LEÇON QUATRIÈME

FONCTIONS DÉRIVÉES DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES. DÉVELOPPEMENT DE CES QUANTITÉS EN SÉRIES.

La fonction x'", dans laquelle x est la variable et m est une constante, conduit naturellement à la considération de la fonction a^, dans laquelle la variable est x, et où a est une constante. Ces sortes de (juantités s'appellent exponentielles, parce qu'elles ne varient qu'à raison de l'exposant.

Pour trouver la fonction dérivée de a^, il n'y aura, suivant le principe général, qu'à substituer x-t-« à la place de x, et développer suivant les puissances de i-, le coefficient du terme affecté de / sera la fonction cherchée.

Cette substitution donne la fonction

a-^^-^'rz; a-: a'

Supposons a = I -h 6, on aura

ai—{i-\-hy,

et, par la formule générale démontrée précédemment, on aura

En ordonnant les termes de cette série suivant les puissances de i, il est facile de voir que les deux premiers termes du développement de a' seront

Soit, pour abréger,

//■; //' lA (a — 1)2 [a — iY

on aura donc i -r ci pour les deux premiers termes du développement de a'; par conséquent, en multipliant par «'", on aura a" -{- ca'' i pour les deux premiers termes du développement de «'"^'. Donc ca"", coefficient de i, sera la fonction dérivée de a"".

Le coefficient c dépend, comme l'on voit, de la quantité a, qui est comme la base de l'exponentielle, et l'on nomme communément ce coefficient le module.

On peut ainsi établir cette règle, que la/onction dérivc'e d'une quantité exponentielle est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l'exponentielle, et quon nomme le module.

Puisque la dérivée de a^' est ca'' , la dérivée de celle-ci sera c-a^\ et la dérivée de cette dernière sera de même c^ a"^ , et ainsi de suite.

Ainsi, en faisant/(\r) = rr'", on aura

Donc, substituant ces valeurs dans le développement àef[x + i), on

aura

c- c^ a^-*-' = a'' + ca^ i -\ a'' i- -\ a'^ i^ + . . . ,

et, divisant par a^ ,

a'=.i-hci-{ 1 -H

C'est la série dont nous n'avions trouvé ci-dessus que les deux premiers termes. Elle peut servir, comme l'on voit, à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.

On peut par cette série déterminer directement la valeur de a en c.

En faisant i = I, on aura

Et, lorsque c — \, la valeur de a se trouvera exprimée par la série très simple

dont la valeur est

C'est le nombre qu'on désigne ordinairement par e, et qui est par conséquent la base des exponentielles dont le module est l'unité.

Ainsi, en faisant /(a?) = e-^, on aura simplement /'(.r) = e*", /"{ce) = e^\ . . ., et conséquemment

Si, dans l'équation trouvée ci-dessus

a'= 1 + et H

on fait i= -, on aura

fl!'' = 1 + iH 1 ^ -\-. .. — e.

Ainsi l'on a entre les trois constantes a, c et e la relation

d'où l'on tire

Cette équation donne aussi

d'où l'on voit qu'en prenant c négatif, a se change en -; ainsi , en faisant ces changements dans l'équation

donnée ci-dessus, on aura

Cette série est plus propre que la précédente à donner la valeur de c-, lorsque a est un nombre plus grand que l'unité. En faisant « = i o, on a

et l'on trouvera, par le calcul,

On peut exprimer toute quantité variable par une constante élevée \\ une puissance variable; alors l'exposant de cette puissance devient une fonction de la même quantité, et cette fonction est, dans le sens le plus général, le logarithme de la quantité proposée. D'où l'on voit que les fonctions logarithmiques ne sont proprement que les réciproques des fonctions exponentielles.

Nous dénotons, en général, les logarithmes d'une quantité par le mot log, mis en avant de cette quantité en forme de caractéristique. Ainsi logj? exprimera le logarithme ou la fonction logarithmique de a-, et cette fonction sera donnée par l'équation x = a'"s-^, où a, base de l'exponentielle, sera en même temps la base du système logarithmique.

Pour trouver maintenant la fonction dérivée de logj?, on fera, en général,

/(.r)=log.r,

ce qui donnera a- = a-f'''-^'\ et, mettant x-hÏA la place de ce, on aura

équation qui doit être identique, et avoir lieu par conséquent, quelle (jue soit la valeur de i. Or, par le développement, on a

en posant

donc, faisant cette substitution, on aura

et, divisant par x,

Or, par la formule trouvée ci-dessus, on a, en général,

ayz=.\ -\-cfù^ 1 :

donc on aura

/ C2gj2

Donc, remettant pour oj sa valeur, et ordonnant les termes suivant les puissances de /, on aura cette équation identique

et la comparaison des termes donnera d'abord

d'où l'on tire

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de /"(.r), f"[oc), ...; mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de/'(.r).

La constante c dépend de la base a du système logarithmique, par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut: relativement aux logarithmes, elle s'appelle le module du système logarithmique.

De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du loga-

rithme d'une variable est égale à l'unité divisée par cette variable multipliée par le module du système logarithmique. Puisque

/(d?)^log.r donne /'(^) = --— ,

en prenant successivement les fonctions dérivées, d'après la règle générale des puissances, on aura

donc, si l'on fait ces substitutions dans le développement de/{œ-hi),

on aura la série

logx H + 5 ,

ex icx^ 6cx^

pour la valeur de log(j: + ty.

Ayant ainsi le logarithme d'un nombre quelconque x, on peut par cette série trouver celui d'un autre nombre plus grand x + i, et la série sera d'autant plus convergente que la différence i des deux nombres aura un moindre rapport au nombre x.

Par la théorie des logarithmes, on a

log(^ + 0 - logx = log(^^^-^ W logM + -^ j ; donc, si l'on fait dans la formule précédente - = y, on aura

formule connue.

Soit r + j = s ; on aura

7 = - — I ; donc

Cette série n'est convergente et par conséquent ne peut servir à ^ X. 5

trouver le logarithme d'un nombre donné ;;, que lorsque ce nombre diffère peu de l'unité; mais on peut la rendre convergente, dans tous les cas, par la substitution de V^ au lieu de z ; car, puisque logVs est

égal à — T^j on aura, en multipliant par r,

log

.=^[(^^o-^((^^-ir+|('v/5-ir-...],

où l'on peut prendre pour /• un nombre quelconque positif ou négatif. Or, quel que soit le nombre s, on peut toujours en extraire la racine d'un degré r, tel que \/z soit un nombre aussi peu différent de l'unité qu'on voudra; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de \ogz avec toute l'exactitude qu'on pourra désirer.

Si l'on prend r négativement, alors \Jz devient p-^> et la série qui exprime logz devient, en changeant les signes,

où tous les termes sont positifs. Ainsi l'on peut avoir à volonté, pour la valeur de logz, une série dont tous les termes soient positifs, ou aller-nativement positifs ou négatifs. Car il est évident que, z étant un nombre plus grand que l'unité, \/z sera plus grand que l'unité, et, z étant moindre que l'unité, \/z sera aussi moindre que l'unité; mais les différences seront d'autant plus petites, que l'exposant r de la racine sera un plus grand nombre; donc \/z — i et 1—^7= seront positifs dans le premier cas, et négatifs dans le second.

Si a est la base des logarithmes, en sorte que loga = i, on pourra, par les mêmes formules, déterminer aussi exactement qu'on voudra la valeur du module c; car, en faisant loga = 1, on aura

c=,-[((/^-i) -!(;/« -ir+i(vâ-ir-...],

ou bien

Il est clair que les deux séries que nous venons de donner pour l'expression de logs seront nécessairement convergentes aussitôt qu'on aura extrait de z une racine r, telle que ^z — i soit une fraction

moindre que l'unité; car alors i — yj= sera une fraction plus petite en-

core, puisque

Ainsi, puisque dans la première série les termes sont alternatifs, le second et le troisième, le quatrième et le cinquième, etc., formeront des sommes négatives; de sorte que la première série donnera

log-<^(\/- -I

Au contraire, la seconde série, ayant tous ses termes positifs, donnera

log.->i-(,-±

Ainsi l'on a tout de suite deux limites pour la valeur de log^, qu'on peut resserrer autant que l'on veut, en prenant r toujours plus grand. On aura, par la même raison, si \ja ■< 2,

Puisqu'on a

il est visible que la différence entre les deux limites de logz ser;

ainsi, en prenant l'une ou l'autre des deux expressions précédentes de logz, on est assuré que l'erreur en excès ou en défaut est nécessairement moindre que cette même quantité.

Ainsi l'on sera sûr d'avoir, par ces expressions, les logarithmes exacts jusqu'à s chiffres, en prenant la racine v^, de telle manière qu'il y ait après la virgule s zéros avant les chiffres significatifs.

En général, puisque l'erreur va en diminuant à mesure que l'on prend l'exposant /• de la racine plus grand, on peut dire qu'elle deviendra nulle ou comme nulle, si l'on prend r infiniment grand; de sorte qu'on pourra regarder alors l'une et l'autre des deux formules

comme l'expression exacte de log-.

On peut conclure de là que les logarithmes rentrent dans la classe des puissances, et forment le premier terme de la série des puissances dont les exposants croissent ou décroissent depuis zéro, ou le dernier terme des racines dont les degrés vont en augmentant à l'infini.

C'est aussi sous ce rapport qu'on peut dire qu'à un nombre donné répond toujours une infinité de logarithmes, puisque sa racine infinitième a nécessairement une infinité de valeurs diflerentcs.

La meilleure manière d'employer la formule précédente est de prendre pour r une puissance de 2, puisqu'on n'aura alors que des extractions de racines carrées à faire. C'est ainsi que Briggs a calculé les premiers logarithmes : il avait remarqué qu'en faisant des extractions successives de racines carrées d'un nombre quelconque, si l'on s'arrête dans une de ces extractions à deux fois autant de décimales qu'il y aura de zéros à la suite de l'unité, lorsqu'il n'y a plus que l'unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve exactement la moitié de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes; c'est ce qui résulte évidemment de la formule précédente.

Ainsi, en prenant r= 2"", on trouve, pour a = 10,

V' «;= 1 , 00000 00000 00000 ooigc) 7174^ 08125 5o527 o325i ..., -=: 0,00000 00000 00000 00086 78617 37988 4o354;

(le sorte que l'on aura

C'est de ce nombre qu'on a tiré celui qu'on a donné ci-dessus pour la valeur de c.

Si maintenant on veut avoir, par exemple, le logarithme de 3, on fera ; = 3, et, employant de même Go extractions de racines carrées, on trouvera les nombres suivants :

et de là

'°g^ = yS37 = .99 7. 74. 08. .5 5o5,- . . . - ° ■ ^-7 ' ' '-^- '^««^ ■■

Cette méthode est, comme l'on voit, très laborieuse par le grand nombre d'extractions de racines qu'elle demande pour avoir un résultat en plusieurs décimales; mais les séries que nous avons données cidessus servent à la simplifier et à la compléter; car, quel que soit le nombre z, il suffira d'en extraire quelques racines carrées, jusqu'à ce qu'on parvienne à un nombre V^ qui n'ait que l'unité avant la virgule; alors les puissances de y/s — i seront des fractions d'autant plus petites qu'elles seront plus hautes; par conséquent il suffira toujours de prendre un certain nombre de termes de la série pour avoir les logarithmes exacts jusqu'à tel ordre de décimales qu'on voudra.

Les logarithmes qui ont l'unité pour module sont ceux qui se nomment logarilhmes naturels ou hyperboliques, parce qu'ils représentent l'aire de l'hyperbole équilatère, rapportée aux abscisses prises sur l'une des asymptotes, et que Neper a le premier calculés. Leur base est le nombre e, et, pour les distinguer des autres, nous les dénoterons simplement par la caractéristique /.

Ainsi Ix aura pour fonction dérivée -5 et la formule générale

.X =z cù''^^ deviendra pour ces logarithmes x = e'-"'; de sorte qu'on aura en général 0^°^^^ = e'^; et, comme on a trouvé plus haut a = e'', on aura gtiog^gte gj-^ p^p conséquent, Ix = c\ogœ. D'où l'on voit que les logarithmes d'un même nomhre, dans différents systèmes, sont en raison inverse de leurs modules.

Au reste, l'équation 0 = 0" donne c = /a; d'où il suit que le module c du système logarithmique dont la hase est a n'est autre chose que le logarithme naturel de la même hase. Ainsi l'on pourra par la suite substituer l'expression la à la plgce de c, dans les fonctions dérivées de a^ et de \ogx.

De cette manière, on aura a^'la pour la dérivée de a^\ et -^ pour

la dérivée de \ogx.

Dans le système des logarithmes des Tables usuelles, la base a est supposée égale à 10; ainsi le module de ce système sera /lo, dont la valeur est 2,30258009299/1

Avant de terminer cette Leçon, je ne puis m'empêcher d'indiquer un usage de la formule

pour trouver le développement d'une puissance quelconque d'une quantité composée d'autant de termes que l'on voudra.

En effet, si à la place de i on met i{p + ^ -+-/•+ ... ), on aura

Ainsi le terme multiplié par i"' sera

d'un autre côté, on a

Donc le coefficient de i"\ dans le développement de ces diiïerents produits, multiplié par 1.2. 3...///, sera la valeur de (/> + ^ -f-r-h...)"'.

Or il est visible que ce coefficient se trouvera composé d'autant de termes de la forme

p'^qV-r'^. . .