ADDITION

AU CHAPITRE II DE LA PREiMIÈRE PARTIE, PAGE 33.

On peut démontrer de différentes manières la correspondance des fonctions dérivées avec les différentielles. Si l'on désigne par d.r ia différence constante des valeurs successives x, x + dx, x -h 2dx, x-i-3dx, ... de la variables, les valeurs correspondantes de la variable j, regardée comme fonction de x, seront, par la formule précédente, en V faisant successivement /= dx, 2dx, ?>dx, ....

^ + iy' dx

r"dx- y'dx'^ Y'^dx''

^y" dr- 8r"'dx « 1 6 j'" dx^

^ , , Qy"dx^ 7.n}"'i/x^ 8ir"'^.r>

r + 3r'dx + ^ • 4- — — 5 1 ■ g ,

, , , ,6r"dx^- 6Ar"'dx^ 256r''fl'.r''

r -t- ^fdx -4- -^ h -^^^-^. 1 ^-^z—, —

Si l'on prend, par des soustractions successives, les différences premières, secondes, troisièmes, etc. de ces valeurs, et qu'on les dénote par dy, d-y, d^y, . . ., on aura

, , r" dx- y"'dx^ y^'dx''

dy = y'dx -+- 4- • ^— H- •' ^ . -\ -,

2r"^/^- Q>y"'dx^ i4r'V/.r''

, 2.^r'^''dx''

ADDITION AU CHAPITRE II DE LA PREMIÈRE PARTIE. h\:) Supposons qiio la clilTérence dv (levicnno infiniment petite : les puissances di-, r/r', ... deviendiont infiniment petites, chacune par rapport à celle qui prccètle, et les séries qui expriment les valeurs des dilTérences dv, d-y, d^y, ... se trouveront composées de termes infiniment petits, chacun relativement au précédent, de sorte qu'en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur relativement à ceux d'un ordre inférieur, on aura simplement

dy = y dx, d-y — y" dx-, dy- = )"'dx'', . . . , et par conséquent

■'' ~ dx' ■^ ^ dx-' -^ " dx-^

On voit par là comment la supposition des infiniment petits peut servir à trouver les fonctions dérivées, et l'on peut en conclure que les

f/'V fi^ V*

expressions difTérentielles -^î -j~i ■'■■> au lieu d'exprimer ce qu'elles

paraissent représenter, ne sont à la rigueur que des symboles qui dénotent des fonctions différentes de la fonction primitive y, mais dérivées de celle-ci suivant certaines lois. [Fo<>, dans la nouvelle édition (\es Leçons sur le Calcul des fonctions, la Leçon XVIII, qui contient des remarques importantes sur le passage du fini à l'infiniment petit (*). |

(*) OEwrcs (le Ln grange, t. X.

FIN DU TOME iNEUVIÈME.

THÉORIE DES FONCTlOiNS ANALYTIOUES.

Non: m: M. J.-A. SI^IRRET.

I. I.a thécirio remarqualjlc exposée dans les Chapitres III et IV de la deuxième Partie fait connaître l'intégrale première et la solution singulière d'une classe assez étendue d'équations différentielles : il s'agit des équations auxquelles conduisent les problèmes inverses sur licontact des courbes, et dans lesquelles n'entrent que les cléments mômes du contact. L(> succès de la méthode est dû à cette seule circonstance que les éléments du contact sont des fonctions de .r, r et des dérivées de r, (jui, étant égalées à des constantes arbitraires, fournissent autant d'intégrales premières d'une môme équation différentielle; aussi peut-on donner un peu plus de généralité au théorème de Lagrangc.

Désignons par v. et 5 deux constantes arbitraires, et supposons que les équations

soient deux intégrales premières dune môme équation différentielle de l'ordre m -^ \ .

y, y\ . . . étant mis au lieu de J^, ^^,

Si l'on élimine r'" entre les deux équations (1), on obtiendra une équation différentielle de l'ordre m — i -.

Cela posé, l'équation (3), qui est une intégrale seconde de l'équation (2) et une intégrale première de l'une quelconque des équations (i), sera également une intégrale première do l'équation

(n F(cp,-}) = o,

où F désigne une fonction quelconque, pourvu (jwe l'on con.sidère les deux constantes u. et f^ comme assujetties à vérifier l'équation

Ce théorème est presque évident, car les valeurs de y. el p que l'on tirerait de l'équation (3) et de sa dérivée seraient a= <p, fi = ■]/, et, comme l'équation (5) a lieu entre les constantes a et p, il s'ensuit que l'équation (4) se trouvera aussi vérifiée. Si les fonctions y et -^ ne renfermaient que a.-,/ et r', l'éciuation (3) ne contiendrait plus de dérivées et serait, par suite, l'intégrale générale de l'équation proposée. Il résulte de là que, si, parmi les différentes manières, en nombre infini, d'écrire une équation différentielle, on en distingue une (]ui permette de lui donner la forme de l'équation (4), on aura, par cela seul, intégré une première fois cette équation.

II. Proposons-nous, comme application, de clierciier l'équation intégrale des lignes de courbure d'une surface du second ordre à centre. L'écjuation de la surface étant

ré(iuation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan xy sera

si maintenant on pose

ces équations seront les intégrales premières de la même équation

^yy" — yf -^ -'j'^- = «;

on pourra donc appliquer le théorème à l'équation (a). Si l'on élimine y' entre celles-ci, on aura

,.2 .,.2 ^.2 1,1. yi

-p g- = i, avec p^a-^2;

nous ferons a = p.^, [3 = p2 i-i^ et l'équation des projections des lignes de courbure sera finalement

(x^ étant la constante arbitraire : elle représente, conime on sait, des ellipses ou des hyperboles. Comme l'équation (3) est symétrique entre p et [/, si l'on considère p connne un paramètre variable et pt comme déterminé, l'éipialion (3) représentera également les projections des lignes de courbure de la surface

et, si p et p ont en môme temps des valeurs déterminées, l'équation (3) représentera la projection d'une ligne de courbure commune aux surfaces (i) et (4), laquelle sera donc l'intersection de ces deux surfaces.

Si dans l'équation (i) on a [j'y c^ b, p. devra être compris entre b et c, ou intérieur à ces deux quantités, car autrement les deux surfaces ne se couj)eraient pas. On conclut de là

que les trois équations