i rt i- 6"- fJ = o

avec

■2(Mp2-^2MiL^j Mp2-^2.MiL^

a el b étant des constantes. On sait que l'équation intégrée prend trois formes différentes suivant que l'on a

^2 — a- >> o ou b- — a- = o ou b- — a- < o ; dans le premier cas, on a ijig- 3 ) (courbe 11;

(gj f) = Ooe-=" ( cosyT'-— a-t -i- sinyfe-— a-t );

dans le deuxième cas (courbe III),

(loj 0 = f)oe-="(i-H a^;

dans le troisième cas (courbe IV),

avec on a

= — a -+-/«■•' — b- et 3 =— a — \/a-— ^-i,

4 M f/,g-( M p-^ + 2 INI , L-^ ) - l> Y^

Si l'on suppose que l'amortissement, d'abord nul, prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, on réalisera successivement tous les types de mouvement dont quelques-uns sont représentés figure 3.

Le mouvement, d'abord pendulaire (courbe 1), devient oscillatoire avec amplitudes successives décroissantes (courbe II); en même temps la pseudo-période va en augmentant. Puis, pour le mouvement critique correspondant à a- =6- (courbe III), le mouvement devient apériodique, c'est-à-dire que le fléau se rapproche toujours de sa position d'équilibre sans la dépasser jamais. Puis, pour des amortissements plus grands encore, le mouvement devient de plus en plus lent, et la courbe s'étale de plus en plus (courbe IV).

Quel sera le meilleur amortissement pour que la déviation se réduise définitivement, en un temps aussi court que possible, à niVi)' par exemple, de sa valeur initiale? Avec un amortissement trop faible, la balance oscillera un nomljre considérable de fois avant <iue l'on obtienne ce résultat. Avec un amortissement trop fort, le mouvement sera trop lent. La théorie et l'expérience montrent que le meilleur mouvement est un mouvement très voisin du mouvement apériodique critique qui satisfait à la relation «-= b- .

Si l'on ne peut réaliser exactement ce mouvement, la théorie et l'expérience montrent également qu'il vaut mieux s'en écarter dans le sens d'un amortissement un peu trop faible que dans celui d'un amortissement trop fort.

La formule (12) montre (|ue {h- — a'-') augmente avec la charge M, dans les plateaux; il est donc impossiljle d'avoir 6-^rt'- = o,

quelle que soit la charge; on a alors adojité la règle pratique suivante :

L'amortissement est tel que la balance non chargée réalise sensiblement le mouvement critique pour lequel b'- = a- (courbe III).

Lorsque la balance a sa charge maxiniuin, on doit alors attendre trois ou quatre oscillations rapides a\ant l'arrêt.

La formule (12) nous montre encore que l'emploi du microscope nous force à avoir un amortissement énorme pour obtenir un mouvement convenable. En effet, (6^ — a-) étant nul pour certaines valeurs de cl et y, si Ion rend cl 100 fois plus grand, il faudra rendre v 10 fois plus grand pour conserver la relation

b-^ — cr-=o{').

Des amortisse U7's à cloche (-). — Après avoir essayé des amortisseurs magnétiques ou à liquides, j'ai fini par adopter, comme étant de beaucoup préférables, les amortisseurs à air. Ils se composent de cylindres concentriques avec fond, formant une espèce de cloche suspendue au-dessous des plateaux et enti^aînée comme ceux-ci dans le mouvement de la balance. Au-dessous de ce système, s'en trouve un autre analogue, mais renversé et fixe : c'est la cuvette de l'amortisseur. Les cylindres des systèmes supérieurs et inférieurs ont des diamètres un peu différents, de telle sorte que les cylindres du système supérieur mobile plongent dans les gouttières laissées entre les cylindres inférieurs fixes, sans jamais toucher aux parois. La coupe donne un système en chicane (//^■. 2). Quand le tléau s'incline, la cloche pénètre plus ou moins dans la cuvette et la quantité d'air varie dans la cloche. L'air ne peut circuler instantanément par le chemin long et rétréci qu'il est obligé de suivre entre les cylindres; il en résulte des variations de pression qui suffisent pour produire ramortissemenl.

(') On doil signaler que le fléau long des prenriiers modèles a été remplacé par un fléau court beaucoup [dus rigide. Le microscope est monté sur une colonne métallique indépendante des parois de la cage de verre, ce qui évite toute variation de position du microscope.

Enfin, les amortisseurs, qui primitivement débordaient au dehors, sont maintenant entièrement à l'intérieur de la cage. {\ote des éditeurs. )

(-) Journal de Physique, 2= série, t. IX, 1890, p. 1^6. Voir la note p. 53o.

544 OEUVRKS DE P. CURIE.

Déterminalioa du coefficient d' amortissement d'après les dimensions de V amortisseur. — Dans les amortisseurs, l'air de la cloche se met en équilibre avec l'air extérieur en un tem|)s inappréciable vis-à-vis de la durée d'oscillation des balances; cela résulte du fait même du fonctionnement de l'appareil. En effet, les forces mises en jeu devant être de l'ordre de grandeur des centigrammes, il suffirait que le gaz restât sans s'écouler sous la cloche tandis que celle-ci se déplace de y^ de micron seulement pour qu'il en résultât une force antagoniste de oS,o5 avec une cloche de 7*='" de diamètre et une chambre à air de i*^"' de hauteur.

On peut donc, à chaque instant, supposer que tout se passe comme si la cloche avait une vitesse de régime.

Soient :

V, le volume du gaz sous la cloche:

t^, la vitesse verticale de la cloche: R, le rayon de base de la cloche; />, l'excès de pression sous la cloche; /, le temps.

On a (i3) <iV = 7iR2rc/^

On trouve, pour la variation du volume d'un gaz qui s'écoule entre deux parois planes parallèles et rapprochées,

cïS «e^ ^ li " \iIt^ ^'

e étant la distance entre les deux surfaces;

/, la longueur parcourue par le gaz;

rt, la largeur de la section d'écoulement;

r,, le coefficient de frottement intérieur de l'air.

Cette formule s'applique approximativement si, au lieu de surfaces planes, on a des surfaces cylindriques de rayon un peu grand, vis-à-vis de leurs dislances (').

(') On a exactement, pour le débit entre deux surfaces cylindriques concen-

On a ici d'où

BALANCE DE IMUÎCISIOiN APÉRIODIQUE.

dt 6/r,

Les équations (^]3 ) et (^i4) donnent

La force qui résulte de cette variation de pression est „ „, G-r/r. R3

En désignant par y les coefficients d'amortissement , c'està-dire la force antagoniste par unité de vitesse, on a

67r/-riP,î

Détermination du coefficient (V aniortisaement par expérience. — On peut calculer y par la formule qui, précède; on peut aussi le mesurer en étudiant le mouvement de la balance [dont l'équation différentielle est donnée par la formule (8)]. On peut vérifier facilement les conséquences de cette formule; en faisant varier la charge des plateaux M, ou la hauteur du centre de gravité, on obtiendra divers genres de mouvements à son gré.

Dans le cas où l'on veut mesurer y, il vaut mieux choisir un mouvement oscillatoire pas trop amorti, afin d'avoir un nombre suffisant d'oscillations pour faire une bonne mesure de la pseudopériode T (durée d'une oscillation double) et du décrément logarithmique \.

On a

4X Mp2+>.M,L2

triques, ayant R el /■ comme rayons,

dt " Slr^

Log nep. —

œi'VIlES DE p. CLRIE.

Le moment d'inertie Mp- du fléau peut se déterminer soit en faisant osciller le (léau seul, après avoir déterminé cl par la valeur de la sensibilité de la l)alance, suit en le faisant osciller autour d'un axe plus éloigné que le couteau du centre de gravité en le suspendant à l'aide de deux fils (' ).

En faisant osciller la balance avec les plateaux seuls, on détermine aussi un petit terme de correction provenant de l'amortissement qui se fait en dehors de l'amortisseur.

Pour simplifier la construction, nous employons géni'ralemenl des amortisseurs formés d'une seule cloche ABCDE {^jlg- 4) plongeant dans une gouttière cylindrique. L'amortissement est le même que le dessus BD du milieu de la caisse de l'amortisseur soit ouvert ou fermé : ce résultat est bien conforme a\ec la théorie, puisque le volume de la chambre à air n'intervient pas.

Voici, pour quelques amortisseurs de dimensions variées, les

Fig. 4.

WifiJJ.,/»'.'>llll>,l»J,m,JJili,ii.f,,

valeurs de y mesurées par l'amortissement de la balance et calculées par la formule (i6) :

dans laquelle e est la dislance entre la cloche et les parois, /= aAB est le chemin parcouru par le gaz.

Nous avons pris t;^ 0,00019 en enijiloyant toujours les

(') Voir ce Volume, p. 620 et 52 1.

unités C.G.S. fy est la force antagoniste en dynes pour une vitesse de la cloche de i - —

calculé.

mesuré.

2, Go

T^a distance e est connue d'une façon très incertaine, et elle intervient par sa troisième puissance dans la formule; des différences de -p5 à -j^ de millimètre dans la valeur de e suffisent pour expliquer les écarts entre les calculs et l'expérience. On voit que ces écarts sont d'autant plus prononcés que la valeur de e est plus faible.

Tout défaut de réglage dans la position de la cloche tend à diminuer l'amortissement.

On voit qu'on peut, dans un but déterminé, choisir approximativement l'amortisseur nécessaire; par exemple, dans la construction des balances, on cherche l'amortissement qui, sans poids dans les plateaux, donne le mouvement où les deux racines de l'équation caractéristique de l'écjuation différentielle sont égales entre elles; on a dans ce cas

(17) Y = ï3v/M^«?(Mp-^-i-2M,L2;.

Les quantités cjui rentrent dans cette formule peuvent être évaluées approximativement avant la construction définitive, en prenant par exemple pour p les -f de L et pour M, le poids approximatif des plateaux et de l'amortisseur. Quant à <r/, il est déterminé par la sensibilité qu'on veut donner à la balance, qui elle-même dépend de la grandeur des divisions du micromètre.

Pour un modèle de balance dont le fléau pèse 100*^ avec un micromètre donnant :^ de millimètre par milligramme il nous a

548 ŒUVRES DE P. CUIIIE.

fallu un amortissement total de 240, soit 120 par amortisseur. Pour la même balance avec centre de gravité 100 fois moins loin du couteau (balance ordinaire), il faudrait un amortisseur lo fois moindre. On a avantage, au point de vue de la légèreté, à prendre des amortisseurs ayant la hauteur égale au diamètre.

BALANCE APÉRIODIQUE