SUR LA SURFACE DE STEINER

Bulletin de la Société philomathique ; 1873.

Les lignes asymploliques de la surface tle Stciner ont. été données par M. Clebsch; on en déduit facilement lesllgnes asjniptotiques de la surface de troisième ordre à quatre points iiodanx qui en est la réciproque.

En étudiant récemment cette dernière surface, j'en ai retrouvé les lignes asjmptotiques sous une forme qui paraîtra peut-être présenter quelque intérêt, même après les recherches dont je viens de parler.

Soit M un point quelconque de la cubique à quatre points nodaux; d'après la propriété fondamentale de cette surface, le cône circonscrit à la surface, qui a poui- sommet le point M, se décompose en deux cônes du second degré dont chacun touche la surface suivant une cubique gauche.

Cela posé, les deux surfaces développables, qui ont ces cubiques pour arêtes de rebroussement, coupent la surface suivant les deux lignes asymptotiques qui se croisent au point M.

Soit tracée sur la surface une ligne asymptotique quelconque Z; de chacun des points de cette courbe on peut mener deux cônes du second degré circonscrits à la surface. La cubique gauche, qui est la courbe de contact d'un de ces cônes, est l'arête de rebroussement d'une surface développable passant par Z.

Je dirai que cette cubique appartient à l'asymptotique Z. Toutes les cubiques qui appartiennent à Z passent par les quatre points nodaux; les cônes circonscrits à la surface suivant ces courbes ont

leurs sommets sur Z ; les surfaces dcveloppables dont elles sont les arêtes de rebroussemenl contiennent cette courbe.

Deux quelconques d'entre elles, indépendamment des quatre points nodaux, se coupent en un cinquième point qui est le sommet d'un cône du second degré passant par ces deux cubiques.