DEMONSTRATION

Soit le premier poids A et le second B, et supposons qu'A puisse monter à une certaine hauteur, par exemple d'un pied, B pourra monter à la hauteur de 10 pieds (proposition I) ; donc B a la force d'élever une livre (sçavoir son pro-

pi'c poids) à la haulciir de IG piods, et par conséquent (axiome H) il a la force d'élever Ht livres à un pied, au lieu que A a seulement la force d'élever 1 livres (c'est-à-dire son propre poids) à un pied (par l'hypothèse); or la force d'élever 1() livres à un pied est quadruple de la force d'élever -i livres à un pied (par le sens commun) : donc la force de 13 est quadruple de la force de A, ce qu'il falloit prouver.

Proposition VIL — Un corps de quatre livres de poids et d'un degré de vitesse a la nnesme force qu'un corps d'une livre de poids et de deux degrés de vitesse, et par conséquent, si toute la force de celuy-là doit estre transférée sur un corps d'une livre, il ne recevra que deux degrés de vitesse.

DÉM0\STBATI0N.

Soit le premier A, le second B; si A peut monter à un pied ou élever A livres (c'est-à-dire son poids) à un pied, H pourra monter à A pieds (proposition I), ou élever son poids, qui est d'une livre, à A pieds (axiome II) ; la force de A est égale à celle de B, ce qu'il falloit prouver.

SCOLIE

Ces deux propositions se peuvent encore démontrer, indépendamment de l'axiome II, par le seul axiome joint à la définition, en employant un mécanisme semblable à celuy de la seconde proposition pour réduire celuy qui diroit le contraire au mouvement perpétuel mécanique; aussi nous avons remarqué à l'axiome i qu'on le peut démontrer par l'axiome^, c'est-à-dire réduisant le contraire au mouvement perpétuel, c'est-à-dire ad absurdiun.

Il est bon aussi de remarquer que toutes ces propositions et bien des choses qu'on dit icy pourroient estre connues et énoncées plus généralement, selon le style des géomètres.

Par exemple, on pourroit dire en général que les forces (les corps so}it en raison composée de la siinpie de leur masse et de la double de leur vitesse, au lieu que les quantités de mouvenienl sont en raison composée de la simple des niasses aussi bien (jue des vitesses. Mais on s'est contenté de l'énoncer eu certains nombres pour parler plus intelligiblement

l'ôyanl (le ceux (lui sont moins acooustuniés aux phrat-es des géomètres.

Proposilion Y III. — LoL^cpii' les l'oices sont égales., les quantités do mouvement ne sont pas tousjours égales en vitesse et vice versa.

UKMOINSTKATION.

Livre 4 vitesse l , et livre 1 vitesse '2, sont d'une force égale (Proposition Vil) ; mais la quantité du mouvement de celuy-là est double de la quantité de mouvement de celuy-cy (Définition H), et vice versa. Livre i et vitesse 1, et livre 1 et vitesse i, sont d'une quantité do mouvement égale (Définition II) ; mais la force de celuy-là est seulement le quart de la force de celuy-cy (Pioposition VI), et il en va de mesmeen d'autres nombres.

Proposition IX. — La mesme quantité de mouvement ne se conserve pas tousjours.

DÉM0^STKAT10^.

Supposez (jue la mesme quantité de mouvement se conserve tousjours, on peut obtenir le mouvement perpétuel mécanique ( Proposition V j ; or ce mouvement est impossible (Axiome T); donc la mesme quantité de mouvement ne se conserve pas tousjours.

SCOLIE

Un le peut conclure encore de la (Proposition Vlll); et, en effect, quand on s'opiniâtreroit à nier le II" postulatum sur le- (|uel est fondée la Proposition V, c'est-à-dire, quand on voudroit nier que toute la force d'un grand corps peut estre transféiée sur un petit corps (ce qui doit cependant arriver souvent dans la nature;, on n'éviieroit pas pour cela la force de nos raisons; car, puisqu'on voit qu'ordinairement la quantité de mouvement est différente lorsque laforce est la mesme, et vice rend (Proposilion VIII), et que tousjours la mesme force se doit conserver, afin qu'il n"y ait jamais un échange entre deux estais dont l'un substitué à l'autre pourroit donner un mouvement perpétuel, il s'en suit que le plus souvent la quantité de mouvement ne se conservera pas la mesme, soit

APPENHICE. 479

quoii transfère la force crun corps sur un antre qui Iny est inégal, ou qu'on en transfère une partie et en retienne l'autre, ce que les géomètres prévoyent d'abord à cause de la différence qu'il y a entie la raison sini[)lt; et la raison doublée. Voyez la scolie de la propositionVIl ; en voicy une preuve analytique générale pour leur satisfaction. Supposons que deux corps A et 1» se rencontrent avec les vitesses C et C, et qu'après le choc ils ayent les vitesses (G) et (D); donc, si la quantité de mouvement se conserve, il faut qu'il y ait A C -h Li D égal à A (C) -H B (D) ; mais , si les forces se conservent, il faut (pril y ait A G G + B D D égal à A (C) (G) -h B (Dj ;D) ; mais il est manifeste que ces deux équationsne se sçauroient trouver véritables toutes deux qu'en certaines rencontres particulières, qu'il y a mesme moyen de déterminer; et voicy la détermination, pour trancher court : Deux corps chocquant directement ne sçauroient conserver ensetnble après le choc les f/uantités de mouvement qu'ils avoient avant le choc, qiie dans le seul cas où la différence des vitesses avant le choc est éfjale à la différence des vitesses apri's le choc. Tontes les fois que les corps vont d'un mesme côté, tant avant qu'après le choc, cela arrive.

REMAKQLE.

La considération de l'équilibre a contribué beaucoup à confirmer les gens dans cette opinion qui paroissoit vraisemblable d'elle-mesme, que la force et laquantitéde mouvement reviennent à la mesme chose^ et que les forces sont égales lorsipie les vitesses sont réciproquement comme les poids; et (pi'ainsi la force de i livres vitesse 1 est égale à celle de livre 1 vitesse i : car on voit qu'il se fait équilibre toutes les fois que les poids sont disposés en sorte que l'un nv. peut descendre sans que l'autre monte avec des vitesses réciproque» aux poids; mais il faut sçavoirque cela y réussit comme par accident; car il arrive alors (pfencore les hauteurs de la montée ou de la descente sont récijjroques au poids : or c'est une règle générale, qui se déduit [)ar des raisons rpic noub venons de proposer, que \es forces sont en raison coni^ poiée des poids et des liauteurs auxquels les poids se peuvent ('lever en vrrtu de leur force; et il est à propos de con-

480 AI'Pl'NlMCi:.

sidt'icr que I iMitiilibro coiKsistc dans uiLsiiiiplc ('\\:ov[[con(iliis) avant le niouviMnont, et cVst ce qnc j'ai)iiolI(; la lorce morte «jiii a la niesnie raison à réj^anl de la lorce vive ((|ui est dans 1(> nionvenient niesnie^ que le point A à la lif^ne. (»r, an eoininencenient do la descente, lors(iuc le mouvement est intiniment petit, les vitesses ou plutôt les élémens des vitesses sont comme les descentes , au lieu qu'après raceélération, lorsque la force est devenue vive, les descentes sont comme les carrés des vitesses.

il y a encore une chose qui mérite d'estre observée, c'est qu'un globe de 4 livres de poids et d'un degré de vitesse, et nu autre globe d'une livre de poids et de -4 livres de vitesse, quand ils se rencontrent directement, s'empeschent mutuellement d'avancer comme dans l'équilibre, et qu'ainsi, quant à l'effet d'empescher l'avancement, ils ont uiKunesme force respective; mais cependant leurs forces absolues sont bien inégales , puisque l'un peut produire quatre fois autant d'effet que l'autre (voyez Proposition YI) : or il s'agit icy de la force vive et absolue. Les variétés paradoxales ont contribué beaucoup à embrouiller la matière, d'autant qu'on n'a pas eu des idées bien distinctes de la force et des différences; mais j'espère que dans nos dynamiques on trouvera ces choses éclair-

cies k fond.

Si quelqu'un veut donner un autre sens à la force, comme en effect on est assez accoustumé à la confondre avec la quantité du mouvement, je ne veux pas disputer sur les mots, et je laisse aux autres la liberté que je prends d'expliquer les termes; c'est assez qu'on m'accorde ce qu'il y a de réel dans mon sentiment, sçavoir que ce que j'appelle la force se conserve et non pas ce que d'autres ont appelé de ce nom : puisque autrement la nature n'observeroit pas la loy de l'égalité entre l'effet et la cause, etferoit un échange entre deux estais dont l'un substitué à l'autre ponrroit donner le mouvement perpétuel mécanique, c'est-à-dire un effet plus grand que

sa cause.

On ponrroit aussi donner une autre interprétation à la quantité du mouvement selon laquelle cette quantité se cont.erveroit; mais ce n'est pas celle que les philosophes ont

entendue. Par exemple, les corps A et B allant cliascun avec sa vitesse, la quantité de mouvement totale est la somme de leur quantité de mouvemens particuliers, comme la force totale est la somme de leurs forces particulières; et c'est ainsi que Uescartes et ses sectateurs ont entendu la quantité de mouvement, et, pour en estre asseuré, on n'aqu'à voir lesrègles du mouvement que luy ou d'autres qui ont suivi son principe ont données; mais, si on vouloit entendre par la quantité de mouvement, non pas le mouvement absolument pris, où l'on n'a point csgard de quel costé il va, mais l'avancement vers un certain costé, alors l'avancement total sera la somme des quantités de mouvemens particuliers, quand les deux corps vont d'un même costé; mais, lorsqu'ils vont l'un contre l'autre, ce sera la différence de leur quantité de mouvemens particuliers, et on trouvera que la mesme quantité d'avancement se conserve; mais c'est ce qu'il ne faut pas confondre avec la quantité de mouvement prise dans le sens ordinaire. La raison de cette maxime de l'avancement paroist en quelque façon, et il est raisonnable que, rien ne s'avançant dehors, le tout (composé des corps en mouvement) ne s'empesche pas luy-mesme d'avancer autant qu'il faisoit ; mais j'en ay donné ailleurs une démonstration exacte.

Il est encore à propos de remarquer que la force se peut estimer sans faire entrer le temps dans la considération ; car une force donnée peut produire un certain effecl limité, qu'elle ne surpassera jamais, quelque temps qu'on luy accorde ; et, soit qu'un ressort se desbande tout d'un coup ou peu à peu, il n'élèvera pas plus de poids à la mesme hauteur ni le mesme poids plus haut ; et un poids qui monte en vertu de sa vitesse n'arrivera pas plus haut, soit qu'il monte perpendiculairement, ou qu'il monte obliquement dans un plan incliné, ou bien dans une ligne courbe. Il est vray que la montée oblique demande plus de temps pour arriver à la mesme hauteur, mais elle fait aussi plus de chemin et plus de détours; de sorte que, pour estimer la force par le temps, il faut aussi considérer tous les chemins et tous les détours; mais on est dégagé de tout cela quand on ne considère que le seul effect qui se peut produire après tous ces détours. C'est ainsi, par exem-

4tô AIM'ENDICE.

plo, qu'on prévoit d'abord, sans avoir presque besoin de démonstration ou de raisonnement, que le jeet d'eau (libre de tous les enipescheniens aecidentels) doit jaillir précisément à la hauteur de l'eau ou à la surface supérieure, car c'est afin que Teau puisse précisément retourner par l'ouverture d'en haut dans le vase d'où elle sort par la lumière d'en bas, cl continuer tousjouis le niesme jeu par un mouv(îmeut perpétuel physique, tout comme un pendule pari'aitement libie doit remonter précisément à la hauteur dont il est descendu, autrement l'elfect entier ne seroit pas égal à sa cause totale ; mais, comme il est impossible d'exclure tous les empescheniens accidentels, ce jeu cesse bientost dans la pratique, autrement ce seroit le mouvement perpétuel mécanique. Cependant cette considération nous donne une voye abrégée pour estimer les effects par les forces ou les forces par les effects, et pour connoistre les véritables loix de la nature (1). Il y a déjà eu quelques habiles hommes de ce temps, qui ont trouvé par des expériences ou raisons particulières que la quantité de mouvement ne sçauroit se conserver tousjours; mais, comme on estoit prévenu de l'opinion que la quantité de mouvement est la mesme chose que la force, ou qu'au moins les forces sont en raison composée des masses et des vitesses, et qu'ainsi l'accroissement de la vitesse récompense précisément le décroissement de la niasse , on avoit de la peine à se rendre à leurs raisons, qu'on soupçonnoit d'estre fautives ; car on ne pouvoit comprendre comment une partie de la force pouvoit eslre prise sans estre employée à rien ou gagnée sans venir de rien; on considéroit la masse comme de l'eau et la vitesse comme du sel blanc qu'on fait dis-

(1) Leibniz a mis à la marge les énoncés suivants : La proposition II donnera :

ACC — A (CC) = B (00) BOO AC— A(C) =B (O) — BO Divisant l'un par l'autre, il y aura -.