LIVRE SIXIEME

déterminées par quelqu'une des sections coniques. Mais il est visible qu'ils se trompent; car ces sous-tendues, par exemple, sont elles-mêmes inconnues. L'on connaît plus exactement^SouV^Ô qu'une ligne que Ton s'imagine ou que l'on décrit sur le papier, pour servir de sous- tendue à un angle droit dont les côtés sont 2, ou dont un côté est â-et l'autre 4. On sait au moins que yjè approche fort de 3, et que y/^o est environ 4 et \; et l'on peut, par certaines règles, approcher toujours à l'infini de leur véritable grandeur; et si l'on ne peut y arriver, c'est que l'esprit ne peut comprendre l'infini. Mais on n'a qu'une idée fort confuse de la grandeur des soutendues, et on est même obligé de recourir à y^Sou v^2Ï) pour les exprimer. Ainsi, les constructions géométriques, dont on se sert pour exprimer les valeurs des quantités inconnues, ne sont pas si utiles à régler l'esprit et à découvrir les rapports ou les vérités que l'on cherche qu'à régler l'imagination. Mais comme Ton se plaît beaucoup plus à faire usage de son imagination que de son esprit, les mathématiciens ont d'ordinaire plus d'estime pour la géométrie que pour l'arithmétique et pour l'algèbre.

Pour faire parfaitement comprendre que l'arithmétique et l'algèbre sont ensemble la véritable logique qui sert à découvrir la vérité, et à donner à l'esprit toute l'étendue dont il est capable, il suffit de faire quelques réflexions sur les règles de ces sciences.

On vient de dire que toutes les vérités ne sont que des rapports; que le plus simple et le mieux connu de tous les rapports est celui d'égalité ; qu'il est le commencem'ent d'où il faut mesurer les autres pour avoir une idée de l'inégalité ; que la mesure dont on est obligé de se servir est l'unité; et qu'il faut l'ajouter ou l'ôter autant de fois qu'il est nécessaire pour mesurer l'excès ou le défaut de l'inégalité de ces grandeurs.

30 i recueuche: de la vérité.

De là il est clair que toutes les opérations qui peuvent servir à découvrir les rapports d'égalité ne sont que des additions et des soustractions : additions de grandeurs pour égaler des grandeurs, additions de rapports pour égaler des rapports, ou pour mettre les grandeurs en proportion; enfin addition de rapports de rapports pour égaler des rapports de rapports, ou pour mettre les grandeurs en'proportion composée.

Pour égaler 4 avec 2, il n'y a qu'à ajouter 2 avec 2, ou retrancher 2 de 4, ou enfin ajouter Tunité à 2 et la retrancher de 4. Cela est clair.

Pour égaler le rapport ou la raison de 8 à 2 au rapport de 6 à 3, il ne faut pas ajouter 3 à 2 ou retrancher 3 de 8, en sorte que l'excès d'un nombre à l'autre soit égal à 3, qui est l'excès de 6 sur 3 : ce ne serait qu'ajouter et qu'égaler des grandeurs simples, Texcès de 8 sur 5 à celui de 6 sur 3. Il faut chercher d'abord la grandeur du rapport de 8 à 2, ou ce que vaut|; et l'on trouve en divisant 8 par 2 que Vexposant de ce rapport est 4, ou que l est égal à 4. Il faut de môme voir quelle est la grandeur du rapport de 6 à 3, et l'on trouve qu*elle est égale à 2. Ainsi l'on reconnaît que ces deux rapports î égal à 4, et | égal à 2, ne sont difi*érents que de 2. De sorte que pour les égaler on peut, ou bien ajouter à J encore 5 égal à 2, car l'on aura ^ , qui sera un rapport égal à J, ou bien retrancher | égal à 2, de 5, car l'on aura } qui sera un rapport égal à |; ou enfin ajouter l'unité à J et la retrancher de |, car l'on aura 3 et J, qui sont des rapports égaux, car 9 est à 3 comme G à 2.

Enfin, pour trouver la grandeur de l'inégalité entre les rapports qui résultent, l'un de la raison composée ou du rapport de rapport de 12 à 3 et de 3 à I, et l'autre de la raison composée ou du rapport de rapport de 8 àâ et de 2 à l, il faut suivre lamOme voie. Premièrement,

la grandeur de la raison de 12 à 3 se marque par 4, où 4 est Y exposant de la raison de 12 à 3, et 3 est l'exposant de 3 à 1, et l'exposant de la raison des exposants 4 et 3 est |. Secondement, l'exposant de 8 à 2 est 4, et de 2 à 1 est 2, et l'exposant des exposants 4 et 2 est 2 ; enfin Tinégalité entre les rapports qui résultent des rapports de rapports est la différence entre | et 2, c'est-àdire \, Donc s ajouté au rapport des raisons 12 et 3 çt 3 à d , ou retranchés du rapport des autres raisons 8 à 2 et 2 à 1, met en égalité ces rapports de rapports, et produit une proportion composée. Ainsi l'on peut se servir d'additions et dé soustractions pour égaler les grandeurs et leurs rapports, tant simples que composés, et pour avoir une idée exacte de la grandeur de leur inégalité.

Il est vrai que l'on se sert de multiplications q\, de divisions tant simples que composées, mais ce ne sont que des additions et des soustractions composées. Multiplier 4 par 3, c'est faire autant d'additions de 4 que 3 contient d'additions de l'unité, ou trouver un nombre qui ait même rapport à 4 qu'à 3 avec l'unité ; et diviser 12 par 4, c'est soustraire 4 de 12 autant de fois qu'il se peut, c'est-à-dire trouver un rapport à l'unité égal à celui de 12 à 4; car 3, qui en sera l'exposant, a môme rapport à l'Unité que 12 à 4. Les extractions des racines carrées, cubiques^ etc., ne sont que des divisions par lesquelles on cherche une, deux ou trois moyennes proportionnelles.

Il est évident que l'esprit de l'homme est si petit, sa mémoire si peu fidèle, son imagination si peu étendue que, sans l'usage des chiffres et de l'écriture, et san» l'adresse dont on se sert dans l'arithmétique, il serait impossible de faire les opérations nécessaires pour connaître l'inégalité des grandeurs et de leurs rapports. Lorsqu'il y aurait plusieurs nombres à ajouter ou à

soustraire, ou, ce qui est la même chose, lorsque ces nombres sont grands, et qu'on ne les peut ajouter que par parties, on en oublierait toujours quelqu'une. 11 n'y a point d'imagination assez étendue pour ajouter ensemble les fractions un peu grandes, comme J5^, jj^wisl, ou pour soustraire l'une de l'autre.

Les multiplications, les divisions et les extractions de racines des nombres entiers sont infiniment plus embarrassantes que les simples additions ou soustractions; l'esprit seul, sans le secours de l'arithmétique, est trop petit et trop faible pour les faire, et il est inutile que je m'arrête ici à le faire voir.

Cependant l'analyse ou l'algèbre est encore tout autre chose que l'arithmétique ; elle partage beaucoup moins la capacité de l'esprit, elle abrège les idées de la manière la plus simple et la plus facile qui se puisse concevoir. Ce qui se fait en beaucoup de temps par l'arithmétique se fait en un moment par l'algèbre, sans que l'esprit se brouille par le changement de chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d'arithmétique ne découvre qu'une vérité; une semblable opération d'algèbre en découvre une infinité. Enfin il y avait des choses qui se pouvaient savoir, et qu'il était nécessaire de savoir, dont on ne pouvait avoir la connaissance par l'usage de l'arithmétique seule ; mais je ne crois pas qu'il y ait rien qui soit utile, et que les hommes puissent savoir avec exactitude, dont^jls ne puissent avoir la connaissance par l'arithmétique et par l'algèbre. De sorte que ces deux sciences sont le fondement de toutes les autres, et donnent les vrais moyens d'acquérir toutes les sciences exactes, parce qu'on ne peut ménager davantage la capacité de l'esprit que l'on le fait par l'arithmétique, et principalement par l'algèbre.