fut discutée dans les nombreux commentaires qui, en Italie, au commencement du xve siècle, visaient les traités produits par la Dialectique d'Oxford et aussi dans les divers Ouvrages de Physique produits par la scolastique parisienne. Toutefois on n'avait pas encore eu l'idée d'appliquer cette règle à la chute des corps et c'est seulement plus tard, par le moyen de la règle formulée par Oresme, que la loi de cette chute fut trouvée par un élève des scolastiques parisiens, le dominicain espagnol Soto, qui la publia dans ses Questions su?- la Physique d'Aristote, imprimées en i545, c'est-à-dire vers l'époque où, en Italie, Tartaglia y consacra ses efforts.

(>) Études sur Léonardde Vinci, troisième série (Paris, igi3).

Tout récemment, le juge le plus compétent en la matière a nié l'influence de ces écrits sur les idées de Galilée ('). On doit reconnaître toutefois que Cardan et Benedetti rapprochaient la date de la découverte en propageant l'opinion que, dans le vide, tous les graves parcourent la même distance dans le même intervalle de temps, regardant leur chute comme produite par un mouvement uniforme qui reçoit continuellement une impulsion nouvelle. C'était par ce dernier principe, et en appliquant celui de l'indépendance de l'effet de la pesanteur et du mouvement antérieurement acquis, que Galilée réussit à nouveau à déterminer l'excès résultant de ce mouvement, excès qu'il vérifia par l'observation de la chute au long du plan incliné — arrangement qui diminuait la résistance de l'air et retardait la chute suffisamment pour y pouvoir appliquer la mesure. Ainsi, dans une lettre à Guidobaldo del Monte, datée de Padoue, le 29 novembre 1602, il énonça à son protecteur le tautochronisme des chutes par des cordes inclinées différemment sur le diamètre perpendiculaire d'un cercle, et, dans une autre lettre à Sarpi du 16 octobre 1604, il pouvait déclarer gli spazii passati dal moto naturelle essere in proporzione doppia dei tempi, e per consequenza gli spazii passati in tempi eguali essere corne inumeri impari ab unitate (2).

En résolvant le problème de la sommation des actions continuelles d'une vitesse qui s'accroit par le temps, ce qui est le problème fondamental de la Dynamique, Galilée faisait le raisonnement suivant :

Supposons que le mobile, partant du lieu de repos A (Jig. 4), représenté par zéro, acquiert pendant son parcours vers B, qui se fait pendant le premier intervalle de temps (par exemple une minute), cinq degrés de vitesse. Divisons cet intervalle en cinq moments égaux; comme la vitesse s'augmente à chaque moment de quantités égales, et devient 1, 2, 3, 4, 5, donc tous les espaces seront ensemble

(') A. Favaro, Léonard de Vinci a-t-il exercé une influence sur Galilée et son école? (Scientia. vol. XX, 1916, p. 247-265); A. Favaro, Galileo Galilei e i Doctores parisiemes (Rendiconti délia Reale Accad. dei Lincei, vol. XXVIF, sedula del 21 aprile 1918).

(2) Le Opère di Galileo Galilei, éd. naz., vol. X, 1900, resp. p. 99 et n">.

Or, le mobile étant arrivé en B, supposons qu'il poursuit son cours pendant le second intervalle de temps (qui est égal au premier) avec Fisà un mouvement uniforme dont la vitesse est égale à celle qu'il avait acquise en dernier lieu, c'est-à-dire à 5. Il s'ensuit que, le nombre des termes étant resté 6, la somme des espaces contenus dans la ligne Bc sera 3o, et le mobile, se mouvant pendant le même intervalle de temps, avec une vitesse égale à celle du plus haut degré 5, passera par un espace qui sera le double de celui qu'il a parcouru depuis son lieu de repos A jusqu'à B par le mouvement accéléré. Soit donc Bc = aAB et cC = AB, l'espace BC, parcouru dans l'intervalle second, sera égal à 3AB; et ainsi de suite CD = 5AB, etc.

Cette même loi des spatia ut quadrata temporum fut prouvée aussi par Descartes à la fin de l'année 1618, lors de son séjour à Bréda, suivant les principes et à la prière de son ami Beeckman, par le moyen de l'aire d'un triangle rectangle qui porte de petits triangles différentiels ('). Et ce fut par un procédé analogue que la loi fut prouvée à nouveau par Galilée ;uissi, après qu'il eut connaissance, en 1622, de la méthode des indivisibles de son ami Cavalieri.

11 va sans dire cependant que toute démonstration, quelle qu'elle fût, devait être inadmissible pour ceux qui n'admettaient pas les prémisses.

Notamment, la plupart des philosophes niait le vide pour des raisons philosophiques : c'était précisément une des objections les plus puissantes qui militait contre le vide que 091 Œ la vitesse d'un corps tombant y serait à chaque moment infinie et une telle vitesse n'existe pas, disait-on, dans la nature. Cette raison était objectée ultérieurement par exemple par Mydorge (2). En i643, au nom de la Société des Mathématiciens de Paris, on objectait par la bouche de Mersenne contre les Discorsi de Galilée, parus en i638 :

(i) OEuvres de Descaries, éd. cit., t. X, 1908, p. 58-6i, 75-78 et 219-220. (*) Op. ci,., t. II, 1898, p. 592-593, 618-619. 632-633; t. III, 1899, p. u.

dtt„

Supponit corpora gravitare in vacuo pag. ^'3, quod falsum est (').

Mais aussi, en admettant le vide pour un moment, le mot du poète vires acquirunt eundo, appliqué aux corps tombants par Galilée et Descartes, pouvait être contesté quand on l'interprétait dans ce sens que le mouvement s'augmentait toujours également. Descaries luimême, qui croyait son résultat encore valable en 1629, lorsqu'il était sujet de discussion entre lui et xWersenne (2), semble l'avoir rejeté à l'époque où il rédigeait son Monde, bouleversant en i()3i toute son ancienne démonstration par la remarque que, même dans le vide, il soit faux « que la force qui faisoii mouvoir cette pierre agissoit tousiours esgalement, ce qui répugne apertement aux lois de la Nature : car toutes les puissances naturelles agissent plus ou moins selon que le sujet est plus ou moins disposé à recevoir leur action ; et il est certain quune pierre nest pas également disposée à recevoir un nouveau mouvement ou une augmentation de vitesse, lorsqu'elle se meut desia fort visle et lorsqu'elle se meut fort lentement ». Vers la même époque, Mersenne fut amené à d'autres conclusions absurdes, en raison des inconvénients de l'observation directe de la chute des graves (3).

Une seconde objection était celle que, pour garder dans le vide les proportions des nombres 1, 3, 5, 7, etc., il était nécessaire que le grave tombât par tous les degrés de tardiveté et que cela n'était point, puisque la pierre avait au commencement de sa chute déjà une certaine vitesse.

La preuve du théorème que les corps tombants passent par tous les degrés de vitesse troubla déjà Cavalieri, qui en demanda une démons-

1 ') Cm. Henry, article cité à la page 1?., note 1, p. 14.

( •) Oeuvres de Descartes, éd. cit., t. I, 1897, p. 71-74, 7"), 88-89 et 90-95 ; Descartes commit alors une faute assez étrange dans la déduction de la loi.

(») Ainsi dans sa lettre à Jean Rey du ir' septembre i63i, le Minime s'oppose à l'opinion de ceux qui croyent « que le mouvement des choses graves est plus viste tiers la fin qu'au commencement : l'expérience me fait voir le contraire, car un boulet de canon descend aussi viste vers les vingt-cinq premiers pieds de roy que les- vingt-cinq derniers », en admettant cependant qu'un « charbon tombant de vos mains ira aussi viste à terre qu'un sembable morceau de plomb » [Essais de Jean Rej . éd. Maurice Petil 1 Paris, 1907) p. 79-80].

2fc ŒUVRES DE FERMAT. — SUPPLEMENT.

(ration plus exacte à Galilée dans une lettre du 21 mars 1626 ('). La question a d'ailleurs du rapport avec celle-ci, si grave sibi imprimit motum primo momento qui fut posée plus d'une fois par Mersenne entre autres, à Descartes. Le philosophe répondit au Minime, le 4 novembre i63o, que cette thèse était pour lui une conséquence nécessaire de certains principes qui lui paraissaient évidents (2). Toutefois, il assurait bientôt, dans ses lettres à Mersenne d'octobre ou de novembre i63r, qu'il est faux de supposer « que le mouvement qui s y fait soit au premier instant qu'il commence le plus tardif qui se puisse imaginer et qu'il s'augmente lousiours par apprès es gaiement » (3). En effet, selon lui, on ne pouvait rien déterminer de la vitesse d'un corps tombant, sans avoir déterminé ce qu'est la pesanteur (4), à laquelle il consacra vers cette époque tout un chapitre de son Monde (5). Il la croyait produite par la matière subtile tournant fort vite autour de la Terre; si cette matière ne tournait point, aucun corps ne serait pesant (6) et ainsi dans le vide, que le philosophe d'ailleurs rejetait, la pesanteur serait nulle (7). En réalité, la matière subtile chasse, selon Descartes, les corps vers le centre avec plus de force lorsqu'ils n'ont point encore commencé à descendre que lorsqu'ils descendent déjà; enfin, s'il arrive qu'ils descendent aussi vite que la matière subtile se meut, elle ne les poussera plus du tout et, s'ils descendent plus vite, elle leur résistera (8). Il s'ensuit que les corps pesants sont moins poussés par la matière subtile à la fin de leur mouvement qu'au commencement (9); mais il est impossible de déterminer la vitesse dont chaque corps pesant descend au commencement, car cela dépend de la vitesse de la matière subtile (,0).

( ' ) Le Opère di Galileo Galilei, éd, naz., vol. XIII, igo'3, p. 3i2.

(2) OEuvres de Descartes, éd. cit., t. I, 1897, p. 176.

(3) Op. cit., t. I, 1897, p. 222, 23o-2Ji.

('') Op. cit., I. I, 1897, p. 228, 392; t. II, 1898, p. 385.

(5) Chapitre XI (OEuvres, éd. cit., t. XI, 1909, p. ■jb et suiv.); cf. t. I, 1897, p. 324.

(6) OEuvres de Descartes, éd. cit., t. II, 1898, p. 635. (') Op. cit., t. II, 1898, p. 385, 442, 1. 17-18.

(8) Op. cit,, t. II, 1898, p. 544 ; I. III, 1899, P- i°. i34-i35.

(9) Op. cit., t. III, 1899, p. 37-38 et 79. (»°) Op. cit., t. III, 1899, p. 36.

Plus correctes étaient les opinions énoncées par Galilée dans son Dialogo qui tâchait de prouver que la pierre a eu au commencement de sa chute une vitesse moindre que n'importe quelle vitesse donnée. Selon ce qu'il dit dans le Dialogo primo, l'état de repos est le degré de tardiveté infinie {quiète è il grado di tardità injinita) (p. i3) ; il n'est pas impossible pour la Nature et Dieu de donner immédiatement la vitesse au corps qui passe de l'état de repos à celui de mouvement, ma dira bene che de facto ta natura non lofa ; talchè il farlo verrcbbe ad esse r operazione fuora del corso naturale, e perd miracotosa (p. i3). C'est ce qui est prouvé par Galilée par la remarque che si possano notar piani tanto poco elevatisopra l'orizonte, chc'l mobile, cioè lamedesima palla in qualsiuoglia lunghissimo tempo si condurrebbe al termine, già che per conduruisi per il piano non basta tempo infinito; ed il moto si fa sempre più lento, quanto la declività è minore. Bisogna dunque necessariamente confessare potersi sopra il termine C (voir fig. 6 à la page 20) pigliare unpunto tanto ad esso C tûcino, che tirando da esso al punto B an piano, la palla non lo passasse ne anco in vn' anno (p. 20), d'où il conclut que finalmente. la tardità si conduca a essere infinita, che è quando si finisce Vinclinazione, e s'arriua al piano orizontale et il suit enfin che il cadente partendosi dalla quiète, passa per tutti gV infiniti gradi di tardità (p. 21). En effet, entre le repos et un degré quelconque de la vilpsse se trouve une infinité de degrés de vitesse plus petits, par lesquels le corps passe sans persister en aucun d'eux (p. 1 4), ce que Galilée explique dans le Dialogo secondo en représentant la vitesse et les laps de temps du mouvement par les côtés d'un triangle. Essendo posto, dit-il, p. 22/î, il termine A (fig- 5) corne momenlo minimo di velocità, cioè corne stato di quiète, e corne primo instante del tempo susseguente AD, è manifeste che, avanti l'acquis/o del grado di velocità DH fatto nel tempo AD, si è passato per altri in/initi gradi minori eminori guadagnati negli infini ti inslanli, che sono nel tempo DA, corrispondenti agli infiniti punli, che sono nella linea DA. Perd per rappresentare la inûnità dei grade di velocità, che precedono al grado DU, bisogna intendere infinité linee sempre minori e minori che s'intendano tirait' dagli Fermât. — Supplément . 4

infiniti punti délia linea DA parallèle alla DH, la quale infinità di lineeci rappresenta in uhimo la superficie del iriangoloAED. Ecoshntenderemo qualsiv'oglia spazio passato dal mobile can moto, cke, coimnciando dalla tjuiele, si radia uniformemente accelerando, aver consumato

Fis

ed essersi servito di infinili gradi di velocità crescenti conforme aile infinité linee, che, cominciando dal punto A, sintendono tirale parallèle alla linea HD . Toutefois, Galilée maintenait son opinion ancienne (') en niant aussi à présent, comme le firent Mydorge et Descartes (2), l'existence d'une vitesse infinie : il énonce l'opinion inexacte que, même dans le vide, la chute ne peut pas durer jusqu'à l'infini, ce qu'il tâche de démontrer aussi (p. 222 et 225-226).

Les opinions de Galilée, telles qu'elles furent publiées en i632, ne tardèrent pas de mettre les mathématiciens en embarras. En effet, son principe, appliqué au mouvement naturel et disant que les vitesses s'augmentent proportionnellement à la distance du poids au point du départ, semble impossible en ce qu'il en suit que le poids ne peut acquérir wne vitesse finie qu'après un laps de temps infini et son principe contredit les conséquences qu'il en veut tirer. La démonstration géométrique de la loi nouvellement publiée et citée plus haut n'est pas trop claire. L'addition des vitesses diverses sans rien de plus pour l'évaluation de l'espace parcouru est permise seulement lorsqu'il s'agit de vitesses moyennes et celles-ci ne sont point représentées par

(') Le Opère di Galileo Gnli/ei, éd. naz., vol. I, 1890, p. 828 et 411.

(») Voir ci-avant p. 22-23 et OEuvres de Descartes, éd. cit., t. III, 1898, p. 592-593.

les nombres indiqués dans la figure, puisque ces vitesses moyennes devaient être dans chaque intervalle proportionnelles aux termes de la série des nombres impairs i, 3, 5, 7, etc., ce qui n'a pas lieu. Il est vrai que cette incorrection s'élimine en passant à la limite, mais Galilée s'était abstenu ici de toute explication.

Les géomètres français discutaient bientôt de telles difficultés. Déjà, le ier novembre iH32, Gassend écrivit de Lyon à Galilée que son exemplaire du Dialogo, reçu en octobre par l'intermédiaire de Déodati, était encore le seul que l'on eût à Paris et, au nom de Mersenne, il sollicitait une communication circa ponderum cadentium inœqiialem velocitatem (' ). Vers la même époque, Mersenne interrogea aussi Descartes (-). Un des premiers sans doute, qui s'occupa de l'énigme du degré de vitesse du poids tombant au commencement de sa chute, fut Antoine de Ville, Toulousain de naissance, mais dont nous ignorons s'il avait eu des rapports avec Fermât ou Carcavi, qui était admis conseiller à Toulouse le 20 juillet if>32. Ingénieur militaire au service de la République vénitienne et de grande estime auprès des savants italiens, il adressa le 4 janvier 1 633 à Galilée une lettre, dans laquelle il rendait tout au long compte de ses remarques sur le Dialogo; en admettant que les corps qui vont à leur perfection (al suo tutto) passent de l'état du repos par tous les degrés de tardiveté avant d'acquérir la vitesse, il le nie cependant pour un mouvement retardé (una sosta), qui a moins de vitesse à la fin qu'au commencement (*). Aussi Gassend et Boulliaud discutèrent plus d'une fois sur la cause pour laquelle, dans la chute, le mouvement est plus lent au commencement que vers la fin (lettre de Boulliaud à Gassend du 21 juin i633) (4). Enfin, c'était depuis le commencement de l'année i634que Mersenne traitait la question de l'intervalle de temps employé par le corps pendant sa chute jusqu'au centre de la Terre, avec l'astronome belge Wendelin,

(') Pétri Gassendi Diniensis ecclesicœ prœprositi et in Academia Parisiensi Mathe~ seos professoris EpistoUr, etc., t. VI (lAigduni, i658), p. 53-54.

(2) OEuvres de Descartes, éd. cit., t. I, 1897, p. 261.

(3) Le Opère di Galileo GalUei, éd. naz., vol. XIV, 190J, p. 16. {'') Pktiu Gassendi, etc., Epistolœ, t. VI, i658, p. 4i<>-

qui trouva pour cet intervalle un laps de temps de 12 minutes au lieu de celui de 6 heures supposé par Galilée et qui assurait encore plus tard à Gassend avoir trouvé la démonstration de la loi des spatia in rniione duplicata temporum avant la publication du Maître (').

En dehors de ces considérations, nous possédons celles de Mersen ne, qui rendait compte des démonstrations de Galilée sur le théorème eu question dans le Livre second de son Harmonie universelle, dans lequel il inséra une Proposition VII portant le titre de Expliquer les mouvemens des poids sur les plans inclinez à l'horizon, avec la proportion de leurs vitesses; et déterminer si le poids, qui tombe, passe par tous les degrez possibles de tardiveté (p. 108-112). En effet, en considérant ces plans, « il est certain que le poids descend d'autant plus lentement que le plan est plus incliné, par exemple il va plus lentement sur AB (Jig. 6) que sur CA, de sorte que l'on en peut donner un si peu incliné à 1 * horizon, que

Fig. 6.

le mobile ne fera que iS pieds de Roy dans un an, ou en cent uns, ou en tant de tems que l'on voudra ; ce qui monstre une extrême tardivité » . Et en rapprochant les énoncés de Galilée sur le moment des graves au long des plans de diverse inclinaison à ses propres expériences, le Minime se met au calcul de l'angle BAC pour quelques exemples, et trouve que ce sont « 4 dixiesmes et 21 onziesmes (2), qui donnent

(') De Briefadsseling van Constantyn Huygens uitgejeven door Dr J. IVorp, t. II, 1913, p. 174-175, 455 et 5 1 1 ; t. III, 1914, |>- 167, 210,217-218 et 249. Gassend, Epistolœ, t. VI, i658, p. 166, 428, 455 et 460.

{"-) Subdivisions de la seconde et des mots formés de manière analogue.

l'inclination du plan AB sur lequelle le poids estant en B, aura acquis une vistesse capable de faire 3o pieds en cent ans. Or estant tombé en G parla perpendiculaire AC, il aura seulement la mesme vitesse ; par conséquent il passe par tous les degrez de tardivîté avant que d'avoir acquis un certain degré de vitesse, attendu que l'on peut encore moins incliner le plan AB. Et mesme si l'on prend la vitesse du mobile lorsqu'il est en E, que je suppose éloigné de A de 3 pieds ~ (car AE est le quart de AB), il ne fera Mi qu'en 5o ans et ne fera que i5 pieds en cent ans, s'il continue dans cette mesme vitesse, laquelle fera aussi diminuer la vitesse de la cheute perpendiculaire AC en mesme proportion ».

On a vu plus haut que cette partie de l'Ouvrage de Mersenne était achevée d'imprimer en septembre i635 et que c'était au mois d'avril i636 que le Minime entra en correspondance avec Fermât par l'intermédiaire de Carcavi en lui proposant entre autres une question qui correspond à la Proposition VI du Livre secondée son Harmonie universelle. Mais on verra que des considérations comme celles de la Proposition VU de l'Ouvrage de Mersenne, ont été un sujet de discussion dans un écrit que nous publions ci-dessous et dans lequel on défend contre Galilée l'opinion, qui était entre autres aussi celle de Descartes, que le grave possède déjà une vitesse lorsqu'il commence à descendre. L'auteur y ajoute un raisonnement qui a pour but de prouver l'inexactitude de la loi de la chute des graves telle qu'elle était énoncée par le savant de Florence, qui n'avait pas admis la variabilité de l'accélération et celle du poids d'un corps en raison de sa distance au centre de la Terre. En laissant pour le moment les raisons pour lesquelles nous tenons l'écrit pour une communication de Fermât à Mersenne en réponse à des considérations des mathématiciens de Paris, nous ferons sur la loi probable de l'attraction, dont ces variabilités dépendent, les remarques suivantes.

Le postulat de la convergence des actions de la pesanteur vers le centre de la Terre était pose par Archimède comme base de sa doctrine de l'équilibre des corps flottants; mais en étudiant les conditions de

l'équilibre du levier, il suppose les lignes de directions de ces actions parallèles entre elles. Au moyen-âge, ce sont, entre autres, Albert de Saxe et Léonard de Vinci qui défendent la doctrine de la convergence de ces lignes et l'on en tire déjà des conséquences pour le poids variable d'un corps : selon Biaise de Parme, l'inclinaison mutuelle des divers poids des parties d'un grave fait que le poids total du grave est d'autant plus petit que le corps est plus voisin du sol(').

La question se présenta à Cardan à plus d'une reprise. Dans l'Ouvrage des proportions, qu'il publia dans sa vieillesse, il l'applique à la chute d'un corps au long des plans inclinés, qui peuvent avoir une inclinaison si petite que le point C (fig. 7) a plus de distance au centre

de la Terre que le point D et néanmoins le corps pesant feretur ex D in C molu natura/i. ut demonstratwn est, ergo per purum nwtum naturalem poterit A removeri a centro mundi. Hoc volai proponere, ut intelligeres in piano vero CE non moveri a sponte, quia C necessario altior estD; si ergo movebitur, non erit CE recta, sed pars proportionis circuli super ficiei Tcrrœ, quœ sensu a recta dis tin gui non poteiit{2). D'ailleurs, ayant traité déjà autrefois, dans son ouvrage De suhtilitale, paru en i552, de la fameuse question « un levier, qui a les deux bras AM, MB et aussi les poids égaux, retourne-t-il à sa position horizontale après avoir été touché en B (3)? », il conclut qu'un corps pèse d'au-

(i) Duhem, Les origines de la Statique, t. I (Paris, igo5), p. i5o-i5i; t. II, 1906, p. 56, 58, 81-84 et 174.

(*) Opus novum de proportion! bus, etc. (Bas., 1570), p. 85. ('■>) De Subtilitate, éd. de Lyon, i58o, p. '3; et suiv.

tant plus qu'il se trouve plus proche du centre de la Terre ('). A cet égard le raisonnement de Guidobaldo del Monte était le suivant : Soient C (Jîg. 8) le centre de la Terre, AC et BC les lignes convergentes de

Fig. 8.

direction, l'angle CBD — dit-il (2) -- sera plus petit que l'angle CAE, donc la chute de B par BD sera moins oblique que celle de A par AE et par conséquent le poids en B pèsera plus que celui en A, ce qui est contraire aux opinions de Jordan de Nemore et de Tartaglia (guod est penitus oppositum eius, quod ipsi oslendere conati su/il). Toutefois l'opinion de ceux-ci fui défendue à nouveau par Benedetti qui disail que le poids d'un corps ne varie pas en raison inverse, mais en raison directe de sa distance au centre de la Terre.

Ces réflexions étaient d'ailleurs connues en France du moins, depuis l'année 1626, lorsque Mersenne y consacra une partie de sa Synopsis

(') Opus novum, elc. (Bas., 1670), p. [o3-io4.

(2) Mechanicorum Liber (Pisauri, r 5 7 7 ) , i" 19 verso.

mathematica ('). Or, Galilée ayant négligé dans ses propositions sur le plan incliné la convergence des lignes de direction telle qu'il l'admettait dans son étude sur la spirale, et n'ayant point admis la variabilité de l'accélération aussi hors de la Terre, on reprit la doctrine de Guidobaldo del Monte, dont l'Ouvrage est cité plus d'une fois à cette époque par Mersenne (2), pour élucider la théorie du Maître émise dans le Dialogo de i632.

On retrouve le récit de nombreuses expériences sur le plan incliné faites par Mersenne, dans ses deux Ouvrages, dont les manuscrits étaient achevés en i634 : les Harmonicorum libri et VHarmonie universelle, dont une bonne partie de la Proposition VII déjà citée (108-1 12 du Livre second), leur fut consacrée. « Je doute » — ajouta-t-il dans le Corollaire premier de cette proposition — « que le Sieur Galilée ayt fait les expériences des cheutes sur le plan puisqu'il n 'en parle nullement, et que la proportion qui donne, contredit souvent V expérience ; et désire que plusieurs esprouvent la même chose sur des plans différens avec toutes les précautions, dont ils pourront s 'aviser, afin qu'ils voyent si leurs expériences respondront aux nostres, et si Von en pourra tirer assez de lumière pour faire un théorème en faveur de la vitesse de ces cheutes obliques, dont les vitesses pourroient estre mesurées par les différens effets du poids, qui frappera dautant plus fort que le plan sera moins incliné sur l'horizon, et qu'il approchera davantage de la ligne perpendiculaire » ; et dans le Corollaire second : « Ceux qui ont veu nos expériences et qui y ont aidé, sçavent que l'on n'y peut procéder avec plus de justesse, soit pour le plan qui est bien droit et bien poli, et qui contraint le mobile de descendre droit, ou pour la rondeur, et la pesanteur des boulets et poulies cheutes; d'où l'on peut conclure que l'expérience n'est pas capable d'engendrer une science, et qu'il ne se faut pas trop fier au seul raisonnement, puisqu'il ne respond pas toujours à la vérité des apparences, dont il s'éloigne bien souvent. Ce qui n'empêchera pas que je ne parle du plan

(•) Duhem, op. cit., t. I, igo5, p. 295-299; t. II, 1906, p. 123 et suiv. (2) Les questions théologiques, physiques, etc. Paris, iG34), et Les Méclianiques de Galilée ( Ibid. , 1 634) •

également incliné, tel quil doit estre, afin que les corps pesans le pressent et pèsent également sur chacun de ses points. » En effet, Mersenne relève dans les Propositions VIII et IX de ces deux Ouvrages l'application de la théorie de la convergence des lignes de direction au plan incliné et détermine aussi {Harmonie universelle, Livre second, Prop. IX, p. 119-121; Harmonicorum libri, Prsefatio, Propos 1 tio IV) la forme du plan également incliné, c'est-à-dire de la ligne qui coupe les lignes de direction convergentes sous des angles égaux; et c'est dans cette première construction de la spirale logarithmique qu'il déclare qu un poids se mouveroit perpétuellement par ce plan également incliné sans pouvoir jamais arriver au centre de la Terre, autour duquel te plan torneroit toujours sans y arriver; et conséquemment que ce plan ne se rencontre en nul lieu de la nature, qui ne fait rien en vain, et qui donne un terme ou un centre à chaque chose » ( ' ).

C'est depuis cette époque que la doctrine de la convergence des lignes de direction allait jouer, avec celle de la pesanteur qui s'y rattache, un rôle essentiel dans le développement de la Statique, en provoquant chez les savants français d'importantes découvertes.

Son application à la question géostatique fut rendue fameuse par Beaugrand, secrétaire du roi à Paris. Dans l'automne de l'année i635, visitant, comme Carcavi, Galilée à Arcetri, Cavalieri à Bologne, Castelli à Rome, il leur communique son idée que l'attraction est proportionnelle à la dislance des corps au centre de la Terre, qu'un corps pèse d'autant moins qu'il se trouve plus proche de ce centre et que le centre de gravité a dans le corps un lieu variable, opinions qui furent partagées aussi par Cavalieri et par Castelli {-). De même Fermât, l'ami intime de Beaugrand, se montra partisan de ces idées, comme il

(') Descartes était moins heureux dans sa réplique aux assertions de Mersenne sur la courbe {Œuvres de Descartes, éd. cit., t. 1, 1897, p. 43g, 4 4 13-4 17; t. II, 1898, p. 233, 36o et 390).

(2) F oir sur la communication do ces idées par Beaugrand à Galilée et Castelli sa lettre à Galilée du 3 novembre 1 635 {Le Opère di Gatileo Galilei, éd. naz., vol XVI, 1903, ;>. S36-337), 'a lettre de Castelli à Galilée du 3o novembre i633 avec une démonstration Fermât. — Supplément. 5

3i ŒUVKES DE FEKMAT. - SUPPLEMENT.

apparaît de la correspondance qu'il engagea avec les mathématiciens de Paris, depuis le mois d'avril ib36, p;ir l'intermédiaire de Carcavi; toutefois non sans que le géomètre de Toulouse critiquât, avec Desargues et Guy de la Brosse, la manière dont Beaugrand avait défendu ses opinions dans un opuscule qui parut à Paris en mai iG3(J ('). Les propositions de Fermât nous sont conservées dans un écrit qu'il joignit à une lettre à Carcavi, aujourd'hui perdue, et dans un second écrit envoyé à Carcavi aussi, par l'intermédiaire de Mersenne. C'est dans ce second écrit, ainsi que dans la lettre ajoutée du 24 juin i636 à Mersenne, que Fermât nous apprend (t. II, 1894, p. 19 et 23), qu'il soupçonnait depuis longtemps Archimède de n'avoir pas apporté toute la précision désirable dans l'élude des Mécaniques; se souvenant sans doute des expressions de Guidobaldo del Monte (2), dont l'ouvrage est cité à la fin du second écrit latin, Fermât y admet que la descente des graves par des lignes parallèles est vérifiée sensiblement dans l'expérience courante, à cause de la grande distance du centre de la Terre ; « mais il y a plaisir à chercher les vérités les plus menues et les plus subtiles et d'ôter toutes les ambiguïtés qui pourraient survenir » (Ibid., p. 19). En effet les deux écrits de Fermât reçurent un bon accueil deCastelli, auquel ils furent envoyés aussi parCarcavi(:t);mais, depuis le mois de juillet i636, une vive polémique éclata entre Fermât d'un côté, et Etienne Pascal et Roberval de l'autre, à propos des dé-

par Beaugrand lui-même (op. cit., p. 35i-354); les lettres de Cavalieri à Castelli du 19 décembre 1 635 (Ch. Henry, article cité à la page 12 ci-avant la note 1, p. 16-17) et Rocca du 3o décembre 1 635 ( Le Opère di Galileo Galilei, éd. naz.. vol. XVI, 1905, p. 368); enfin le jugement de Magiotti (Ibid. p. 382-384).

(') Voir d'ailleurs sur les idées de Beaugrand et l'accueil qui leur fut fait par les géomètres français : Œuvres de Descartes, éd. cit., t. II, 1898, p. 645-647; Ouhem, op. cit., t. II, 1906, p. 1 56 et suiv., et Le Opère di GaliLo Galilei, éd. naz., vol. XVII, 1906, p. 1 10.

(2) Nisi fortasse dixerint — celui-ci ajouta à l'exposé de la doctrine de la convergence des lignes de direction — hœe omnia proptcr maximam a centro mundi uu/ue ad nos distantiam, adeo iiisensibilem esse, ut pn>pter insensibilitatem tanquam vera supponi possint [Mechaiiicoruin liber (Pisauri, 1^77), f° i5 verso].

(3) C'éiait a celui-ci sans doute que s'adressait la lettre de Castelli insérée dans les Œuvres de Fermât, éd. cit., t. II, 1 8g4, p. 26.

monstrations mécaniques de Fermât (M, polémique h laquelle prit part aussi Mersenne (2), et, depuis l'année i638, Descartes, soit dans des lettres, soit dans diverses recherches spéciales sur la question de Sçavoir si un corps pèse plus ou moins, estant proche du centre de la Terre qu'en estant éloigné, dans lesquelles il conclut à la variabilité du lieu du centre de gravité et revient à la proportionnalité en raison inverse du poids avec la distance au centre, énoncée autrefois par le marquis del Monte (3).

Dans sa lettre à Mersenne du il\ juin i636 (t. II, 1894, p. 20), Fermât conclut : « Je vous prie de relire ma proposition des graves et de men dire votre avis », faisant ainsi allusion à une proposition jusqu'ici inconnue. Et à la réception de l'Ouvrage mécanique de Roberval, inséré par Mersenne dans son Harmonie universelle, il répondit au géomètre de Paris en août i636 : « Vous m accorderez que ce mouvement sur les plans inclinés se peut prouver encore plus précisément » (t. II, 189/1, p. 35).

C'est que Fermât peut très bien avoir eu en vue par ces expressions le travail, jusqu'à présent inédit, que nous faisons suivre ci-après, également d'après une copie de la Bibliothèque nationale de Florence, écrite de la même main inconnue que le document précédent. La suscription de celui-ci que nous avons attribuée à Carcavi (ci-avant, p. 19) concerne sans doute le présent écrit, qui en est une suite naturelle et qui peut donc être daté de la même époque. Et d'ailleurs, les documents que nous reproduisons (IV, lettres i-5) nous fourniront la preuve décisive que ce travail, qui ne porte ni date, ni nom d'auteur, est réellement dû à Fermât qui d'ailleurs l'avait

(>) /^ru'rpour ses démonstrations, en dehors de la correspon'ance citée, Duhem, op. cit., t. II, 1906, p. 159-178, et les Œuvres de Biaise Pascal, éd. Brunsvicg, Boutroux et Gazior, t. I (Paris, 1908), p. 169-193.

(2) Harmonie universelle, seconde Partie (Paris, 1637), Livre VIII, Prop. 18, p. 63, et Nouvelles observai ions phys. et math., à la Pn de la partie seconde (5' observation, p. 17).

(3) Œuvres de Départe*, éd. cit., t. I, [897, p. 4 Î6-447 ; t- II, 1898, p. 182-189, 222 et suiv., 227-228, >38 suiv., 242 suiv., 270 et 448-449-

communiqué vers l'époque indiquée à Carcavi seul, sans le vouloir livrer à la divulgation (cfr, p. 48 ci-après).

De lineâ seu Hélice quam describit grave naturaliter descendens seeundum proportionem motus a Galilœo assignatam ('), a nobis multa probata sunt (2); sed quia accuratius perpendenti hœc proportio gravium naturaliter descendentium non satis patet, immo geometricis demonstrationibus repugnare videtur, aliquam in experiendofallaciamirrepsisse facile crediderim. Quis autem rationem sensibus non prœtulent?

Propositionem geometricam huic experientiœ repugnantem (et si hœc non placeat aliam dabimus) praemisso postulato construemus.

Postulatum hoc sit : Nullum motum fieri absque celentate aliquâ corporis moti.

Quiescatenim in T figura corpus A. Si celeritas, vel a se, hoc est a pondère suo, vel a vi magnetica Telluris quœ ipsum attrahat (8), vel a quâcumque aliâ vi esternâ non mutuetur, nunquanfi movebitur.

Moveatur enim, si fieri potest, a puncto A in punctum B.

Existimat Galikeus corpus A nullam celeritatem in puncto A habere; acquiri tamen ipsi dum movetur.

(») Voir le Document I ci-avant.

(») Fermât parle de ses expériences mécaniques dans ses lettres à Pascal, Roberval et Mersenne de i636 (Œwres, éd. cit., t. Il, 1894, P- 55 et 58).

(3) L'assimilation de la Terre à un aimant était en vogue depuis la publication de l'Ouvrage de Gilbert : de Magnete magnetisque corporibus et de magno magnete Telluris (Londini, 1600), cité par Galilée dans le Dialogo, éd. de i63a, p. 393 et suiv., et par Fermai dans son écrit latin du i\ juin .636 (t. II. 1894, P- ^)- «ans leur longue lettre à Fermât du ,6 août i636, Etienne Pascal et Roberval ont discuté tout au long les trois causes possibles de la pesanteur el leurs conséquences différentes (t. II, 1894, p. 37-41;. voir d'ailleurs les Œuvres de Descartes, éd. cit., t. II, 1898, p. 224; et Duhem, op. cit., t. II, 1906, p. 169 et suiv.).

Igitur aut in primo justanti àcquirituf ipsi velocitas sive

celeritas, aut in determinato tempore, verbi gratiâ cùm est

in B.

Si in primo instanti acquiritnr ipsi celeritas, ergo ciim inci-

pit moveri, habet celeritatem. Est enim instans jndivisibilis.

Hoc autem est ex nostrâ sententiâ et contra Ga-

lilaSUm. Prima figura.

Superest igitur, ut dicat Galilœus, celeritatem acqniri in certo tempore, verbi gratiâ cùm est in B. Quod non videtur admittendum (quae enim ratio cur potius in B quam in E aut alio puncto incipiat celeritas?). Hoc autem ex ipso Galilœo implicat contradictionem : fiât BE tripla EA, celeritas corporis A cùm est in B, est dupla celeritatis eiusdem corporis A cùm est in E ex Galilœo; igitur A in E habet celeritatem contra positiones.

Quia ergo in certo tempore acquiri corpori descendenti celeritatem non est admittendum, ut iam diximus (et patet quia motus sine celeritate non fit), superest et ad tuendam tum veritatem, tum Galilœi sententiam, ut celeritatem corpori in principio motûs tribu amus.

Hoc posito non videtur nobis posse constare propositio Galilaei.

Exponatur in id figura recta descensûs AF. Descensus gravis naturaliter descendentis ab A in F, fiât in tempore S. Grave idem, si uniformi celeritate (eâ videlicet quam possidet in principio motûs) descenderet ab A in F, maius tempus absumeret in descensu. Fiat igitur hic motus uni-

formis in tempore R et sit R ad S proportio tripla, verbi gratiâ (de quâlibet enim démonstratif) concludet).

Inveniatur numerus quadratus cuius ad suum latus proportio sit maior proportione R ad S, verbi gratiâ 25. Exponantnr tôt numeri impares ab unitate quot quadratum i5 constituunt : i, 3, 5, 7, 9, et recta AF in portiones AB, BC, CD, DE, EF dividatur, quae proportionem servent numerorum 1 , 3, 5, 7, 9. Recta igitur AB vigetiesquinque in tota AF continetur.

Tempus autem motûs uniformis ab A in B est maius tempore motùs naturalis ab A in B et

Fig. 10.

2* figura.

fi S

ut AF ad AB ita tempus motûs uniformis ab A ad F ad tempus eiusdem motûs uniformis ab A ad B ;

ergo maior est proportio temporis motûs uniformis ab A ad F ad tempus motûs naturalis ab A ad B quàm AF ad AB, hoc est quàm 25 ad 1 . Est autem

ut tempus motûs naturalis ab A ad B ad tempus motûs naturalis ab A ad F ita 1 ad 5,

si vera sit propositio Galilaei. Ergo ex aequali maior est proportio temporis motûs uniformis ab A ad F ad tempus motûs naturalis ab A ad F quàm 25 ad 5. Est autem 25 ad 5 maior quam R ad S; longé igitur maior erit proportio temporis motûs uniformis ab A ad F ad tempus motûs naturalis ab A ad F quàm R ad S. Ponebatur tamen aequalis; non potest igitur constare haec a Galilœo propositio.

Hisce demonstratis superest nobis alia eiusdem Galilœi

qiiËestio excutienda de motu gravium in planis inclinatis ('), miro certe ingenii acumine, ut et caetera eius inventa, ab eo excogitata. Sed quod ab eo satis attente considei ata non sit, haec nos moventut credamus quœ locumhabebunt,licet subsisteret proportio accelerationis in descensu gravium ab eo assignata.

Exponatur in3a figura circulus ACD cuius diameter BC ad centrum Terra? E dirigatur; ducatur utcumque recta BA. Kxistimat Galilseus grave a puncto B naturaliter descendens, quo tempore percurrit diametrum BC, eodem tempore in piano inclinato percurrere rectam BA et bœc ipsius propositio

(i) Comp. la suscription ajoulée à la copie de notre premier document (ci-avant, |>. '9)-

refertur pag. 18 in Dialogis Ital.('). Exponatur deinde in eâdem figura recta CD, utcumque ducta; idem Galilœus existimat grave a puncto B naturaliter descendens quo tempore percurrit diametrum BC, eodem in piano inclinato percurrere rectam DC, ethtec ipsius sententia ab eodem refertur pag. 445 eiusdem libri (2).

Et primo quidem videntur ha? dua? propositiones se invi-

cem destruere.

Nam sit verbi gratiâ recta CD parallela ideoque sequalis recta? BA; iungatur DE, et ipsi BE parallela ducatur DN. Propter parallelas BA, CD anguli ABC, BCD sunt aequales; propter parallelas autem BC, DN anguli BCD, CDN sunt etiam œquales, ergo œquales sunt ABC, CDN. Maior igitur ABC quàm CDE. Sed quo maior est angulus inclinationis ad lineam directionis, eo minor est in descensu per plana inclinata velocitas. Ergo cùm BA, DC sint aequales, citiùs idem grave à D ad C, quàm à B ad A perveniet.

Patet igitur duas has Galilaei propositiones non posse simul esse veras; ideoque videtur sibi contradicere quod et etiam veritati.

Posteriorem propositionem primum ita subvertimus.

In eadem 3a figura intelligatur circulus una cum rectâ CD centro appropinquasse. Etsitpunctum Cin Z, recta CD in ZM; iungatur ME. Certum est, et ab eodem Galikeo usurpatur pag. 218 et 219 eiusdem libri, grave naturaliter descendens per lineam directionis abinitiodescensûs idem spacium eodem

(i) Galilée ne donna la démonstration de cette assertion que plus tard dans les Discorsi (éd. de i638), p. 180 et suiv.

(2) On trouve le théorème mentionné dans la Giornata quarto, du Dialogo sous le litre des Problemi maravigliosi di mobili discendenti per una quarta di cercldo, e dei discendend per tutte le corde di luiio il cercliio. SleVsenne avait traité cette question dans le Livre second de son Harmonie universelle (Paris, i636), p. 221 et suiv.

LA CHUTE DES GRAVES. k\

temporepercurrere, sive sit proximumcentro terrée, sive ab eo distans.

Sit igitur punctum B in hoc novo situ in puncto Q. Hoc supposito, si verum sit quo tempore grave à puncto B descendit ad C, eodem à puncto D descendere ad punctum C, et quo tempore à Q descendit ad Z, eodem ab M descendere ad Z, ergo, cùm à puncto B ad C eodem tempore descendat quo à puncto Q ad Z(supponendo B et Q initia motuum), igitur à puncto D ad G eodem tempore descendet quo à puncto M ad punctum Z. Propter parallelas autem anguli ZMN, CDM sunt aequales; maior autem angulus EMN angulo EDM, minor igitur angulus ZME angulo CDE. fdeoque grave in puncto M super rectam MZ citiùs descendet quàm super rectam DC quia in hoccasupropiusest lineœdirectionis. Cùm igitur rectœ DC, MZ sint aequales, citiùs idem grave a puncto M perveniet ad Z quàm à puncto D ad C.

Non videtur igitur posse constare posterior propositio Galilaei . Unde patet quo propius circulas appropinquat centre-, eo citiùs grave per lineam DC ad punctum C perventururn.

Quod 4a figura longé adliuc clarius confirmât, in quâ siteen-

trum Terrae E in extremitate diametri et fiât AE aequalis NE. Grave in puncto N constitutum in hoc casu descendens per

l'i i;mat. — Supplément . 6

rectam NE, descendit per lineam directionis. Ergo si descendat à puncto A, ad centrum eodem tempore perveniet quo à puncto N; igitur citius quàm si a puncto B descenderet.

Sed haecnonevertuntprimam Galilaeipropositionem. Immo videtur sane nullum ex eâ absurdum sequi, quia, verbi gratiâ, in 3a figura angulus ABC inclinatione, sive appropinquet circuluscentroTerrœ sive ab eodem removeatur,idempermanet.

Eius tamen propositions errorein 5° diagrammate subtilius investigamus.

Eiat constructio circuli NM, centrum Terrae sit E; recta utcumqueNM, sectain B; eique parallela utcumque ADZ; fiât et recta AD yequalis NB. lungantur BE, DE et sit AZ sequalisNM.

Cùm propter parallelas anguli MNE, ZAE sint œquales, ergo, si vera sit propositio Galilœi primo loco posita, eâdem quâ iam usi sumus argumentatione , prol)abimus, circulo moto, eo tempore quo grave ab N descendit ad M, eodem ab A descendere ad Z; et quo descendit abN ad B, eodem descendere ab A ad D. Probabimus etiam grave in D, ab A perveniens, esse eiusdem velocitatis atque à puncto N adpunctum B perveniens. Sed ex constructione patet angulum BEN minorem esse angulo AED : sunt autem aequales DAE, BNE, ergo minor est EDA quàm EBN, ideoque ZDE maior quàm MBE. Igitur grave, cùm in D, ex Galilœo, eiusdem sit velocitatis atque in B, ergo citius descendet à puncto B super rectam BM quàm à puncto D super DZ. Ideoque rectam NM citius quàm AE percurret, quod niilii videtur absurdum.

Ergo non potest constare utraque Galilaù propositio. Si demonstrationem exactissimam requiras secanda^ erunt rectse NM, AZ in partes quotcumque œquales, nam semper

accidet mutari angulus inclinationum. Et si sextam figuram construas eodem raticinio concludes in primo Galiloei cas/t, quo propior fit centra terrœ eirealus, eb mot uni per planum

Fig. i3.

Fis

inclinalum fieri tardiorem; in .secundo, quo propior fit centro terrœ ciraulus, eb motum per planant inclinatam fieri citiorem, quae res non vacat admiratione.

Qmittimus Galilœum supposuisse in piano horizontali nullum fieri motum, cùm tamen unicum sit punctum in quo grave in quolibet piano quiescit (').

(!) Voir, pour le mouvement d'un point sur le plan horizontal, l'explication de Cardan, ci-avant, p. 3o. Fermât en a traite dans un écrit latin de décembre i(J36 (t. Il, p. 88-89, cf. p. 91). Voir aussi Dr 11 km, op. cit., I. I, (904, p. 1 85, 186, 21 5 ot 225 : l. II, 1906, p. 77, 8{, 119, (24-125 et 177. En effet il n'j a de vraie horizontale, ou ligue normale à la direction île la pesanteur, que le cercle.

kk ŒUVRES DE FERMAT. - SUPPLEMENT.

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