MONGE A LAGRANGE

11 s'agit de démontrer que si, après avoir mené par un même point A trois droites AD, AF, AH, et les avoir coupées par deux autres droites LB, LD, menées par un même point L, ou mène les quatre diagonales

FiK. I.

BF, DE, EH, FG, les deux points K et J d'intersection de ces diagonales, considérées deux à deux, sont sur une droite dirigée au point L.

Soit A l'origine des coordonnées rectangulaires x, y, les v étant comptées sur AL; soit la distance AL = a, soient aussi

y = OLx -+- a ré(|uation de la droit(> BL;

celle de AD;

(') Cette note et la suivante se trouvent dans le Tome IX, f"* 77-80, de la série in-lblio des manuscrits de Laerance.

V = px -f- a colle do la droite DL;

Y = or celle do AF; y = îj- celle do AH.

En éliminant convenablement entre les cinq équations, on aura les coordonnées dos six points d'intersection B, D, E, F, G, H, et les valeurs de ces coordonnées seront

Pour le point B. . . < Pour F <

a y I ao

Pour D < Pour G '

Pour E < Pour H

i aô

Or on sait que l'équation d'une droite menée par deux points don! les coordonnées sont M, N pour le premier, et M', N' pour le second,

est

j(M - M') = ^(N - N') 4- MN'- M'N.

Substituant donc d'une manière convenable pour M, N, M', N' leurs valeurs, on trouvera successivement pour les quatre diagonales les équations suivantes :

Pour BF ... j[o-p- {y - x)] = .r[y (a p ) - -5(y - a)] + a (o - y);

Pour J)l-:. . . y[o a - (y - p)] = x[y (ô - a) - ô(y - p)] + a(ô - y),

Pour EH. .. j[£— p — (ô — a)]=:j;[o(£ — p) — c(o — a)] + a(£— o),

Pour KG... j[£ — a — (o— p)] = a;[ô(£ — a) — £(ô — p)]4-a(£ — o).

Donc, en cliNiiiiaiil d'abord cuire les deux premières de ces équations,

puis entre les deux dernières, on aura les valeurs des coordonnées des points d'intersection K ol J, et les valeurs seront

l'oiM- le point K.

Pour lo point J <

Actuelletnent, pour que les deux points K et J soient sur une droite dirigée au point L, il faut qu'en accentuant les coordonnées du point J

on ai(

ou, substituant les valeurs précédentes, que l'on ait

aR — Q aV — S P ~ P

ou enfin

c'est-à-dire

équation qui est identique.

Monge a l'honneur d'assurer Monsieur La Grange de ses respects et de lui envoyer le calcul de la proposition de perspective.

Si Monsieur La Grange le fait d'une manière plus élégante, Mong(> le prie de vouloir bien le lui communiquer.

Monsieur La Grange, de l' Académie royale des Sciences, rue Froidnianleaii.

LE .MEME AU MEME

Le calcul qiio j'ai eu riioiincur de vous riMiiettrc lucr, mon cher Confrère, peut encore se simpliiior, car les valeurs des coordonnées

Fia;, i.

lies points K et J peuvent être divisées haut et bas par a — p, ce (|ui donne

Poui' le point K ,

l*i)ur le poiiil J.

or, j)onr ([ue les trois points K, J, L soient en ligne droite, il laul (jue

Ion ait

OU

a (y -f- 0 — a — p) — a (y 4- (3) = a (5 + î — a — p) — a (ô 4- £), équation idcnli(jue, et qui prouve que la proposition a lieu.

Mais les valeurs de x, y, x' et y' que je viens de rapporter fournissent ce résultat qui est assez remarquable, c'est que, si l'on mène MQ parallèle à AL et ([ui coupe les cinq droites aux points M, N, 0, P, Q, et que, si l'on mène les droites AK, AJ qui coupent la même droite MQ et R et S, enfin que T fût l'intersection de MQ avec KL,

Le point R sera au milieu de MN, Le point S sera au milieu de NO, Le point T sera au milieu de PQ,

car l'équation de la droite AR est

celle de AS est celle de LT est

et, en éliminant entre celle-ci et chacune des deux autres pour avoir les coordonnées de leurs points d'intersection, on trouve, pour ces coordonnées, les mêmes valeurs que celles des points K el J ra|)|)ortées ci-dessus.

Il suit de là qu'on peut résoudre un autre problème du même ffenre :

Étant données deux parallèles inégales, les partager toutes deux en deux parties égales, en ne se servant que de la règle.

Soient AB, CD les deux parallèles inégales données; par chacune

(*) Lagrange a ccril sur un espace blane de la page :

~ — donc X =