III. — Transformations symétriques
7. Nous appellerons transformation symétrique tout mode de transformation qui, appliqué à un système quelconque, donne son symétrique.
8. Théorème. — Deux transformations symétriques appliquées successivement à un système quelconque produisent le même effet qu'un simple déplacement du système dans l'espace.
Cela résulte immédiatement de ce fait que le symétrique du symétrique d'un système est identique au système lui-même.
Nous énoncerons plus simplement ce théorème en disant qu'w/îe double transformation symétrique équivaut à un déplacement.
SIR LA SYMETRIE. 8l
Une double transformation symétrique équivant donc, dans le cas le plus général, à un mouvement hélicoïdal; dans des cas particuliers, elle pourra donner une translation, une rotation ou même elle pourra simplement restituer le système primitif point par point.
9. Théorème. — Si un système est défini anatv tique ment et rapporté à des axes coordonnés gauches, par exemple :
Opérer une transformation symétrique revient à construire un système en se servant des mêmes données analytiques et d^axes coordonnés rectangulaires droits convenablement choisis.
Répéter deux fois cette même transformation symétrique revient à construire un système en se servant des mêmes données analytiques, mais en prenant des axes gauches qui soient placés par rapport aux premiers axes transformés droits comme ceux-ci le sont par rapport aux axes gauches primitifs.
La première partie de ce théorème est évidente.
Le système ayant subi une première transformation symétrique pourra encore être défini analytiquement à l'aide des premiers axes gauches, il faudra seulement chercher pour cela quelles sont les nouvelles données analyticpies nécessaires.
La deuxième transformation symétrique consistera (puisqu'elle est identique à la jireinière ) à construire un nouveau système avec ces nouvelles données analytiques et les axes droits : les axes droits se transformeront alors en axes gauches qui seront définis analytiquement de la même manière par rapport aux axes droits que ceux-ci le sont par rapport aux axes gauches primitifs. Les derniers axes gauches seront, du reste, le résultat final de la double transformation des premiers axes gauches, et les premières données analytiques qui servaient à définir le système primitif rapporté aux premiers axes gauches serviront à définir le système deux fois transformé rapporté aux derniers axes gauches.
8^ OEIVRES DE P. n RIE.
