LA THÉORIE DES FOYERS
FAii M. E. LAGUERRE-WERLY, de Bar-le-Duc, Élève de l'Institution Barbet.
Nouvelles Annales de Mathématiques; i853.
1. Soit une conique ayant pouf fojer le point [a, ^J, son équation sera de la forme
X étant une fonction linéaire de x et de y, ou bien encore
Sous cette dernière forme, on voit qtie cette conique est tangente aux deux droites
et
Réciproquement, si une conique est tangente à ces deux droites, elle a pour foyer ie point [a, P]. Cette propriété analytique peut être employée pour trouver les coordonnées des quatre foyers d'une conique donnée par son équation.
XI suit delà que les coniques confocales doivent être regardées comme tangentes à deux mêmes droites, les coniques bi-confocales comme inscrites dans un même quadrilatère doal les quatre sommets sont les quatrefoyers communs. Ces propriétés /^/-oyeciiVes
des foyers nous permelLronL de généraliser leurs propriétés métriques.
2. Ainsi, de la tliéorie des coniques bi-confocales, nous pourrons tirer tous les théorèmes relatifs aux coniques inscrites dans un même quadrilatère.
Considérons, par exemple, trois coniques bi-confocales ; par un point extérieur, menons-ieur des tangentes : ces trois couples de tangentes auront une bissectrice commune ; donc ils formeront un faisceau en involutîon. En généralisant, nous retrouverons le théorème de .Desargues,
3. Deux coniques bi-confocales se coupent orthogonalement. L'homographie généralise ainsi ce théorème :
Si deux conicjues inscrites dans un même quadrilatère se coupent, les deux tangentes menées au point d'intersection, et les droites obtenues en joignant ce point à deux sommets opposés du quadrilatère circonscrit, forment un faisceau harmonique.
i. La considération des foyers imaginaires peut être souvent utile; je ne citerai qu'un exemple.
Considérons une conique et deux tangentes à cette conique; joignons le point d'inlerseclion des deux tangentes aux quatre foyers; les trois couples de droites ainsi obtenues auront une bissectrice commune; donc ils formeront un faisceau' en involu-
En généralisant, nous trouverons ce théorème, cas particulier de celui de Desargues :
Si une conique est inscrite dans un quadrilatère, que par un point extérieur on mène deux tangentes à cette conique^ et puis, qu'on joigne ce point aux quatre sommets du quadrilatère, on obtiendra un faisceau en involutîon (').
(') Le ihiïoréme sur la quadrilatère qu'on lit dans \s. Géométrie lupéiie [). 249, combiné avec celui-ci, donne lieu à un troisième théorème.
5. Je citerai encore quelques théorèmes, conséquences immédiates des principes précédents ;
1° Le lieu des centres des coniques tangentes à deux droites données el ayant un fojer fixe est une droite.
2" Une conique inscrite dans un angle étant donnée, le problème suivant : <i (^lonstniire une conique tangente à la première el aux deux côtés de l'angle en deux points donnés, » est, en général, susceptible de deux solutions. Les deux points de contact cherchés et le sommet de l'ang;Ie sont en ligne droite.
3° Considérons trois coniques confocales, et, par un point pris dans le plan de ces coniques, menons six tangentes. Joignons les six points de contact au i'oyer commun, nous obtiendrons ainsi trois couples de droites ayant une bissectrice commune ; donc elles formeront un faisceau en invoiution.
En généralisant, nous aurons le théorème suivant :
Théorème. — .Si trois coniques sont tangentes à deux mêmes droites se coupant en P, et que, par un point pris dans leur plan, on leur mène six tangentes ; en joignant les six points de contact au point P, on aura un faisceau en invoiution.
