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rhypothëse qu'il manque deux parties à l'un et trois à l'autre, conviennent maintenant de gré à gré qu'on joue quatre parties complètes, c'est-à-dire qu'on jette les quatre dés à deux faces tous à la fois, n'estil pas vrai, dis-je, que, s'ils ont délibéré de jouer les quatre parties, le parti doit être, tel que nous avons dit, suivant la multitude des assiettes favorables à chacun?

Il en demeura d'accord et cela en effet est démonstratif; mais il nioit que la même chose subsistât en ne s'astreignant pas à jouer les quatre parties. Je lui dis donc ainsi :

N'est-il pas clair que les mêmes joueurs, n'étant pas astreints à jouer < les > quatre parties, mais voulant quitter le jeu dès que l'un auroit atteint son nombre, peuvent sans dommage ni avantage s'astreindre à jouer les quatre parties entières et que cette convention ne change en aucune manière leur condition? Car, si le premier gagne les deux premières parties de quatre et qu'ainsi il ait gagné, refuserat-il de jouer encore deux parties, vu que, s'il les gagne, il n'a pas mieux gagné, et s'il les perd, il n'a pas moins gagné? car ces deux que l'autre a gagné ne lui suffisent pas, puisqu'il lui en faut trois, et ainsi il n'y a pas assez de quatre parties pour faire qu'ils puissent tous deux atteindre le nombre qui leur manque.

Certainement il est aisé de considérer qu'il est absolument égal et indifférent à l'un et à l'autre de jouer en la condition naturelle à leur jeu, qui est de finir dès qu'un aura son compte, ou de jouer les quatre parties entières : donc, puisque ces deux conditions sont égales et indifférentes, le parti doit être tout pareil en l'une et en l'autre. Or, il est juste quand ils sont obligés de jouer quatre parties, comme je l'ai montré : donc il est juste aussi en l'autre cas.

Voila comment je le démontrai et, si vous y prenez garde, cette démonstration est fondée sur l'égalité des deux conditions, vraie et feinte, à l'égard de deux joueurs, et qu'en l'une et en l'autre un même gagnera toujours et, si l'un gagne ou perd en l'une, il gagnera ou perdra en l'autre et jamais deux n'auront leur compte.

4. Suivons la même pointe pour /row joueurs et posons qu'il manque

une parlic au premier, qu'il en manque deux au second et deux au troisième. Pour faire le parti, suivant la même méthode des combinaisons, il faut chercher d'abord en combien de parties le jeu sera dé- <'idé, comme nous avons fait quand il y avoit doux joueurs : ce sera en trois, car ils ne sauroient jouer trios parties sans que la décision soit arrivée nécessairement.

Il faut voir maintenant combien trois parties se combinent entre trois joueurs et combien il y en a de favorables à l'un, combien a l'autre et combien au dernier et, suivant cette proportion, distribuer l'argent de même qu'on a fait en l'hypothèse de deux joueurs. , Pour voir combien il y a de combinaisons en tout, cela est aisé : c'est la troisième puissance de 3, c'est-à-dire son cube 27. Car, si on jette trois dés ii la fois (puisqu'il faut jouer trois parties), qui aient chacun trois faces (puisqu'il y a trois joueurs), l'une marquée a favorable au premier, l'autre b pour le second, l'autre c pour le troisième, il est manifeste que ces trois dés jetés ensemble peuvent s'asseoir sur 27 assiettes différentes, savoir :

Or, il ne manque qu'u«e partie au premier : donc toutes les assiettes où il y a un a sont pour lui : donc il y en a i().

Il manque deux parties au second : donc toutes les assiettes où il y a deux h sont pour lui : donc il y en a 7.

Il manque (^e«^ parties au troisième; donc toutes les assiettes où il y a deux c sont pour lui; donc il y on a 7.

Si de là on concluoif qu'il faudroit donner à chacun suivant la proportion de If), 7. 7, on se tromperoit trop grossièrement et je n'ai garde de croire que vous le fassiez ainsi; car il y a quelques faces

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Tavorables au premier et au second tout ensemble, comme abb^ car le premier y trouve un a qu'il lui faut, et le second deux b qui lui man- {|uent; et ainsi ace est pour le premier et le troisième.

Donc il ne faut pas compter ces faces qui sont communes à deux comme valant la somme entière à chacun, mais seulement la moitié. C.ar, s'il arrivoit l'assiette acc^ le premier et le troisième auroient même droit à la somme, ayant chacun leur compte, donc ils partageroient l'argent par la moitié; mais s'il arrive l'assiette aaA, le premier gagne seul. 11 faut donc faire la supputation ainsi :

Il y a i3 assiettes qui donnent l'entier au premier et 6 qui lui donnent la moitié et 8 qui ne lui valent rien : donc, si la somme entière <»st une pistole, il y a i3 faces qui lui valent chacune une pistole, il y a () faces qui lui valent chacune ^ pistole et 8 qui ne valent rien.

Donc, en cas de parti, il faut multiplier

i3 par une pislole, qui font i3

6 par une demi, qui font 3

8 par zéro, qui font o

Somme... 27 Somme... 16

ot diviser la somme des valeurs, iG, par la somme des assiettes, 27, qui fait la fraction ~, qui est ce qui appartient au premier en cas de parti, savoir 16 pistoles de 27.

Le parti du second et du troisième joueur se trouvera de même :

Il y a 4 assiettes qui lui valent i pistole ; multipliez. . . 4 Il y a 3 assiettes qui lui valenl \ pistole : multipliez. . . i ^ El 20 assiettes qui ne lui valenl rien o

Somme... 27 Somme... 5^

Donc il appartient au second joueur j pistoles et ^ sur 27, et autant au troisième, et ces trois sommes, 5 ^, 5^ et iG, étant jointes, font les 27.

5. Voilà, ce me semble, de quelle manière il faudroit faire les partis par les combinaisons suivant votre méthode, si ce n'est que vous ayez quelque autre chose sur ce sujet que je ne puis savoir. Mais, si je ne me trompe, ce parti est mal juste.

La raison en est qu'on suppose une chose fausse, qui est qu'on joue

Febhat. — II. 39

en trois parties infailliblement, au lieu que la condition naturelle de ce jeu-là est qu'on ne joue que jusques à ce qu'un des joueurs ait atteint le nombre de parties qui lui manque, auquel cas le jeu cesse. Ce n'est pas qu'il ne puisse arriver qu'on joue trois parties, mais il peut arriver aussi qu'on n'en jouera qu'une ou deux, et rien de nécessité. Mais d'où vient, dira-t-on, qu'il n'est pas permis de faire en cette rencontre la même supposition feinte que quand il y avoit deux joueurs? En voici la raison :

Dans la condition véritable de ces trois joueurs, il n'y en a qu'un qui peut gagner, car la condition est que, dès qu'un a gagné, le jeu cesse. Mais, en la condition feinte, deux peuvent atteindre le nombre de leurs parties : savoir, si le premier en gagne une qui lui manque, et un des autres, deux qui lui manquent; car ils n'auront joué que trois parties, au lieu que, quand il n'y avoit que deux joueurs, la condition feinte et la véritable convenoient pour les avantages des joueurs en tout; et c'est ce qui met l'extrême différence entre la condition feinte et la véritable.

Que si les joueurs, se trouvant en l'état de l'hypothèse, c'est-à-dire s'il manque une partie au premier et deux au second et deux au troisième, veulent maintenant de gré à gré et conviennent de cette condition qu'on jouera trois parties complètes, et que ceux qui auront atteint le nombre qui leur manque prendront la somme entière, s'ils se trouvent seuls qui l'aient atteint, ou, s'il se trouve que deux Paient atteint, qu'ils la partageront également, en ce cas, le parti se doit faire comme je viens de le donner, que le premier ait iG, le second 5^, le troisième 5^, de 27 pistoles, et cela porte sa démonstration de soimême en supposant cette condition ainsi.

Mais s'ils jouent simplement à condition, non pas qu'on joue nécessairement trois parties, mais seulement jusques à ce que l'un d'entre eux ait atteint ses parties, et qu'alors le jeu cesse sans donner moyen à un autre d'y arriver, lors il appartient au premier 17 pistoles, au second 5, au troisième 5, de 27.

Et cela se trouve par ma méthode générale qui détermine aussi