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Pour y parvenir, j<; suivrai donc 1(3S procédés détaillés ci-dessus (40), et j'emploierai la première méthode en opérant sur les séries formées des sommes et des différences des termes de la proposée équidistanis du milieu.
Prenant donc le terme -f-772, qui répond à i i^io" pourT, et les suivants — 237, H- 258,... pour T', T",..., ainsi que les précédents —72, — 823,... pour T, 'T,..., il faudra chercher les sommes
et les différences
et, pour les trouver plus aisément et sans craindre de se tromper, il n'y aura qu'à écrire de nouveau les mêmes termes, comme on le voit dans les lignes troisième et quatrième de la première case, et prendre ensuite les sommes d'un côté et les différences de l'autre. On aura ainsi cette série des sommes
et cette autre série des différences
sur chacune desquelles il faudra opérer séparément.
Opération sur la première série.
Cette série sera donc représentée ainsi
700 — niCxi.r -h'oyx^ — SSQ.r^-t- «yi r' -4- loSo.r" — 1 1 14.^*' -t- 57y.r' — GaSr*— i6ox* — . . . ,
et Ton aura d'ahord
ensuite, divisant tous les lernics par />, et faisant le calcul i)ar les loga-
rilhmes, comme on le voit dans la deuxième case, on aura la nouvelle série
5=1 — 1,51428^ H- I,OIOOO:c' — 1,27000^'^+ O, 38714.2:''
+ 1,54286^' — 1, 5g 1 43^^ + 0, 8271 4^' — o,89286.îc* — 0,22857a:'' — . . .,
par laquelle il faudra diviser le binôme i — œ.Le procédé de celte division est détaillé dans la quatrième case, et les calculs subsidiaires pour les multiplications se trouvent dans la deuxième case. On a donc ce premier quotient
en sorte que
ensuite on a le reste
— i,23i23.r^ -h 2, 26485 jc^ — . . .;
donc
et, comme ce reste n'est ni nul ni fort petit, il faut continuer Topération.
On divisera donc tous les termes du reste dont il s'agit par/?', et l'on aura la série
^'= I — i,5i428.r-(- 1, 01 000 j:^-i-o, 38332 j:' — o,3'i3&yx*-+- 1,26017^^ — i, 6721 3. r*^ -h 0,1 1295 x',
qui devra maintenant servir de diviseur à la série s.
Les quatrième et deuxième cases contiennent aussi le détail de cette nouvelle division, ainsi que les calculs subsidiaires qu'elle demande; et l'on voit que le quotient est
ce qui donne
et que le reste est
o,oo397.r- — o,oio34a^ — 0,00812^* + 0,00790^' — 0,00464.^' — o,oo2l4^^
D'APRÈS LES OliSEKVATIONS. 593
Or, coinmo l(!s cooiricicnts numériques soiil ici l'oil petits, on |)ouii;é négliger ce reste et regarder ropériition coniine achevée; on aura de cette manière, non la vérilaldc loi de la série, mais une loi fort approchée, qu'il sera facile de rectifier ensuite.
La première série donne donc ces valeurs
y> = 'joo, y =0,51428,
qu'il faudra substituer dans les formules du n" 40; mais auparavant nous chercherons celles qui doivent résulter de l'autre série.
Opération sur la seconde série.
Cette série sera représentée ainsi
844 -t- 586a; -4- ^x^ — 4'25x' — ggi x' -+- i^ox'' ■+- yâax^ -t- Six' — v.89 x" — 1072 j:^ -(-...,
en sorte qu'on aura d'abord
divisant donc tous les termes par/), et faisant le calcul par les logarithmes, comme on le voit dans la troisième case, on aura (elle nouvelle série
5 = 1-}- 0,69431 X -+- o,uioG6x^ — o,5o355:c^ — i , i';4> 7-^'
-H 0,75829:1=' H- o,89ioox'=-i- o,o3663jr' — o, 34242 x" — 0,27014^" -1-...,
par laquelle il faudra diviser le binôme 1 -f- x.
On trouve dans la cinquième case le détail de cette division, et dans
la troisième case les calculs subsidiaires qu'elle demande; et l'on voit
que le quotient est
ce qui donne
et que le reste est
— 1,22290^^ — o , 1 9402 X* -I- . . ., VL 75
de sorte que l'on aura
Continuant donc l'opération, on divisera ce reste par/)', et l'on aura la nouvelle série
par laquelle il faudra diviser la série s. La division faite comme on le voit dans la cinquième case, on aura le
quotient
« par conséquent
et ensuite on aura ce reste
0,00298^2 4- o,ooo5^^ — 0,00923^' — 0,00686 ;p^+ 0,00769x^-1- 0,01 284 x' H-...,
lequel, n'ayant que des coefficients fort petits, pourra être négligé, en sorte qu'on pourra regarder l'opération comme finie. Ainsi les valeurs résultant de la seconde série seront
Résultats déduits des valeurs précédentes.
Puisque nous n'avons eu que deux quotients dans chaque opération, on fera /i = 2, et la fraction à considérer sera 4-^' dans laquelle on aura
(^"=r I -f- : q + (^)y +{qq' ^ p' ) J^ Or, si l'on représente par i — zsy, i — py les deux facteurs simples
(lu irinome ^", on aura, coinnic l'on sail,
cj= g + q' ^ sJiq-q'Y-^p'
et la fraction 4?- se décomposera en ces deux-ci
i — rsyi — pX
en faisant
P - CT -2 [ \Jiq-q')' - 4/>' J '
Introduisons maintenant dans ces formules les valeurs trouvées cidessus, et prenons d'abord celles qui résultent de la première série. On aura donc
y — y' r= 0,18906, 108 = 9,2765997, 2iog = 8,5531994,
4,96066, 108 = 0,6955394, y log =: 0,3477697
\/iq — q')—4p'= 2,2'-7''5,
Somme 3,06675.
Donc
Différence.... 1,38775.
(le plus
log(^-^') = 9,2765997,
•ogv/(^ — g'? — ip' = 0,3477697 ,
Différence.... 8,9288800. Nombre corr.=: 0,08488, logo, 91612 =. 9,9614780, logi, 08488 = o,o3538i8,
log— = Iog35o = 2,5440680,
logF = 2,5o5546o, logG= 2,5794498.
Donc
Employons maintenant les valeurs données par la seconde série, et l'on aura
q — q' =0,22997, log = 9,3616712, 2 log = 8, 7233424,
4,9444^» log =: 0,6941206, — ^ log =: 0,3470603.
\J[q — q' Y — kp' = 2 , 22362 , q H- q' =o,84i35.
Somme 3,06497.
Donc ensuite
Différence .... i , 38227 .
57 = 0,69113, p = — I, 53248 ; log(^' — g) =9,3616712,
logy'fç — 9')^ — 4p' = 0,3470603,
Différence 9,0146109. Nombre corr. = 0,10342.
DAPHKS LES OHSER VATIONS. 597
log I , 10342 = 0,0427409.
log o , 8«)(k')8 ^= c) , f)5?.589o ,
log — = log42?. := ?. ,6253 1 0.5 ,
Donc.
log(F) = ?.,668.)534, log (G) = 2,577()oi5.
(F) :^- 465,64, ((ii--: 378,36,
Il iaudi';» lUMinlcnant subslituer ces valeurs clans les formules du u" 40, poiii en déduire celles de a, p; a, h; A, B; mnis auparavant il esl bon de remarquer, à l'égard des quantités zs et p, que les valeurs trouvées d'après les résultats de la première opération ne sont pas tout a f';nl les mêmes que celles qui résultent de la seconde opération; ce qui ne doit pas paraître surprenant, attendu que les restes que l'on a négligés comme nuls ne l'étaient pas, mais étaient seulement très-petits. On peut même observer que, comme les coeflicients numériques de ces restes n'ont de cliilTres significatifs que dans la troisième place décimale et dans les suivantes, les valeurs de t:; et p ne peuvent être exactes que jusqu'à la troisième place décimale exclusivement; aussi voil-oii que les deux valeurs de ^, ainsi que celles de p, s'accordent entre elles dans les deux premières décimales.
Nous donnerons, au reste, k zs et h p des valeurs moyennes entre celles qu'on a trouvées ci-dessus; ainsi l'on aura
tn= 0,69^50, cosa= — = 0,34625,
p ■=—!, 53292 , cos [3 =1 — = — o , 76646 :
donc
Maintenant on aura
logcot- = o, 1567916, log(F) = 2,6680534,
2 , 8248449 • Nombre corr . = 668 , i o . logtang - = 9,8432085,
logF = 2,5o5546o,
2,3487545. Nombre corr. = 223,23.
Différence. . . 444 '^7- F = 320, 3o,
785,94, log = 2,8953894.
Oiez log 444 , 87 = 2 , 648233 1 ,
o , 247 1 563 =: log tang a ;
donc
Ensuite on aura
log séc - = o , 0859736 , log F = 2,5o5546o,
Double 5,i83o392. Nombre corr. = 1 52419.
logcoséc- =0,2427650,
log(F) = 2,6680534,
Double 5,8216368. Nombre corr. = 663 188,
4A'= 815607 2A=go3, A = 45i.
D'APRÈS LliS OBSERVATIONS.
On aura de iDéme
logcot^ = 9,5606727, log(G)= 2,5779015,
2,1385742. Nombre corr. — 137,58.
logiang| z^ 0,4393273,
logG= 2,5794498,
3,0187771 . Nombre corr. = 1044, i«.
Différence... —906,60.
oyy
doiK
ensuite
Otez Iog9o6,6o = 2,9574157,
9,9222879 = log —tango
logséc^ — 0,4662956,
logG= 2,5794498, 3 , 0457454 ,
^^"^'^ 6,0914908. Nombre corr. = 1234500.
log cosec i- = o , 0269682 ,
logG= 2,5779015, 2 , 6048697 .
^o"^'^ 5,2097394. Nombre corr. = 162084.
2B=Il82, B=r59î.
Connaissant donc les angles a, h; a, jS, et les coefficients A, B, on aura, pour le terme général de la série proposée, l'expression
A s\n(a + mx) + B sin(6 -h /nj3),
où m est la distance d'un terme quelconque au terme 77'i. qu'on a pris pour T, c'est-à-dire, le quantième à compter depuis ce même terme.
Exemple II.
42. Je reprendrai la série de l'Exemple précédent, et je la traiterai suivant la seconde méthode du n° 40, afin que l'on ait en même temps un exemple de l'usage de cette méthode et une confirmation de sa bonté par la comparaison de ses résultats avec ceux de la première mélhode; mais je n'entrerai pas dans le détail des opérations et des calculs qu'il faut faire, parce qu'on le trouve dans les deux Tableaux ci-joints.
La première case contient les termes de la série proposée écrits deux fois les uns au-dessous des autres, pour pouvoir en prendre aisément les sommes et les différences, et en former les deux séries
Ensuite la quatrième case contient le Tableau des opérations qu'on doit faire sur la première de ces deux séries, et la deuxième case contient tous les calculs subsidiaires que ces opérations demandent.
On s'est arrêté ici, comme dans l'Exemple précédent, après la seconde division, parce que le second reste n'a que des coefficients numériques très-petits, qu'on peut par conséquent négliger sans erreur sensible.
Les résultats des opérations faites sur la première série sont donc
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