NON SPHERIQIE DE LA TERRE

De l'inégalité lunaire à longae période, dépendante de la différence des deux

hémisphères terrestres.

4. Cette inégalité a pour argument la longitude du périgée lunaire, plus deux fois la longitude du nœud : sa période est d'environ cent quatre-vingts ans. Pour la déterminer, je vais reprendre la formule [T) du n*^ 46 du second livre, en lui donnant cette forme

l'angle v étant rapporté à Torbite lunaire. Je supposerai ici que la caractéristique S se rapporte à la différence des deux hémisphères terrestres.

On peut supposer dans cette formule r^dv proportionnel à l'élément dt du temps. Cette proportionnalité a lieu dans la théorie de la lune, en ayant même égard aux termes de l'ordre m dans les expressions de r et de rfv, m exprimant, comme ci-dessus, le rapport du moyen mouvement du soleil à celui de la lune. Ces termes, que l'intégration a réduits à l'ordre m, ont des arguments qui ne diffèrent de v que de quantités de l'ordre m ; tel est spécialement celui qui représente l'évection. Ils peuvent être considérés comme autant d'équations du centre, en sorte que si l'on désigne par

mk cos.q le terme de Fexpression de r, le terme correspondant de Texpression de dv sera. aux quantités près de Tordre m\ égal à — 2 mk. COS. (j; ainsi, en négligeant les quantités de cet ordre, k disparaît dans l'expression de r* dv. Ces termes ne troublent donc point sensiblement la proportionnalité des aires aux temps. En prenant ainsi pour unité de distance la moyenne distance de la lune à la terre, et pour mesure du temps t, le moyen mouvement de la lune, nous pourrons supposer r*rfv égal à dt. Par le n** 1 du Supplément au Traité de mécanique céleste, 8R peut être supposé nul relativement aux inégalités à longue période; et par rapport à ces inégalités, on peut évidemment négliger le terme 2É?*(rSr). L'équation (T) devient ainsi

Il faut maintenant déterminer la valeur de R. Si Ton nomme V la somme de toutes les molécules de la terre divisées par leurs distances à son centre, on aura, par le n*^ 14 du livre III, une expression pour V de cette forme

I ^flro). :D ui.)^jji.) D^ m^-hW^\^. t/w + etc. r r* r^ r*

Tétant la masse du sphéroïde terrestre, D, son rayon moyen; et W^ étant une fonction rationnelle et entière de (x et de tsT, telle que Ton ait

X fdU^'^W {ddm\

dit ^ !-/*•

ft étant le sinus de la déclinaison de la lune, et ts étant la distance angulaire de son méridien à un méridien déterminé. En o

géant, comme on peut le faire ici, les sinus et cosinus d'angles dépendants de cette distance, on aura

Le terme divisé par r* dans l'expression de V dépend de la diflFérence des deux hémisphères terrestres. Il prend, parle n** 46 du livre II, un signe contraire dans l'expression de /?, où il devient

En désignant par 5 la tangente de la latitude de la lune, par^v sa longitude vraie rapportée à l'écliptique et comptée de l'équinoxe mobile du printemps, et par X l'obliquité de l'écliptique, on a

sin. X . sîn. fv+s. ces. X fl= ^ ;

ce qui produit dans la fonction (x* — yf* le terme

— sin'.X.sin.3/w

C'est le seul terme de cette fonction auquel nous devions avoir égard ici. En faisant donc

on aura dans l'expression de R le terme

/r.sin. 3/v

On peut observer ici que f est extrêmement près de l'unité , et