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on remplace la fonction © par sa série de Fourier et qu'on réunisse les sinus d’un même arc, on aura

H=4 RE = Ty = — ge (ai= mu),

La sommation est appliquée à tous les diviseurs Impairs m dea(en se rappelant que T, = o pour > MECS:

Considérons d’une manière générale une suite imdéfinie 7 nombres

D Oo Ou to CLI POSONS R —= > re £ DEC nt

étendue à tous les diviseurs impairs m de a. Il est aisé d’en déduire inversement les S en fonction des R; je dis qu’on à

Km) => ne

En eflet, si l’on substitue à R son expression dans l'égalité précédente on a

DER a De ns > — Da (re diviseur impair de =).

mm! m'

5 . I =. " F Par suite, le terme S , a pour coefficient ——YŸ{m) appliquée à À mm nt

tous les diviseurs m de m m', c’est-à-dire zéro ; 1l y a exception pour m m'—=1. Leterme S, a pour coefficient l'unité. La valeur du second

membre est donc bien S,.

(*) Ceci s'applique à une série illimitée ET, ?(uæx), pourvu qu’elle soit uniformément convergente : les coefficients de Fourier sont toujours donnés par la formule précédente. (Note du rédacteur.)

5 J’envisage une série trigonométrique convergente co HAE > R,sinaræx a —1

et en même temps une série limitée

M fu(a)= + D Suvetux), H=1

les S et les R étant liés par les relations précédentes. Réduisant (x) en série trigonométrique j'aurai

IT) = SRE SMNaAr Tr

Î LA sis LÈ

cette dernière sommation s'appliquant sous la condition

Mi Par suite, pour a£ M, on a

Res R

Donc

co f(x) — Éu(x) = D (Ra— R/)sinarx, a—=M +1 R,—R!— —$ # < nm a

mn - , j RE a la sommation s'appliquant sous la condition — > M. mnt Ceci peut s’écrire :

2h 1 U(m') Fe Ra Re = D > m' ul im > M)

nm!

=> nn Ra D o(m') =D = [Re DUC )

an in!

où l’on doit avoir a diviseur impair de &,

m' diviseur de 1,

Le