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composé de deux nombres, et, si les quarrés sont premiers entre eux, les nombres compositeurs le sont aussi. Mais si les quarrés ont entre eux un commun diviseur, le nombre en question sera aussi divisible par le même commun diviseur, et les nombres compositeurs seront divisibles par le côté de ce commun diviseur.

Par exemple : 45 est composé de 5 et de 9, de 3 et de i5, de i et de 4 >. Partant, il sera trois fois la différence de deux quarrés : savoir de 4 et de 49» qui sont premiers entre eux, comme aussi sont les compositeurs correspondants 5 et 9; plus, de 36 et de 8r, qui ont 9 pour commun diviseur, et les compositeurs correspondants, 3 et i5, ont le côté de 9, savoir 3, pour commun diviseur; enfin 45 est la différence de 484 et 529, qui ont i et 45 pour compositeurs correspondants.

II est fort aisé de trouver les quarrés satisfaisants, quand on a le nombre et ses parties, et d'avoir les parties lorsqu'on a les quarrés.

Cette proposition se trouve quasi tout par tout. On en pourrait quasi autant dire des pairements pairs, excepté 4» avec quelque petite modification.

Cela posé, qu'un nombre me soit donné, par exemple 2027651 281, on demande s'il est premier ou composé, et de quels nombres il est composé, au cas qu'il le soit.

J'extrais la racine, pour connoître le moindre des dits nombres, et trouve 45 029 avec 4o 44^ de reste, lequel j'ôte du double plus i de la racine trouvée, savoir de 900,59 : reste 49619, lequel n'est pasquarré, parce que aucun quarré ne finit par 19, et partant je lui ajoute 90061, savoir 2 plus que 900)9 qui est le double plus i de la racine 45029. Et parce que la somme 139680 n'est pas encore quarrée, comme on le voit par les finales, je lui ajoute encore le même nombre augmenté de 2, savoir 90063, et je continue ainsi d'ajouter tant que la somme soit un quarré, comme on peut voir ici ('). Ce qui n'arrive qu'à io4o4oo, qui est quarré de 1020, et partant le nombre donné est composé: car il est aisé, par l'inspection des dites sommes, de voir qu'il n'y a au-

(*) Fermât avait dû efTectucr en marge les calculs indiqués, qui n'ont pas été repro-^ duits sur la copie.

Febmat. — H. 33

cune qui soit nombre quarré que la dernière, car les quarrés ne peuvent souffrir les finales qu'elles ont, si ce n'est 499944 qui néanmoins n'est pas quarré.

Pour savoir maintenant les nombres qui composent 2027631281, j'ôte le nombre que j'ai premièrement ajouté, savoir 90 061, du dernier ajouté 90081. Il reste 20, à la moitié duquel plus 2, savoir à 12, j'ajoute la racine premièrement trouvée 4^029. La somme est 45o4i, auquel nombre ajoutant et ôtant 1020, racine de la dernière somme io4o4oo, on aura 46061 et 44 021, qui sont les deux nombres plus prochains qui composent 2027601 281 . Ce sont aussi les seuls, pource que l'un et l'autre sont premiers.

Si l'on alloit par la voie ordinaire, pour trouver la composition d'un tel nombre, au lieu de onze additions, il eût fallu diviser par tous les nombres depuis 7 jusqu'à 44 021.

Plusieurs abrégés se peuvent trouver, comme lorsqu'on ne fait qu'une addition au lieu de dix, aux endroits où les sommes ont leurs finales quarrées, quand les compositeurs sont beaucoup éloignés l'un de l'autre.