I . II. 111. I . II. III

V = Yj + Z3 -f- (:Yk)' + ( Y/)' -h [ Y /')' -t-...^- (Zr)' + (Z -')' - /. z" '

kU LEÇONS SUR LE CALCUL

Les termes Y}'-!-Zc,qui ne sauraient être des fonctions dérivées exactes, tant que jet z ont des valeurs arbiti'aiirs, doivent être détruits, ce (jiii donnera d'aljord l'équation générale

Yj+Zi:=:o,

à laquelle on satisfera de différentes manières, suivant que les variables y et z seront indépendantes l'une de l'autre, ou (|u'elles seront liées entre elles par des relations données.

On aura ensuite, en prenant les fonctions primitives, ii cause de

V = U', l'équation

i . II. III. I . II. III.

U = Yjr + Vj-' -^ Y j"+ . . . + z - H- Z2' + z ;"+ . . . ;

c'est la valeur qu'il faudra substituer dans l'équation aux limites

t, - Ùo=o.

Si l'on veut que jc varie aussi, on cbangera y et z. en r — v'sc, z — z'oo, et l'on ajoutera à U le terme Yx.

Reprenons l'équation Y y h- Zg — o. S'il n'y a aucune relation donnée par les conditions du problème entre œetr, leurs variations seront indépendantes l'une de l'autre, et l'on ne pourra vérifier l'équation dont il s'agit qu'en faisant séparément

Y=zO, Z=:0,

deux équations qui serviront à déterminer y et z en fonctions de or.

Mais, si les variables y et :; étaient liées par une équation de condition entre ^, j, z, que nous représenterons par

il faudrait tirer de cette équation la valeur de z en r et )', et la substituer dans l'expression de Y; mais, pour faire usage de l'équation

Y V -h TjZ r= (), il suffit d'avoir le rapport entre les variations )- et c ; et pour cela, il n'y a qu'à considérer (jue, la relation entre les quantités a.', y, z devant subsister aussi dans l'état varié, l'équation

DES FONCTIONS. Vlo

F(.r, r, z) = () (lt'vi';i îivoir lien aussi en v iii<'ll;iiil r + /,r :iii lien (\(' .r, cl

Y -h iy-i v -!-..., z -h iz -A 3 -f- . . . il II lini de v cl r, (jiicllc (|iic

soit la (|iiaiilil('' /. D'où cl de et' <|iii a de dcmoiilrc dans les [H'ciiiiiTcs F.eçous, il csL l'acilc de coik liiic (jiic les dcrivccs de cctlc (''(jiiatioii, relatives aux variations de .r, y, z, dcvroiil avoir lieu aussi. De sorte <|ue l'équation de condition Ffo:', y, 0) — o donnera les e(jiiarKius variées

Or, eu regardant .r comme invariaMe, on a

F(;c,j, z)--=jF'ij-)4-- F'(2),

puisque l'algorithme des variations est le même que celui des dérivées. Ainsi on aura l'équation

jF(j) + .F'(s] = o,

d'où l'on lire le rapport de y à z, lequel, étant ensuite substitue dan> l'équation Yj -hZz = o du maximum ou minimum, donnera celle-ci

YF'(2;;-ZF-(j) = o,

(jui, étant combinée avec l'équation de condition F(,r,y, cj = o, servira à déterminer les valeurs de y et z en .r.

Nous avons supposé dans le calcul précédent que or ne variait pas. Si l'on voulait tenir compte des variations de a-, on aurait, à la place de ré(|uation Y v -i- Z:; = o, celle-ci

Or l'équation de condition F-r-, r, Cy = u donnerait d'un côte rec|ualion dérivée

et de l'autre l'équation variée

.rF»-t-jF'(j) + 3F'(2) = o;

substiluanl dans ci'lle-ci la valeur de ¥"{x), tirée de la précédente, on

aura

(^-. -yjc) F'ir) + [z - z'x) ¥'[z)=z o.

Va cette équation, combinée avec l'équation ci-dessus, donnera égale-

iiiciil l'équation

YF'(z)-ZF'(j)=3 0.

On voit par là, en général, que la variation de a-, x n'influe que sur l'cquation aux limites, et nullement sur l'équation générale du maximum ou minimum.

Supposons maintenant, pour embrasse)' le problème dans toute son étendue, que l'équation de condition entre x, y, z contienne aussi les dérivées de y et de z et soit en général de la forme

¥[x,r,y',y", . . ., z, z' , z" , . . .) = o; on tirera de là l'équation variée

la(|uelle, en n'ayant égard qu'aux variations de j, z, se développera ainsi :

(^omme les dérivées de z ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d'en déduire l'expression de z, en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliqués, et il est beaucoup plus simple d'employer les multiplicateurs, de la manière dont on a usé dans la Mécanique analytique, (}ui est toute fondée sur le calcul des variations.

On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé */., et de l'ajouter à l'expression précédente de la variation Y, en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux termes de manière que les fonctions dérivées des variations y et z ne se trouvent que dans des fonctions dérivées