CHAPITRE IV DIFFUSION DE I. V CHALEI 15. H

tiplier K's moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle, on emploiera l'intégrale sous une forme différente de celle que nous avons considérée jusqu'ici.

On satisfait à l'équation

,)t 'J'en supposant // égale à c—'ckt. Or, celle dernière fonction de x et t peul être mise sous la forme d'intégrale définie, ce qui se déduit très facilement de la valeur connue de / er^dq. On a en effet jiz= I e q%dq lorsque l'intégrale est prise de y = — oc à (j = + x. On aura donc

aussi

b étant une constante quelconque, et les limites de l'intégrale étant les meniez qu'auparavant. De l'équation

\ - =e-'': I e-(7'+2/"/ dg, on conclut, en faisant h2 = //,

eki—__ t e-'i'e-'t^1 <l<i\

donc la valeur précédente de u ou e~x<M équivaut à

On pourrait aussi supposer n égale ;i la fonction

,—nx pkn'-l

a et n étant (\>'i\\ constantes quelconques; el l'on trouvera *\<- même que cette fonction équivaut à

I e-<Pern(*+*ifà) da

V1V THÉORIE DE l>\ CHALEl R.

0n peul donc prendre, en général, pour valeur de « la somme d'une

infinité de valeurs semblables, et l'on aura

„=('",■ *' dq\ale-»^x+iiJFl)+aîe-«*(x+iiJU) 4- a,*-"'(*+ï'^) +...]•

Les constantes att a2, a,. ... et n|f n„ i»„ • •• étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de a?+ 29 v**: on ;i donc

L'intégrale doit être prise de a = -oc à u = ce, et la valeur de u satisfera nécessairement à l'équation

du 1 à%u àt X dxï

Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n'était point connue lorsque nous avons entrepris nos recherches sur la Théorie de la chaleur, qui ont été remises à l'Institut de France dans le mois de décembre 1807; elle a été donnée par M. Laplace, dans un Ouvrage qui fait partie du Tome VIII du Journal de l'École Polytechnique nous ne faisons que l'appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut

'Vï3.

donc

P = e-,u I e-'i' o{x -+- iq\Jkt)dq -\-e

lorsque / est égal à zéro, la valeur de u est F x -e * ou /(a?); /(*)== T <f(x)e-i'-dq et 9(x)= -^.f(x).

Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l'intégrale est déterminée

(i) Laplace, Mémoire sur divers points d'Analyse : Sur le Calcul des fonctions gênérarices Sur les intégrales définies des équations a différences partielles. - sur k-

pass réciproque des Résultats réels aux Résultats imaginaires. - Sur 1 mtégranon de

*2n aux différences finies non 1 aires. Sur la Réduction des fonctions en Table

[Zurnai de l'École Polytechnique, W Cahier, p. »»-*65. F«r plus prUerttawrt p. ?.35 à 2 j i 1.

CH IPITRE 1\. uni I SION DE I v en Mil i;. ;\:>

au moyen de la fonction donnée / i : el Ton a l'équation suivante qui contient la solution de la question

il serail facile de représenter ce résultat par une construction.

Nous appliquerons la solution précédente au cas où, huis les points il«i l.i ligne AB ayanl \.\ température initiale o,on échauffe l'extrémité \ pour la retenir continuellement à la température i. Il en résulte que F ' a une valeur nulle lorsque x diffère de o. Ainsi, / x équivaut à

toutes les fois que x diffère «le zéro, el à zéro lorsque x esl

nulle. D'un autre côté, il esl nécessaire qu'en faisant x négative, la

valeur <l<> f v change de signe, en sorte que l'on a la condition

/ — x =— f x . On connaît ainsi la nature de la fonction discon-

N i- i -- - 'V ES

tinue/ r); elle esl — e "* lorsque x surpasse o, et -he Ks lorsque ' esl moindre que o. Il faut maintenant écrire, au lieu de x, la quantité i — ."/ \ ki . Pour trouver u ou

-4 / e-ï-f(x+ iq \ l,i dç,

"'i prendra d'abord l'intégrale depuis x ■+■ iq y/Ai = o jusqu'à - \q\it = zo, el ensuite depuis x h ay >[kt = — x jusqu'à ' — 2 y \kt — o. Pour la première partie, on a

— — / <■ i'e N ^dq,

et, remplaçant k par sa valeur ( • on a

Vj Vrs

k\6 OU

ou

TIIÉOH1K DE L V Cil M.Kl |{.

— e hs / e-f'e

sJ-K J

dq

l,-VB*a/e-l»+ViicJ^ En désignant par r la quantité «74- l/rqr-r' l'expression précédente

est