CHAPITRE PREMIER

DÉVELOPPEMENT EN SERIE D UNE FONCTION D UNE VARIABLE LORSQU ON ATTRIBUE UN ACCROISSEMENT A CETTE VARIABLE. FORMATION SUCCESSIVE DES TERMES DE LA SÉRIE. THÉORÈME IMPORTANT SUR LA NATURE DE CES SÉRIES.

1. Nous désignerons en général par la caractéristique/ou F, placée

(levant une variable, toute fonction de cette variable, c'est-à-dire toute

({uantité dépendante de cette variable et qui varie avec elle suivant une

loi donnée. Ainsi/(a:) ou ¥[x) désignera une fonction de la variable ao;

f{x^),/[a -+- hx), . . . désigneront des fonctions de x^, de a + bx, .

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes, comme de-r,y, nous écrirons /(jr,j), et ainsi des autres.

Lorsque nous voudrons employer d'autres caractéristiques pour marquer les fonctions, nous aurons soin d'en avertir.

Considérons donc une fonction /(a;) d'une variable quelconque x. Si à la place de a; on y met x -+- i, i étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra/(a:-t-i), et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une série de cette forme

f[x)-+- pi + qi- -+- ri^ + . . . ,

dans laquelle les quantités/?, q, r, . . ., coefficients des puissances de /,

seront de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonction primitive x et indépendantes de l'indéterminée i.

2. Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit représenter le développement de toute fonction /(a;) lorsqu'on y substitue cc-hi h la place de X, et que nous avons supposée ne devoir contenir que des puissances entières et positives de i.

Cette supposition se vérifie en etTet par le développement des différentes fonctions connues; mais personne, que je sache, n'a cherché à la démontrer a priori, ce qui me parait néanmoins d'autant plus nécessaire, qu'il y a des cas particuliers où elle ne peut pas avoir lieu. D'ailleurs, le Calcul différentiel porte expressément sur cette mémo supposition, et les cas qui font exception sont précisément ceux où ce Calcul a été accusé d'être en défaut.

Je vais d'abord démontrer que, dans la série résultante du développement de la fonction/(a7 + i), il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de i, à moins qu'on ne donne à x des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de i ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction primitivey'(a7), et il est clair en même temps que la substitution de x-hi au lieu de x ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre de ces radicaux, ni en changer la nature, tant que x et i sont des quantités indéterminées. D'un autre côté, on sait par la théorie des équations que tout radical a autant de valeurs différentes qu'il y a d'unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a, par conséquent, autant de valeurs différentes qu'on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux (lu'elle renferme. Donc, si le développement de la fonction /(a: + /)

pouvait contenir un terme de la forme ui" , la fonction /(a;) serait nécessairement irrationnelle et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la i'oncl\on /[x -\- i), ainsi que pour son développement. Mais, ce développement étant re-

PUEMIÈllE PARTIE.- CHAPITRE I. 23

présenté par la série

f[x)-T- pi -+- qi- -4- . . . -f- «J " -1- . . . ,

chaque valeur (\c f[x) se conibinerail avec chacune des n valeurs du radical \i"' , de sorte que la fonction/(.r + i) développée aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée, ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse tant que x et i demeurent indéterminés; mais elle cesserait de l'être si l'on donnait à X des valeurs déterminées, car il serait possibJe que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans /(a;) (jui pourraient néanmoins subsister dans /(oj-f-i). Nous examinerons plus bas (Ghap. V) ces cas particuliers et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction f{x -i- i) ne saurait contenir, en général, des puissances fractionnaires de i', il est facile de s'assurer aussi qu'il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de i.

Car, si parmi les termes de ce développement, il y en avait un de la

forme ^^5 m étant un nombre entier positif, en faisant /= o, ce terme

deviendrait infini; donc la fonction y(irH-i) devrait devenir infinie lorsque i = o; par conséquent, il faudrait que/(^-) devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de x.

3. Nous étant ainsi assurés de la forme générale du développement de la fonction /(it; -h i), voyons plus particulièrement en quoi ce développement consiste et ce que signifie chacun de ses termes.

On voit d'abord que, si l'on cherche dans cette fonction ce qui est indépendant de la quantité i, il n'y a qu'à faire i= o, ce qui la réduit 3if{x). Ainsi /(a?) est la partie àe/[x + i) qui reste lorsque la quantité i devient nulle, de sorte que/{x-\-i) sera égale \if[x), plus à une quantité qui doit disparaître en faisant « = o et qui sera par conséquent ou pourra être censée multipliée par une puissance positive de I ; et, comme nous venons de démontrer que dans le développement

de/{x-\-i) il ne peut entrer aucune puissance fractionnaire de i, il s'ensuit que la quantité dont il s'agit ne pourra être multipliée que par une puissance positive et entière de i ; elle sera donc de la forme iP, P étant une fonction de or et «qui ne deviendra point infinie lorsque i = o. On aura donc ainsi

donc/(ir4-ï) —/[x) — iP, et par conséquent divisible par i; la division faite, on aura

p^f{x-hi)-f[x]^

Or, P étant une nouvelle fonction de x et i, on pourra de même en séparer ce qui est indépendant de i et qui, par conséquent, ne s'évanouit pas lorsque i devient nul. Soit donc/? ce que devient P lorsqu'on fait i'=o;/7 sera une fonction de x sans i, et, par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera que V = p -i- iQ, iQ étant la partie de P qui devient nulle lorsque i = o, et Q étant une nouvelle fonction de X et i qui ne devient pas infinie lorsque i = o.

On aura donc V —/)^= iQ, et par conséquent divisible par i; la division faite, on aura

Soit (j la valeur de Q en y faisant / = o; q sera une fonction de x sans i, et la partie de Q qui devient nulle lorsque i devient nul sera, comme ci-dessus, de la forme «R, R étant une fonction de x et i qui ne deviendra pas infinie lorsque i=o et qu'on trouvera en divisant Q — q par i, et ainsi de suite.

On aura, par ce procédé,

f[x-^i)=f{x)-hil\ P = p-h{Q, Q = q-hiR, R = /■ 4- /S, ...; donc, substituant successivement,

f[x + i)=f{x)-h iP =f[x) -^ ip -h i-Q =f{x] +ip^i-q -^-in{ = .. ,

ce qui donnera, pour le développement Ao, /[x -\-i), une série de la forme que nous avons supposée au commencement.