XVIII F. KLEIN

amenées à former le poinl central de toutes nos convictions en Mathématiques.

C'est là l'effet des efforts simultanés des deux créateurs dont nous aurons souvent à citer les noms en même temps : d'un côté Ricmann, de l'autre Weierstrass.

Tendant au même but, les méthodes de ces deux géomètres sont aussi différentes que possible. Ils semblent être contraires l'un à l'autre; mais, en regardant les choses à un point de vue plus élevé, on reconnaît que, tout naturellement, ils se complètent.

Weierstrass définit les fonctions d'une variable complexe analytiquement, à l'aide d'une formule qui leur est commune, celle des séries infinies de puissances. 11 évite, autant que possible, les moyens auxiliaires empruntés à la Géométrie, et se complaît davantage dans la rigueur absolument inattaquable des méthodes de raisonnement.

Riemann commence (d'après les principes généraux dont j'ai déjà parlé) en considérant certaines équations différentielles auxquelles satisfont les fonctions de x -+- iy. Ceci répond évidemment à la présentation physique suivante. Posons

f(x-+-iy) = u-hiv.

Alors, en vertu des équations différentielles susdites, chaque partie de fonction, u aussi bien que p, se présente comme un potentiel dans l'espace relatif aux deux variables x et y et l'on peut indiquer, d'une manière abrégée, les développements de Riemann en disant qu' il fait l'application, à ces parties de fonction, des théorèmes fondamentaux de la théorie du potentiel. Son point de départ prend ainsi racine dans le domaine de la Physique mathématique. Vous voyez donc, Messieurs, que, même dans le domaine des Mathématiques, l'individualité joue un grand rôle.

Remarquez, d'ailleurs, que la Théorie du potentiel, indispensable aujourd'hui comme instrument d'un emploi universel dans

RIEMANN fil SON INFLUENCE SIR LES MATHÉMATIQUES MODERNES. XIX

lot mie des phénomènes de l'électricité et des autres branches de la Physique mathématique, était encore presque nouvelle à l'époque de Rieinann. Green avait, il est vrai, publié son Ouvrage fondamental, en 1828, mais ce travail était resté longtemps dans l'oubli. Vient Gauss en i83g. La propagation de la théorie, le développement ultérieur des principaux théorèmes, en Allemagne du moins, est essentiellement l'œuvre des leçons de Dirichlet. C'est à celles-ci que se rattache immédiatement Riemann.

Ainsi, c'est à Riemann le premier que l'on doit ce progrès consistant à donner à la Théorie du potentiel une signification fondamentale en Mathématiques et, d'autre part, ensuite, se présente chez lui l'invention de constructions géométriques ou, j'aimerais plutôt dire, de créations géométriques dont je vais, si vous le permettez, parler un instant.

Comme premier pas, Riemann envisage toujours l'équation

u — iv =/(x-h iy)

comme une représentation du plan (x, y) sur un plan (m, v). On constate que cette représentation est conforme, autrement dit, elle conserve les angles, et elle peut être également caractérisée par cette propriété. Nous avons ainsi un nouveau moyen à notre disposition pour la définition des fonctions de x-\-iy. Riemann développe, à ce point de vue, son merveilleux théorème : qu'il existe toujours une fonction /, par l'entremise de laquelle un domaine quelconque, simplement connexe, du plan (x,y), est représentable sur un domaine quelconque, simplement connexe, donné du plan (m, ç). Cette fonction est complètement déterminée à trois constantes près, qui demeurent arbitraires.

Il établit, en outre, cette représentation, si célèbre aujourd'hui sous le nom de surface de Riemann, c'est-à-dire une surface à plusieurs feuillets recouvrant le plan, et dont les feuillets sont soudés les uns aux autres aux points dits de ramification. C'était là le concept le plus difficile à imaginer, mais aussi combien fécond en résultats! Tous les jours, nous voyons l'extrême difficulté qu'éprouve le débutant à se figurer le mode d'existence des