CALCUL DES VARIATIONS

Je vais franchir maintenant un intervalle de trente années, et nous verrons Poisson aux prises avec le calcul des variations.

Le calcul des variations, considéré dans les Écoles comme la partie la plus difficile et la plus délicate des mathématiques, a été l'objet de savantes recherches de notre confrère, qui furent communiquées à l'Académie le 10 novembre 1831.

Les géomètres trouvèrent de bonne heure les règles à l'aide desquelles on détermine le maximum ou le minimum d'une fonction explicite d'une ou de plusieurs variables ; îb tâtonnèrent longtemps, au contraire, avant de découvrir un procédé général propre à la solution des questions plus compliquées dans lesquelles la fonction qui doit être un maximum ou un minimum est seulement connue par sa différentielle. Le problème relatif à la détermination du solide de révolution qui se meut le plus facilement possible à travers un milieu où la résistance croît proportionnellement au carré de la vitesse, doit être rangé dans cette dernière catégorie. Newton le résolut, mais sans dire par quel procédé. Les premières méthodes qu'on ait données pour découvrir les maœima et les minima des intégrales de fonctions différentielles connues, appartiennent aux Bernoulli et à Taylor. Ces méthodes reçurent dans les mains d'Euler d'importants

perfectionnements qui forment le principal sujet de Pouvrage intitulé : Methodus inveniendi lineas curvasj etc. Lagrange , enfin , donna dans son Calcul des variations une méthode qui à Tavantage d'être à la fois plus simple et plus générale que celles dont on avait fait jusqu'alors usage, joignait celui d'être applicable aux intégrales doubles.

La méthode des variations étant devenue peu de temps après sa publication une des branches de l'enseignement des mathématiques, il doit paraître étrange qu'on pût encore, en 1831, y signaler de véritables lacunes; et cependant il est très-vrai que cette méthode laissait l'analyste absolument sans guide, lorsque les limites de l'intégrale double étaient variables et inconnues. Grâce au nouveau travail de Poisson, cette lacune a entièrement disparu. Les géomètres sauront désormais, même pour les cas des intégrales doubles, former les équations relatives aux limites considérées dans toute leur gêné* ralité.

Le Mémoire de Poisson a été publié dans le tome xn du Beaml de l'Académie. Les mathématiciens y trouveront, outre le complément du calcul des variations dont le peu de lignes qui précèdent signalent suffisamment l'importance , diverses remarques sur les conditions d'intégrabilité des formules différentielles d*un ordre quelconque, et l'expression de l'intégrale, sous forme finie, par le moyen des quadratures, lorsque ces conditions sont satisfaites.

Un mot encore sur le Mémoire dont il vient d'être question.

POISSON. 6Ȉ

Ma juste déférence pour les opinions de Poisson ne doit pas m'empêcher de signaler un point à l'égard duqud sa profonde érudition mathématique et son bon sens exquis ne Font pas, à mon avis, garanti d'une erreur historique. Je veux parler du géomètre à qui appartient réellement l'invention du calcul différentiel.

Le calcul différentiel est la plus grande découverte mathématique que les hommes aient faite, et si l'on con^ sidère l'importance et la variété de ses applications, c'est la plus belle conception de l'esprit humain. A Taide du calcul différentiel, le mathématicien saisit les questions de toute nature dans leurs vrais éléments, dans leur essence intime; il sonde ainsi, sans jamais laisser de lacune derrière lui, les plus secrets replis des phénomènes naturels. Le calcul différentiel fournit à de simples écoliers les moyens de résoudre, d'un trait de plume, des problèmes devant lesquels l'ancienne géométrie restait impuissante, même dans les mains d'un Archimède. Il ne faut donc pas s'étonner que deux beaux génies, Leibnitz et Newton^ que deux grandes nations, l'Allemagne et l'Angleterre, se soient disputé, avec ardeur, avec animosité, l'honneur de l'invention.

Lorsqu'à la suite d'une profonde étude des pièces de ce mémorable procès, lorsque après avoir consulté de de nouveau les Varia opéra mathematica de Fermai, publiés en 1679, quinze ans après la mort du célèbre auteur, Lagrange et Laplace reconnurent, il y a peu d'années, qu'il fallait regarder Fermât comme le véritable inventeur.du calcul différentiel , nos voisins d'outre- Manche se montrèrent vivement émus; ils soutinrent

eu POISSON.

qu*une possession de plus d'un siècle de durée devait faire repousser toute prétention nouvelle, comme si, en matière de science , la prescription pouvait jamais être invoquée au détriment du droit et de la vérité. Aussi , n'est-ce pas sur un pareil argument que Poisson fonde son opinion ; il prétend faire dater l'invention contestée du moment où l'algorithme et la notation qui ont prévalu furent , sur la proposition de Leibnitz, adoptées par tous les géomètres du continent ; mais comment noire confrère n*a-t-il pas remarqué que si l'invention résidait réellement dans la création de l'algorithme, toute discussion entre le géomètre allemand et le géomètre anglais eût été sans objet , car on n'en voit point de traces dans les fluxions de Newton. Je ne suis pas plus touché des difficultés que Poisson signale et que Fermât rencontra en l'absence de la formule du binôme, alors inconnue, pour trouver la différentielle d'un radical; ces difficultés prouvent seulement qu'aprte la première invention, il restait encore beaucoup à faire ; que le nouveau calcul ne sortit pas de la tête du géomètre de Toulouse, comme Minerve du cerveau de Jupiter.

Remarquons d'ailleurs que Fermât ne fit pas seulement l'application de ses procédés à une question de maximis et minimis, qu'il s'en servit aussi pour mener des tangentes aux courbes, et que d'Alembert disait déjà, dans V Encyclopédie, « que la géométrie nouvelle n'était que cette dernière méthode généralisée. »

Qu'on me permette maintenant cette remarque : ce n'est pas en quelques lignes, et sans une discussion approfondie, qu'on tranche une question sur laquelle

d'Alemb^, Lagrange, Laplace, se sont prononcés si catégoriquement, et en développant des preuves à Tappui de leurs opinions. Malgré Pavis de notre confrère, l'inventeur du calcul différentiel restera donc, conformément à la décision des trois géomètres illustres que je viens de nommer, non pas Newton, non pas Leibnitz, comme on Tavait cru longtemps, mais Fermât. Si cette opinion parvient à réunir l'adhésion de tous les géomètres compétents et désintéressés , il faudra désormais considérer les belles découvertes de Poisson comme ayant été faites à l'aide d'une admirable méthode d'origine française. Une pareille conclusion ne pourra manquer d'être bien accueillie dans cette Académie.

GODRBORB DES SURFACES.

Poisson a publié, dans le Journal mathématique de Crelle, un Mémoire ihtéressant sur la courbure des surfaces, dont je vais essayer de donner une idée.

Si l'on fait passer une série indéfinie de plans sécants par la normale aboutissant à un point déterminé d'une surface courbe, on obtient une série correspondante dp sections planes de courbures diverses. Ces courbures dépendent de la forme et de la grandeur de la surface donnée. Il semble donc peu naturel d'espérer qu'elles puissent être enchaînées les unes aux autres par une règle générale, ou, si l'on veut, par une formule totalement indépendante de la forme particulière de cette surface.

Euler a montré cependant qu'étant donnés les rayons de courbure de trois sections normales quelconques, on

peut en déduire, sans avoir besoin de connaître Téquation de la surface, le rayon de courbure de toute autre section également normale déterminée de position à Tégard des premières; que dans le nombre infini de sections normales, il en est deux, celles qu'on a appelées les sections principales, qui répondent, Tune au plus grand, Tautre au plus petit rayon de courbure; que ces deux sections sont toujours rectangulaires entre elles. LMllustre géomètre détermine le rayon de courbure d'une section quelconque en fonction de Tangle que cette section forme avec celles qui contiennent le plus grand et le plus petit rayon de courbure et les valeurs de ces deux rayons.

Euler avait également rattaché, à Taide d'une formule générale, le rayon de courbure d'une section oblique aux rayons de courbure des sections normales; mais le rapport simple qui lie ces quantités entre elles lui échappa : c'est à Meunier, de l'Académie des sciences, le célèbre défenseur de Mayence pendant l'ère républicaine , qu'on doit cette règle élégante, que le rayon de courbure d'une section oblique est la projection sur son plan du rayon de courbure de la section normale passant par la même tangente à la surface.

Cette théorie générale de la courbure des surfaces, l'une des plus belles acquisitions de la géométrie moderne , ne semblait devoir souffrir d'exception que pour les points singuliers dans lesquels les surfaces courbes ont plusieurs plans tangents. Poisson a montré cependant que les théorèmes d'Euler n'ont pas lieu; que les rayons de courbure des sections normales sont susceptibles de plusieurs maxima et minima^ même pour des points où le

plan tangent est unique. Il a cité, comme exemple, la surface qui serait engendrée par une parabole tournant autour de son axe, tandis que le paramètre varierait suivant une fonction donnée de l'angle décrit. Il est évident qu'à son sommet cette espèce de paraboloïde aurait pour plan tangent unique le plan perpendiculaire à l'axe de rotation; qu'en ce môme point, les sections normales seraient la parabole génératrice dans ses diverses formes et positions. Or, les rayons de courbure de ces lignes devant nécessairement varier suivant la même loi que leurs paramètres, pourraient, à l'aide d'un choix convenable de la fonction qui lie l'angle décrit à la grandeur du paramètre, passer par autant d'alternatives de maxima et de minima qu'on le désirerait Les sections principales ne seraient donc plus au nombre de deux seulement, comme le voulait le théorème d'Euler.

Ces principes découverts par Euler, en tant que méritant les noms de théorèmes généraux ne peuvent être en défaut sans qu'on puisse en trouver la raison dans un examen approfondi des conditions de la question ; il faut montrer, pour l'honneur des théories mathématiques, qu'il eût été possible, à priori, de prévoir ces cas exceptionnels et d'assigner les circonstances dont ils dépendent Tel est, en effet, le principal objet du Mémoire de M. Poisson.

Je ne terminerai pas sans signaler une conséquence intéressante qui découle aussi de l'analyse de M. Poisson. Le théorème de Meunier, sur les rayons de courbure des sections obliques, se vérifie alors même que celui d'Euler n'a plus lieu.