RIEMANN" ET SON INFLUENCE SIR LES MATHÉMATIQUES MODERNES. XXIX

qui a été essentiellement attaqué avec un succès tout particulier par l'école des géomètres français dans les dernières années, ne fend à rien moins qu'à établir systématiquement, sur de nouvelles bases, les méthodes d'intégration de l<i Mécaniqueet de la Physique mathématique.

Dans cet ordre d'idées, Riemann lui-même n'a traité en détail qu'un seul problème. Ceci se rapporte au Mémoire Sur la propagation des ondes aériennes planes à ondulations d'amplitude finie (1860).

Dans les équations linéaires aux. dérivées partielles de la Physique mathématique, on doit distinguer deux types principaux : le type elliptique et le type hyperbolique, types dont l'équation différentielle du potentiel et l'équation différentielle des cordes vibrantes forment respecti\ement l'exemple le plus simple. A côté d'eux se présente, comme cas intermédiaire de passage, le type parabolique, auquel appartient, par exemple, l'équation différentielle de la conduction thermique.

De récentes recherches de Picard ont démontré que les méthodes d'intégration de la théorie du potentiel peuvent, en général, avec une modification convenable, s'étendre, aux équations différentielles du type elliptique. Mais qu'arrive-t-il relativement aux autres tvpes? A ce point de vue, ce Mémoire de Riemann est une première contribution très importante. Riemann y fait voir les modifications bien remarquables qui doivent être apportées au problème de contour bien connu de la théorie du potentiel et à sa solution par l'entremise de la fonction de Green, afin que le développement subséquent reste légitime dans le cas des équations différentielles du type hyperbolique. Mais le Mémoire de Riemann est encore particulièrement intéressant à d'autres points de vue.

La réduction du problème, indiqué dans le titre, à une équation différentielle linéaire est déjà un résultat très important. Ensuite, dans tout le Mémoire, se présente une méthode de traitement qui certainement n'étonnera pas les physiciens : c'est le traitement graphique du problème. Je puis faire de ceci l'objet d'une re-

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marque toute spéciale. La méthode en question est, de nos jours, 1res peu prisée des mathématiciens, habitués aux recherches abstraites. Il est alors d'autant plus satisfaisant de voir une autorité mathématique, comme Riemann, en faire usage lorsque l'occasion s'en présente et savoir en tirer les conséquences les plus remarquables.

Il nous reste encore à parler des deux grandes esquisses que présente Riemann en 1 854, à l'âge de 28 ans, lors de son « Habilitation » : le Mémoire Sur les hypothèses qui servent de fondement à la Géométrie, et l'écrit: Sur la possibilité de représenter une fonction pur une série trigonométrique. 11 est extraordinaire que le public mathématique général ait apprécié si différemment ces deux travaux. Les hypothèses qui servent de fondement à la Géométrie ont depuis longtemps reçu l'accueil que méritait cette œuvre, et cela surtout depuis que Helmholtz y porta son attention comme nombre d'entre vous le savent; mais l'étude relative aux séries trigonométriques n'a été connue pendant bien longtemps que dans un cercle restreint de mathématiciens. JN'empèche que les résultats qu'elle renferme ou, je dirais plutôt, les considérations auxquelles cette étude a donné lieu, et celles qui s'y rattachent, sont de l'intérêt le plus élevé au point de vue philosophique des théories de la Science.

Pour ce qui est des hypothèses de la Géométrie, je n'ai pas l'intention de m'étendre sur la portée philosophique de la question, car je n'ai rien de nouveau à en dire aujourd'hui. Dans cette discussion, il s'agit, pour les mathématiciens, moins de l'origine des axiomes géométriques que de leur corrélation logique. La question la plus célèbre est celle qui a trait à l'axiome des parallèles.

Les recherches de Gauss, Lobatscheffsky et fiolyai (pour citer seulement les noms les plus célèbres) ont, comme on sait, démontré que l'axiome des parallèles n'est nullement une conséquence des axiomes restants et que, si Ion fait abstraction de cet