REMARQUES SUR L'ARITHMÉTIQUE DES INFINIS DU S. J. WALLIS

{Comm. ep., n" 13; f'a., p. xgS-xgG.)

I. En son Épître il déclare comment il s'est mis à la recherche de la quadrature du cercle et dit que quelques vérités, qui ont été découvertes en Géométrie, lui ont donné l'espérance qu'elle se pourroit trouver. Ces vérités sont :

Que la raison des cercles infinis du cône aux infinis du cylindre est connue, savoir celle du cône au cylindre qui a même base et hauteur; et pareillement la raison des diamètres desdits cercles, savoir celle du triangle qui passe par l'axe du cône au parallélogramme qui passe par l'axe du cvlindre;

Comme aussi on a la raison du conoïde parabolique au cylindre circonscrit, et celle de la parabole au parallélogramme qui passent par leurs axes, qui sont comme l'assemblage des diamètres des cercles infinis qui composent lesdits solides;

De plus, qu'on a aussi trouvé la raison des ordonnées (tant au triangle qu'au conoïde parabolique ou parabole), qui sont les diamètres desdits cercles.

D'où il conclut que, puisqu'on a trouvé aussi la raison de la sphère au cylindre circonscrit, ou celle de l'infinité des cercles parallèles, dont on peut concevoir que la sphère est composée, à pareille multitude de ceux qui se peuvent feindre au cylindre, on pourra aussi espérer de pouvoir découvrir la raison des ordonnées en la sphère ou au cercle à celles du cylindre ou quarré, savoir la raison des dia-

(*) Pièce apportée par White à Brouncker en même temps que la précédente (premiers jours d'octobre 1657). Wallis répondit (à Digby) par la Lettre 16 du Commercium.

mètres des cercles infinis qui composent la sphère aux diamètres des cercles du cylindre. Ce qui scroit avoir la quadrature du cercle.

Mais, de même qu'on ne pourroit pas avoir la raison de tous les diamètres pris ensemble des cercles qui composent le cône à ceux du cylindre circonscrit, si on n'avoit la quadrature du triangle; non plus que la raison des diamètres des cercles qui composent le conoïde parabolique à ceux qui font le cylindre circonscrit, si on n'avoit la quadrature de la parabole; ainsi on ne pourra pas connoître la raison des diamètres de tous les cercles qui composent la sphère à ceux des cercles qui composent le cylindre circonscrit, si l'on n'a pas la quadrature du cercle. Car, de demander la raison qu'il y a entre les diamètres de tous les cercles parallèles qu'on peut concevoir en la sphère (lesquels diamètres, pris tous ensemble, ne sont autre chose qu'un cercle) et ceux des cercles qu'on peut feindre au cylindre circonscrit (lesquels font un quarré circonscrit audit cercle), cela n'est autre chose que de demander la raison du cercle au quarré circonscrit.

II. En la même Epître (*), après avoir posé une suite de nombres,

savoir :

il demande le terme moyen qui doit être mis entre i et G. Je réponds que, si on a égard à la suite entière des dits nombres, on ne peut poser aucun terme moyen entre les dits i et G, pource qu'en cette suite les

(') Si, dans la suite do Wallis, on cjrisiilorc runilô comme élanl le terme de ranj: o. lo

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et l'on peut aussi poser

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