ÉQUATIONS RÉDUITES
La Lumière électrique, t. XLI, 1891, p. 201, 270, 807, 56.
Dans un grand nombre de questions de Physique, on est amené à considérer une équation difFérentielle linéaire du second ordre qu'il suffit d'intégrer pour avoir la solution cherchée. C'est ce qui arrive en particulier, lorsque l'on étudie un appareil oscillant et que cet appareil est amorti par une force antagoniste proportionnelle à la vitesse.
C'est encore une équation différentielle de ce genre que l'on obtient, quand on se propose de calculer les mouvements oscillatoires ou apériodiques de Télectricité dans le circuit de décharge d'un condensateur.
Nous nous proposons de donner ici des Tableaux numériques et une méthode permettant de simplifier les calculs que l'on peut avoir à effectuer.
La discussion d'une formule doit être poussée beaucoup plus loin par les physiciens que par les mathématiciens.
Les mathématiciens peuvent se contenter d'étudier l'allure générale des courbes représentant les variations d'une fonction, de déterminer les lignes asymptotiques, les points d'inflexion, etc.
Les physiciens doivent discuter numériquemenl, s'ils veulent tirer une conclusion physique quelconque : pour eux, par exemple, une quantité qui varie d'une quantité inappréciable, dans les conditions réalisables par expérience, peut être considérée comme une constante.
CALCUL DES MOLVEMKNTS AMORTIS. iSg
La nécessité de discuter numériquement n'exclut pas la généralité de la discussion; il n'est pas nécessaire de prendre un cas particulier. Seulement, il faut mettre les équations sous une forme j)arti( iilière. en n'y faisant figurer que des rapports de grandeurs de même nature. On a ainsi des équations réduites permettant de faire des discussions numériques générales et facilement applicables à tous les problèmes.
Amortissement dans les instruments de mesure employés en Physique.
Nous allons pi'éciser tout d'abord la question en considérant un appareil particulier.
Nous choisirons, par exemple, le galvanomètre Deprez-d'Arsonval. dont le^ mouvements ont été étudiés théoriquement et expérimentalement par M. Ledeboer dans un travail publié dans ce journal ( ' ).
Désignons par :
a l'angle de déviation compté à partir de la position d'équilibre,
/ le temps,
c le couple de torsion du fil de suspension par unité d'angle (c'està-dire par un radian),
S m;-"- le moment d'inertie du cadre mobile,
s la surface moyenne d'une spire de la bobine mobile,
n le nombre de tours de cette bobine,
h l'intensité du champ magnétique dans lequel oscillent les côtés du cadre,
R la résistance du cadre,
R' la résistance extérieure qui ferme le circuit du galvanomètre,
i lïntensité du courant électrique.
A un instant quelconque, on a
2 mr^ —, — = — c a -t- nsn i ,
(') La Lumière électrique, t. XX, p. 077.
l6o OEUVRES DE P. CURIE.
( — ca) étant le couple provenant de la torsion du fil, et (-{- nshi) celui provenant de l'action du champ magnétique sur le courant, i étant pris positivement dans le sens qui donne sous l'action du champ un couple positif.
Nous supposerons qu'il n'y a pas, dans le circuit, d'autres forces électromotrices que celles provenant des effets d'induction pendant le mouvement du cadre.
On a alors, en négligeant les effets de self-induction.
t(R-h R) = — nsA
dt'
d'où l'équation du mouvement
Cette équation est de la forme
dV- dt
d- a do. .
en posant
2(R-hR')Smr et
2 mr"-
On trouverait de même que les mouvements d'autres instruments employés en Physique sont encore parfaitement caractérisés par l'équation (i). Nous citerons, par exemple, le siphon recorder de Thomson, les galvanomètres à aimant mohilc amortis par le voisinage d'une masse de cuivre, tels que les vieux modèles de galvanomètres à plaques de cuivre, le galvanomètre de Weber et le modèle à petit aimant mobile en fer à cheval de d'Arsonval.
Nous citerons encore les électromètres apériodiques de J. et P. Curie, de Carpentier, de Blondlol et Curie à amortissement magnétique et l'électromètre Bichat et Blondlot à amortissement à air.
Nous avons aussi réalisé une balance comportant un amortissement à air, dont les mouvements sont très exactement régis par l'équation (i).
CALCUL DES MOI VEMEXTS AMORTIS. l6l
Dans d'autres instruments, une équation différentielle linéaire du second ordre n'est certainement plus tout à fait suffisante pour représenter la loi élémentaire du mouvement de l'appareil, le couple d'amortissement n'étant plus exactement proportionnel à la vitesse. Mais l'équation (2) peut donner toutefois une première approximation pour guider le constructeur. Nous citerons, comme instruments de cette catégorie, les ampèremètres industriels, le galvanomètre à arête de poisson de Deprez, le galvanomètre Thomson à amortisseur à air, les électromètres à amortisseurs à palettes dans un liquide, tels que ceux de Thomson et de Mascart.
Un manomètre à liquide, à mercure, par exemple, comporte aussi un certain amortissement provenant du frottement intérieur de ce liquide sur lui-même.
Le mouvement d'un aréomètre est également amorti par le frottement du liquide dans lequel il baigne.
Enfin, les manomètres métalliques sont sans doute amortis par le frottement intérieur dans le métal lui-même.
On voit que presque tous les instruments de mesure comportant le mouvement d'un système matériel ont un certain amortissement. Il n y a d'exception que dans des cas où les instruments fonctionnent comme instruments de zéro, au lieu de donner par la grandeur d'un déplacement la valeur de la quantité à mesurer. C'est de cette façon que fonctionnent d'ordinaire les électrodynamomètres et les balances.
En général, il est non seulement utile, mais absolument nécessaire, de régler convenablement l'amortissement d'un appareil pour qu'il puisse fonctionner. Trop amorti, l'instrument est paresseux et la partie mobile ne vient se fixer dans sa position d'équilibre qu'au bout d'un temps considérable; pas assez amorti, l'instrument oscille presque indéfiniment.
Les conditions de bon fonctionnement d'un appareil de mesure sont :
i" Qu'il soit sudÀsammenl sensible;
2" Qu'il soit suffisamment /?/'eci5; c'est-à-dire qu'il donne fidèlement plusieurs fois les mêmes indications pour les mêmes quantités à mesurer;
3" Qu'il soit suffisamment rapide dans ses indications. C. II
La troisième condition comporte comme condition nécessaire (mais pas toujours suffisante) un réglage convenable de l'amortissement.
L'amortissement paraît avoir occupé jadis une place très secondaire dans la disposition d'un grand nombre d'appareils et le constructeur semble souvent ne pas s'en être préoccupé. On peut faire remarquer toutefois que le constructeur qui est parvenu à faire bien fonctionner un instrument en lui donnant certaines dimensions a par cela même réglé jusqu'à un certain point l'amortissement.
Dans un manomètre à air libre, par exemple, il n'y a pas d'amortisseur, mais le diamètre du tube règle l'amortissement. Le frottement intérieur donne, en effet, pour un même excès de pression, une vitesse d'écoulement qui croit rapidement avec le diamètre. Si donc le tube est trop large, le liquide oscillera longtemps avant de s'arrêter. Si le tube est trop étroit, le liquide viendra très lentement se fixer dans sa position d'équilibre. On est amené à choisir convenablement le diamètre entre ces deux cas extrêmes, c'est-à-dire que l'on choisit un amortissement convenable.
Mais si par tâtonnement onari'ive à réaliser pour un instrument un amortissement pratique, on arrive difficilement à avoir le meilleur amortissement si l'on ne se laisse pas guider par la connaissance des lois du mouvement.
Il est quelquefois très utile d'avoir exactement le meilleur amortissement au point de vue de la rapidité des lectures; soit que le phénomène que l'on étudie ne dure qu'un temps très court sans éprouver de variations, soit que l'instrument marchant déjà lentement dans les meilleures conditions possibles, il ne devienne tout à fait pénible de s'en servir avec un amortissement médiocrement réglé.
Les équations du mouvement sont encore fort utiles à connaître lorsque l'on veut modifier convenablement toutes les pièces d'un appareil pour en réaliser un nouveau d'une sensibilité différente. Enfin les équations du mouvement permettent facilement de prévoir et de calculer exactement ce qui se passera pour une modification quelconque imposée à un appareil.
Il existe quelques instruments dans lesquels une partie au moins de l'amortissement est due à un frottement de solide contre
CALOIL DES MOUVEMENTS AMORTIS. l63
solide ; un amortissement de ce genre a toujours donné des résultats médiocres ou mauvais au point de vue de la précision des indications. L'indicateur de Watt et le Cardevv, par exemple, donnent des résultats d'une exactitude douteuse- Une partie de l'amortissement provient, dans ces instruments, des frottements de corps solides les uns sur les autres, et de ces frottements doivent provenir aussi une partie des erreurs.
On admet que des frottements de cette espèce donnent des forces antagonistes de grandeur constante, c'est-à-dire que la réaction due au frottement est toujours de signe contraire à la vitesse, mais indépendante de la grandeur de celle-ci.
Prenons par exemple un système qui sans amortissement possède un mouvement pendulaire, et adjoignons-lui un frottement de corps solides. On trouve, en traitant la question par le calcul, que la durée d'oscillation est la même lorsqu'il j a un amortissement de ce genre que lorsque le mouvement est libre. A chaque demi-oscillation l'amplitude diminue dune grandeur constante que nous désignerons par a; mais, lorsque les amplitudes successives ont décru jusqu'à une valeur égale ou inférieure à 2 a, \e système s'arrête et la position d'arrêt comporte une incertitude égale à 2a; le système peut s'arrêter dans une position quelconque, dans une portion comprise entre — a el -{- a de part et d'autre de la véritable position d'équilibre. Alors, si a est grand, l'indication n'offre aucune précision. Si a est petit, le système n'est pas suffisamment amorti puisqu'il diminue seulement de a par demi-oscillation. De toute façon le résultat est mauvais.
Dans les instruments de mesure il est donc bien préférable de disposer un système fournissant un amortissement proportionnel à la vitesse.
Déplacements électriques dans le circuit d'un condensateur.
Soient :
G la capacité du condensateur,
R la résistance du fil qui unit ses deux faces,
L le coefficient de self-induction du circuit.
l64 OEUVRES DE I>. CURIE.
i rinlensité du courant clans le fil, q la quantité d'électricité condensée,
i> la dilïerence de potentiel entre les deux faces du condensateur. Supposons que l'on décharge le condensateur à travers le fil. A un instant quelconque pendant la décharge on a :
et, d'autre part, et
d'où l'on tire
q = GV
dq ITt
^ d-q dq i
dt^- dt C ^
Cette équation est encore de la forme
eq
en posant
et
d-^q dq
Cette équation montre que le problème des oscillations de l'électricité est le même que celui des oscillations de la matière. En effet, dans un système matériel on a
,, d'-x dx ^
M —7— -I- 7 — ; 1- Ea- = o,
dV- ' dt '
M étant la masse, y le coefficient de frottement ou force antagoniste par unité de vitesse, x le déplacement et E le coefficient élastique ou force antagoniste pour l'unité de déplacement.
Les deux équations sont intéressantes à comparer : on voit que le coefficient de self-induction en électricité joue un rôle analogue à celui (le la masse dans le système matériel. La résistance électrique et le coefficient de frottement ont des rôles semblables. L'inverse de la capacité intervient comme un coefficient élastique. C'est l'élasticité électrique du diélectrique du condensateur qui
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. l65
entre ici en jeu; et, pour une même quantité d'électricité condensée, la tension élasti([ue est d'autant plus grande que la capacité est plus faible. Enfin, la quantité d'électricité intervient non comme une matière, mais comme un déplacement.
On voit encore que le frottement matériel joue le rôle de la résistance électrique. On doit en tenir compte au même titre que <^le celle-ci; il est aussi nécessaire de faire intervenir un coefficient de frottement déterminé dans un problème relatif à un système matériel que d'avoir une résistance électrique convenable dans le problème électrique correspondant.
Le problème du mouvement de l'électricité dans le circuit d'un condensateur intervient aujourd'hui dans un grand nombre de cas quand on emploie les condensateurs dans les laboratoires, dans l'industrie ou dans la télégraphie.
Le calcul précédent n'est applicable du reste que lorsque l'on ne dépasse pas une certaine limite de rapidité. Quand les oscillations sont excessivement rapides, les lois ordinaires de l'électrodynamique ne sont plus applicables sous une forme aussi simple.
Mouvement avec amortissement proportionnel à la vitesse.
Considérons de nouveau l'équation (2) (.) __+,« + è^a = o,
dans laquelle a, a et b ont une signification particulière pour chaque problème que l'on considère.
Dans le cas, par exemple, d'un système matériel oscillant autour d'un axe, a serait l'angle de déviation et l'on aurait
a = --A — TJ b^-= —- — -,
Y représentant le couple d'amortissement pour l'unité de vitesse
angulaire, H/»/"- le moment d'inertie, c le couple de torsion par unité d'angle.
Nous supposerons, comme conditions initiales, qu'au temps o le
l66 OEUVKES DK P. CURIE.
système est abandonné à lui-même avec une vitesse nulle et une
déviation angulaire y-o comptée à partir de la position déquilibre.
Cette équation intégrée se présente sous trois formes dilïérenles,
suivant les grandeurs respectives de a et de b.
Pour
(figure I, courbe 1), on a une sinusoïde
(3) y. — aocosi^
Pour
(figure I, courbe 11), on a
(4) a = aoe-^^f cos /i- —
Pour
(figure I, courbe III), on a
( 5 ) a = ao e
\Jb-^
si II \/6- — a- t
f'tii-^bt).
(figure I, courbe IV), on a
a := auC"
■ ^/ic- — b-^ t
Pour
on a la droite
(7) a = ao.
Si l'on suppose que l'amortissement, d'abord nul, prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, on réalisera successivement tous les types de mouvement, dont quelques-uns sont représentés figure i : le mouvement, d'abord représenté par une sinusoïde (courbe l), devient oscillatoire avec amplitudes successives décroissantes (courbe II) ; en même temps la pseudo-période
va en augmentant et le point où la courbe coupe l'axe des temps s'éloigne vers l'infini.
Puis, pour le mouvement critique, pour lequel a-^^- (courbe III), le mou\ement devient apériodique, c'est-à-dire que l'appareil se rapproche d'une façon continue de sa position d'équilibre sans la dépasser jamais. Enfin, pour des amortissements plus grands
Fi g. I.
encore, le mouvement, toujours apériodique, devient de plus en plus lent (courbe IV") ; les courbes vont en s'étalant déplus en plus et finissent par se confondre avec une droite horizontale. On voit comment s'opère sans changement brusque la transition du mouvement périodique au mouvement apériodique lorsqu'on augmente l'amortissement. Nous rappellerons quelques-unes des propriétés de ces mouvements.
Lorsqu'il n'y a pas d'amortissement, la durée Tq de la période du mouvement est donnée par la relation
Lorsque le mouvement est oscillatoire, mais amorti, il n v a plus, à proprement parler, de période, mais nous considérerons une pseudo-période T, qui est la période du terme entre parenthèses de l'équation (3); on a
La pseudo-période T est toujours plus grande que Tq ; on a
^0 sj b- — a-
T tend vers l'infini cjuand a- augmente jusqu'à la valeur h-.
l68 OEUVRES DE P. CURIE.
T jouit d'une partie des propriétés d'une période véritable de mouvement sinusoïdal. Par exemple, ï représente l'intervalle de temps entre deux maxima successifs ou entre deux minima suc-
cessifs. — représente l'intervalle de temps entre un maximum et un
minimum se succédant. — représente encore l'intervalle de temps
entre deux instants successifs pour lesquels la dé\iation s'annule.
Mais une clid'érence essentielle avec un mouvement n!)n amorti,
c'est que l'intervalle de temps entre un maximum ou un minimum
et le moment où la déviation est nulle n'est plus égal à — ■
Les temps correspondant aux déviations nulles sont tous décalés dans le sens positif duue quantité csT (es représentant le décalage en fraction de pseudo-période).
On a
a tang'ZTCO =
Le décalage croît progressivement jusqu'à \ de période lorsque a augmente de o à b.
Les temps cox-respondant aux points d'inflexion de la courbe (la vitesse est alors maxima) sont décalés dans le sens négatif de la même quantité tpT. On voit que les jambages successifs de la courbe sont dissymétriques.
Les élongations correspondant aux maxima et minima successifs
vont en décroissant; le rapport — de la /i'"'"élongation maxima
ou minima à l'élongation suivante est un nombre constant /•.
Soient
/ = } A = log nepr:
;• est le décrément et a le décrémeiiL logarithniicjue, et l'on trouve facilement
ou
T étant toujours la pseudo-période.
L'étmle dun mouvement oscillatoire amorti est donc assez facile dans un système matériel; on détermine par exemple le rapport de deux élongations successives, ce cjui permet de calculer le décrément logarithmique A; d'autre part, on mesure la durée T de la pseudo-période. On tire a par la relation
»uis de la formule
on tire
Connaissant a et è, on peut chercher la valeur de l'élongation à un instant quelconque en se servant de l'équation complète du mouvement.
Cette méthode, excellente quand l'amortissement est faillie, donne des résultats peu précis lorsqu'il est considérable, parce que les amplitudes successives diminuent trop rapidement.
Enfin, quand le mouvement est apériodic[ue, la méthode ne s'applique plus.
On doit, dans le cas des mou\ements apériodiques, noter les déviations pour différents temps et essayer d'en déduire la loi du mouvement. Mais les équations ne permettent en général de faire aucun calcul directement et l'on ne peut arriver à un résultat que par des méthodes de tâtonnement, c'est-à-dire en construisant un assez grand nombre de courbes ou de Tableaux numériques et en cherchant le mouvement qui s'adapte le mieux aux expériences que Ion a faites. Les formules (4), (5) et (6) permettent de calculer a connaissant «, 6, ao et ^, mais jamais on ne peut renverser le problème et chercher à tirer directement des formules ^, a ou h. On voit que l'usage de Tables ovi de courbes construites d'avance s'impose, mais on ne saurait construire ces courbes et ces Tables pour chaque cas que l'on traite considéré isolément; il convient de construire des Tables qui puissent servir pour tous les problèmes.
IJO
tœUVHES DE P. CLIUE.
Équations réduites de Van der "Waals.
On peut, pour rendre les équations plus générales, choisir des nouvelles variables telles que les coefficients particuliers caractérisant chaque problème particulier disparaissent. C'est un artifice de ce genre qu'emploie par exemple Van der Waals pour exprimer d'une façon générale la relation qui existe entre la pression, le volume et la tempéi-ature absolue d'une certaine masse fluide. Nous rappellerons ici la réduction de Van der Waals.
En désignant par :
p la pression dans le fluide (liquide ou gaz); (^ le volume de l'unité de masse; 9 la température absolue.
La relation de Van der Waals peut s'écrire
RO a (8) p= , 7'
R, a et 6 étant des constantes spécifiques caractérisant le fluide considéré.
Désignons par />(,, Vci ^c la pression, le volume spécifique et la température absolue au point critique. A la température critique, la courbe p fonction de v a un point d'inflexion avec tangente parallèle à Taxe des volumes pour /> ^=pc et p = Vc.
On peut déduire de cette propriété la valeur des constantes critiques en fonction de R, a et b. On trouve
Ces trois relations permettent aussi de tirer «, 6, R en fonction des constantes critiques
a = Pc Vc,
CALCUL DKS MOIVK.MENTS AMORTIS. I7I
En remplaçant dans l'équation (8) rt, 6 et R par ces valeurs on aura substitué les trois constantes critiques pc-, Vc-, ^c aux constantes précédentes.
On pourra alors écrire l'équation (8) sous la forme
P su I
Pc 3 6^ r
Si nous prenons maintenant comme nouvelles variables les
ipiantilés
p V 0 Pc ' Vc ' 0^. '
nous aurons entre ces trois quantités une relation purement numérique.
Ici nous prendrons l'initiative d'une notation particulière. Nous poserons
Pc ^c ^c
np, nv, /?Q devant être considérés comme des symboles dans lesquels n et/>, n et t», n et 0 ne peuvent être séparés'. On a alors
( I O ) np = ~ n^ „ •
C'est Véquation réduite de la formule de Van der Waals. np peut être considéré comme représentant la pression, lorsque l'on prend comme unité de pression la pression critique; nv est le volume spécifique en prenant comme unité le volume spécifique critique; n^ est la température absolue comptée en prenant pour unité la température absolue critique.
La notation symbolique que nous avons adoptée présente certains avantages. Dans la désignation np^ j)ar exemple, p rappelle qu'il s'agit dune pression, la lettre n rappelle que Ton a aftaire à un rapport de deux quantités de même dimension, à un nombre; par conséquent, l'équalion (lo) est une relation entre des nombres.
L'équation réduite ne contient plus de constantes spécifiques caractérisant la nature du fluide. 11 en résulte qu'en choisissant
lya ŒUVRES DE p. CIRIE.
des unités spéciales pour chaque lluide que l'on peut avoir à considérer, la relation entre la pression, la température e't le volume est la même pour tous les corps. L'importance de ce résultat, au point de vue de la théorie de la constitution des corps, est évidente. L'importance de ce résultat au point de vue pratique n'est pas moindre.
Si ion admet, ce qui n'est pas ahsolument vrai, que l'équation de Van der VVaals est Ijien exacte, ou peut en déduire une méthode pratique pour faire une fois pour toutes les calculs nécessaires pour retrouver facilement tous les états que peut prendre un lluide quelconque lorsque l'on connaît ses constantes critiques pc-, ^ci ^c-
11 suffit pour cela de construire des courbes ou d'avoir des Tableaux numériques donnant les diverses valeurs de np fonction de nv pour diverses valeurs de /il suffisamment rapprochées.
Les problèmes que l'on pourrait résoudre seraient ensuite des plus variés. Si l'on voulait, par exeuiple, connaître le volume spécifique d'un lluide à la température T et à la pi-ession/>, connais-
sant ses constantes /?c, T^-, 9c, on calculerait d'aijord /? 9 = ^ et
nn = — , puis, dans les Tableaux ou sur les courbes, on cherche- ' Pc ^
rait nv correspondant à nt et np, et Ton déduirait le volume spécifique cherché v = nvvc-
Équations réduites pour l'étude d'un mouvement amorti.
Nous pouvons appliquer une réduction analogue à nos équations (3), (4), (5), (6), [-j). Nous considérerons comme variables lélonoation B, le temps t et l'amortissement a, et nous choisirons comme unités, pour chacune de ces quantités, des grandeurs de même nature et ayant une signification physique aussi simple que possible.
Nous prendrons comme unité d'élongation 0.^ qui représente dans tous les cas la déviation à l'origine du mouvement, alors que la vitesse est nulle, et nous poserons
Nous prendrons comme unité de temps la durée T„ de la période, lorsque, toute autre chose égale d'ailleurs, l'amortissement est nul et le mouvement représenté par l'équation ( 3 ) :
a = 1q co> bt
et nous poserons
To
nt.
On a, du reste, la relation
d'où
t = T^nt =^ —r- lit.
Enfin, nous j^rendrons comme unité d'amortissement, l'amortissement qui donne le mouvement critique, équation (4),
a = aoe-^'(i -i- at).
On a, dans ce cas, a^= b. b nous servira d'unité d'amortissement et nous poserons
-r = na.
Les notations «a, nt, na sont des symboles dans lesquels les lettres associées ne peuvent être séparées.
En substituant les valeurs de a, i, a dans les équations (3), (4),
(5), (6), (7), on obtient
na = co?,i-nt.
cos (y I — Il a- 2 - nt)-
\/ 1 — IIOL-
nt = e--it"'(i -i- i-jit),
in( y/ 1 — a y.'- i-nt^
j+i/nx-— 1 i—nt
n a \ \J WJ.- — I / /i a = I .
na--— 1 271"/
On voit que ag et b disparaissent de ces équations et que l'on a des relations purement numériques entre /?a, nt., na.
Ces équations sont des équations réduites indépendantes du problème jiarticulier que l'on considère, qu'il s'agisse d'une oscillation rectiligne ou autour d'un axe, que l'on ait un système matériel ou de l'électricité, que les oscillations soient lentes ou rapides; ces équations réduites sont toujours applicables, quitte à revenir de la valeur réduite à la valeur réelle à l'aide de coefficients particuliers à chacun des problèmes.
C'est donc pour les équations prises sous celte forme qu'il convient de faire les Tableaux numériques et de construire les courbes. On aura à chercher une série de valeurs de n a pour diverses valeurs de nt et cela pour diverses valeurs de na suffisamment rapprochées les unes des autres.
Nous appellerons na le degré d' amortissement du système; il caractérise le genre du mouvement. Pour na=^ o, équation (m), mouvement oscillatoire pendulaire.
Pour na <C. i, mouvement oscillatoire amorti, équation (12). Pour na =^ i, mouvement apériodique critique. Pour na >> 1 , mouvement apériodique de plus en plus lent, quand na tend vers l'infini.
Généralités sur les équations réduites.
La méthode inaugurée par Van der Waals avec son équation réduite applicable à tous les fluides nous semble devoir être très féconde en Physique, tant au point de vue théorique qu'au point de vue pratique. Nous ferons ici quelques remarques générales sur ces équations.
Toute mise en équation d'un phénomène naturel doit nécessairement donner une relation homogène par rapport à un système quelconque d'unités fondamentales.
On peut toujours amener une relation à une forme telle que chacun des termes de la relation ait une dimension nulle par l'apport aux unités fondamentales.
Du reste, la présence dans un pareil terme d'une grandeur ayant certaines dimension^ entraine nécessairement dans le même terme une autre grandeur de mêmes dimensions pour que les dimensions puissent s'annuler les unes les autres.
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. TjS
Il est vrai que la coexistence de ces grandeurs de même nature peut nètre pas directement visible. Il peut se faire, par exemple, que, considérant une première grandeur, la seconde de même espèce soit contenue dans une autre de dimensions plus complexes. Mais cette grandeur de même espèce que la première n'en existe pas moins, quoique sous forme implicite, et l'on doit toujours pouvoir par transformation ramener le terme considéré à ne plus contenir que des rapports de grandeurs de mêmes dimensions. (Jn met ainsi sous une forme tangible cette proposition que toute relation mécanique ou physique résulte de la comparaison des grandeurs de même espèce.
En considérant les rapports des grandeurs dont nous venons de parler, au lieu de s'occuper des primitives, on diminue notablement le nombre des quantités entrant dans une éc{uation. On obtient donc une équation réduite plus générale que la première, qui doit être du reste considérée comme une relation purement numérique, puisque toutes les quantités qui y entrent ont des dimensions nulles.
On peut constituer une infinité d équations réduites différentes pour une même équation. Soil
On peut poser
— j — j — étant des rapports de grandeurs de même espèce.
^0 Vo -0 II ^ 1
= Alix
Xq
^ = Bny — = Cnz,
A, B, C étant des coefficients numériques que l'on petit choisir
d une façon absolument arbitraire. L'équation réduite sous la
forme
F(Ani-, Bny, Grt^) = o
contient une infinité d'équations distinctes différant entre elles par les valeurs adoptées pour les nombres A, B et C.
176 CgîCVRES DE P. CLHIK.
Voici, par exemple, l'équation de Van der Waals (8) (p. 170) :
RO a
en prenant />, v^ 6 comme types de dimension on voit que :
a a les dimensions de v- />, h » V,
donc, en désignant par/?o, ^0, ^0 une certaine pression, un certain volume spécifique et une certaine température absolue, on peut poser
a = XvIpo b = Bt^o
A, B, C étant des nombres choisis arbitrairement, et l'équation de Van der Waals devient
ou, en prenant /?o 5 ^^o, ^0 comme unités,
(17) np =
Dans cette équation réduite A, B et C peuvent être choisis à volonté et les unités particulières employées /*oj ^'o? ^0 sont tirées des équations (16), soit
i*()ur un autre fluide caractérisé par d'autres constantes «', b' , R' ré(piation réduite sera la même (1-) à condition de conserver les
Po
Oo
GB
ab
CVIXIL DKS MOUVEMENTS AMORTIS. I77
mêmes valeurs numériques pour A, B, C dans des équations analogues aux équations (18) servant à déterminer les nouvelles unités yt>,',, v',|. G„.
Lorsque Ion prend comme unités la pression critique />f., le volume spécifique Vc et la température absolue critique 8^, cela revient à considérer le cas particulier où l'on pose
11 V a donc une infinité d'équations réduites pour représenter les transformations de tous les fluides. Non seulement il n'est jras nécessaire de choisir les constantes critiques comme unités, mais il n'est pas même nécessaire de choisir comme unités des valeurs P01 ''05 80 correspondant à un même état du corps, c'està-dire satisfaisant à léquation (8). On peut, par exemple, prendre A = 1 , B = i , C = 1 , et l'équation réduite sera simplement
nd i
/il' — I nv-
Toutefois. si théoriquement les valeurs à donner à A, B, C sont indifférentes, pratiquement il vaut évidemment mieux ciioisir des unités ayant une signification physique particulière et importante.
C'est précisément ce que nous avons fait pour les équations réduites du mouvement d'un système amorti (i). Nous aurions pu choisir des unités difTérentes, mais en tenant toujours compte de ce que a et b ont mêmes dimensions et que ces dimensions sont rin\erse d'un temps, puis en tenant compte également de ce que a a les mêmes dimensions que a,).
Des états correspondants.
Van der W'aals remarque qu'à une solution np^ nv, nO de l'équation réduite des fluides correspond pour chaque fluide un certain état.
On a ainsi des états correspondants pour les divers fluides et deux corps pris dans des états correspondants ont des propriétés analogues.
T78 OEUVRES DE P. Cl'RIE.
Dans l'élude d'un mouvement amorti nous pouvons considérer de même des états corres^pondants de mouvement pour deux systèmes différents lorsque ces états de mou\ement seront représentés par une même solution ( /?a, na^ nt) de l'équation réduite.
Pour que dans les états correspondants il y ait une analogie mécanique ou physique véritable, il faut que les états qui se correspondent soient les mêmes, quelle que soit l'équation réduite adoptée ; c'est ce qui a lieu. En elVet, si deux états se correspondent avec une première équation réduite, on aura par exemple
nx ^= — = — 7- 1
.37, x' étant une même grandeur sous deux états correspondants dans deux systèmes différents, .r,,, x'^ les unités relatives à ces deux systèmes.
Si l'on prend une autre équation réduite, cela revient à changer d'unités en faisant varier dans le calcul de celles-ci les coefficients numériques tels que A, B, C considérés plus haut, mais cette variation sera la même quel que soit le système; donc les nouvelles unités s'obtiennent en multi|)liant Xq et jc^ par un même facteur R: on aura pour la nouvelle équation réduite
La grandeur réduite sera encore la même pour les deux systèmes, donc les états se correspondent encore.
A propos des états correspondants, on peut remarquer que, pour obtenir une même équation réduite avec deux systèmes différents, il est nécessaire de prendre comme unités les grandeurs de deux états correspondants des deux systèmes.
Ces états correspondants peuvent du reste être réels ou imaginaires. Ils sont réels quand les grandeurs servant d'unités correspondent à un état pouvant exister dans le système. Ils sont imaginaires dans le cas contraire.
Calculs numériques et courbes.
Des élèves de l'Ecole de Physique et de Chimie de la Ville de
Paris ont effectué avec soin des calculs numériques et construit les courbes représentant les équations réduites (11), (12), (i'^)? ('4) (p. 173), relatives à un mouvement amorti.
M. Langevin a fait les calculs relatifs aux mouvements apériodiques pour divers degrés d'amortissement [na > i).
Voici comment il a posé les calculs relatifs à l'équation (i4)-
Soit
na \ I — :; — -\,
-\na — \; nd Xj^TZnt
\' na- — I j
IKl
\J na'- — I l'équation (i4) devient
na = - (A
( na-
Or B décroit assez rapidement quand nt va en augmentant. Si bien que, si l'on se donne une précision déterminée, tt^^ par exemple, pour les valeurs de /la, le terme B est négligeable à partir de certaines valeurs de nt et le calcul se simplifie.
En prenant les logarithmes, on trouve pour log A et logB des expressions de la forme
( log A = /?? — p nt, \ logB = h — q nt.
m, p, h, q étant des constantes. Le Tableau I donne les valeurs de ces constantes pour divers degrés d'amortissement na.
Tableau I.
na.
3o4io
3oi3i
log.oSSo
3oio5
'A'^rA
OEIVRKS DK P. CIRIE.
i^^— - oc li^
c~. cr. (y-, c. ~ C-. c. C-. ~. ~
c Ci r^m ^r- .-: - ~. 30 -vC c ~. ~ O) C"- ~. ~. X oc oc
c C! c C-. c~. ~. cr. ~ cr. c.
r^ O 1^ ^o o; o~. C. c~- oc 00 oc c^ r^
C 00 te ro
ooom -oo^a-ccc ci 05 O c^CDCr; 00 00 oc f^r^i^
c a-, C-. CT! Oî c; en c; ctî c-j
■. i-o r^ c. r^ r^ lo ^^
ccoNCî^coor-f^Cî
CCO^3-00 CNvOOO OCCiO
c c~. Ci 00 00 r^cc ;d lo ^—
c c-. 1^ c. c:^. c. <::-. (y-, cr-- c^
Ln r^ro fc
C n ce r^r^
■^rr ^^ c L.'^ ^ .
c oc ro r- ov
H- c: ro ce CO
c c. CîOC r^
r^ œ L.r ^T co
c c-, CT-. £7: iT:
a: cr; C7-. c^ a:
C ^ co cr C3C ^^ oc ^ c^ c^'
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c C^ c^ oc r^^ lo ver a <--
c c^ o c: c^ c~-. Cl c:^ c^ cr.
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c ■- r^cc r< om in 0 ro
0 00 c^i ^^ fO CT; ^^ r^ C; c^
0 ~. cr:oo r^tOv=-t^ 00c
C c. C: y. c-. CO C-. C-- c. X
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