G32 LETTRE DE LAGRANGE A LAPLACE, ETC

stantes, pendant que les quantités r et u varient de dr et du-, car, comme

^1— = I — esini sinw — e cosi cosm, Mr

il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle,

en ne faisant varier que les deux quantités esinI, ecosi; c'est-a-dire,

que

s\\\u.d{e sini) + cos u.d{e cosI) = o;

mais

d{e sinl) =^ ~ Q du cos u, el d{e cosI) =: Çl du s'inu,

donc, etc. Je fais donc

;c=:esinl, j=ecosI;

-;-— z=i \ — X sm u — r cos u,

et ensuite j'ai, en différentiant, les équations

dx =: — Q cosudu, df = Q sin u du ;

si l'on substitue, dans ces équations et dans les autres semblables, les valeurs de r et de w en x, y et t, et que l'on ne conserve que les termes où 3c,y, x', y\... seront linéaires et multipliés par des coefficients constants, on aura les équations cherchées; il faut seulement avoir soin de ne pas rejeter, dans la quantité Q , les termes de la forme

Ixsmudu, j X cos u du, 1 y sin u du, j y cosudu,

et les autres semblables; car ces termes, étant transformés en

X cos u -h j dx cos M, . . . , produiront, dans les équations différentielles,

des termes de la forme demandée; à l'égard des quantités j dxcosu,...,

on pourra les négliger entièrement, parce que dx est déjà très-petit de l'ordre des masses des planètes perturbatrices.