v^2"= 18'<n',4 environ

La vitesse minimum que puisse avoir cet objet par rapport à la planète répond au cas où le périhélie de la masse cométaire supposée directe est sur l'orbite même de Jupiter ; alors les vitesses se retranchent et l'on a pour la vitesse relative :

18km 4^ 13km =, 5km 4

Ce nombre 5 km. 4 est déjà sensiblement plus grand que le minimum 2,8 nécessaire pour avoir une courbe fermée; mais il augmente encore aux approches de Jupiter du fait de l'attraction de la planète elle-même.

18 — Cosmogonie.

Calculons cet accroissement à partir du point où la petite masse entre dans la sphère d action de Jupiter. Le rayon de cette sphère est environ le double de celui du dernier satellite ; désignons-le par r et appelons v la vitesse de pénétration dans la sphère; y = 5 km. 4.

La théorie du mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance fournit Téquation suivante :

(y' est la vitesse gagnée à la distance r').

Aux distances r et r , les vitesses du mouvement circulaire u et u sont liées par la relation :

j^ — lL

et l'on a :

l'équation (41) devient donc:

A la distance du dernier satellite,

et il vient

ou

II — 9km • ^

Cette vitesse de o km. 7 est plus du double de celle du dernier satellite (2 km.) et bien supérieure, en fait, au minimum 2 km. 8, nécessaire pour avoir une courbe fermée.

La théorie de la capture , on le voit , est tout aussi insuffisante pour expliquer les satellites rétrogrades que pour justifier la présence des comètes dans notre système.

Ainsi, le calcul montre nettement que les satellites rétrogrades ne proviennent ni d'Univers extérieurs, ni même d'amas venus des confins de notre système, à la façon des comètes.

Fig. 10 i moulraul que les vitesses de translation de deux amas a cl b relativement au centre de gravité P d'une planète, sont dénature à amener une rotation rétrograde. Le Soleil est du coté de S.

103. IiupossiI)ililc de la capture directe même pour un amas intérieur. — Toutefois, il nous faut envisager une seconde hypothèse plus plausible en apparence que la précédente : Au moment de la formation des planètes, les globes ou les lentilles planétaires ont dû circuler longtemps dans un milieu dont la résistance n'était pas nulle. L'aire équatoriale de la nébuleuse était donc loin dètre vide et de nombreux amas y circulaient pour leur propre compte à toutes les distances ; certains d'entre eux décrivaient donc des orbites très voisines de celles des planètes. On peut, dès lors, se demander si des météores de ce genre circulant sur des oi'bites voisines de celle de la planète, donc animées de vitesses peu différentes, n'auraient pas pu être captés au voisinage de leur conjonction (fig. 104).

L'explication ne serait pas d ailleurs absolument nouvelle ; ce serait une réédition de la théorie que Fave appliquait aux anneaux qui, dans sa pensée, avaient donné naissance aux circulations rétrogrades des systèmes d'Uranus et de Neptune; seulement, ici, elle ne serait applicable qu'aux satellites extérieurs.

A priori, l'hypothèse est loin d'être absurde; mais c'est au calcul, en dernière analyse, à décider de sa valeur. F*osons donc nettement le problème à résoudre. Afin de ne pas opérer sur des généralités, nous allons envisager de nouveau l'exemple de Jupiter et de son dernier satellite.

IM Fiff. 105.

Énoncé du prohlème. — Étant donné le Soleil M et Jupiter .1, quelle sera l'action de Jupiter sur un amas m circulant suivant les lois de Kepler autour du Soleil, à une faible distance de J (fig. iOo).

Précisons maintenant quelques données.

La vitesse orbitale de la Terre à la distance 1 'unité astron.) = 29km^74o; on a donc :

(l-oLi /M =29,745 2 = 885

5 Au n" 4.S, nous avons déjà employé ce même nombre à unité près, soit 886 en forçant les décimales. Cet écart dune unité est insignifiant et n intluc pas sensiblement sur les résultats.

La distance JM de Jupiter au Soleil étant égale à 5,2 unités astronomiques, la vitesse orbitale de Jupiter est de 13k.n,046.

Considérons une particule ni' dont l'orbite de rayon 5,0 tangente celle du dernier satellite de Jupiter, éloigné de 30 millions de kilomètres de la planète, soit de 0,2 unités astronomiques, la vitesse sur cette orbite sera de 13l''",302.

La vitesse parabolique pour Jupiter à la distance 0,2 est égale à 2i^m,y30; d'où

'2fni 2fm ^ d ~~ 0,2

d"(.ii /■/»=0,1 X (2,930)2 = 0,858.

Fia-. 106.

Maintenant, considérons m' à la distance 1,5 de J et parcourant le cercle de rayon 5,0 (fig. 106). L'accélération F, due à M (Soleil), est :

L'accélération y, due à Jupiter, est :

Cette dernière est donc près de 100 fois plus faible que F.

On peut dès lors admettre que, en m', l'action de Jupiter est négligeable et que la vitesse orbitale de m' n'est pas altérée ; elle reste sensiblement égale à celle qui correspond à sa distance au Soleil: cette vitesse v' en m' sera donc encore égale à 13km, 302, celles de J étant 13''nij046 (ces deux valeurs ont été données plus haut).

A ce moment m' , qui possède la vitesse v', est soumis aux accélérations r et j. Si l'on veut exprimer son mouvement par rapport à J , on doit encore l'affecter de la vitesse v et de l'accélération v (vitesse et accélération de J prises en sens contraire).

La composante de v et v' et celle de F, v et j sont variables en grandeur et en direction quand m' se déplace en allant vers Jupiter; mais si l'on remarque que F et v s'annulent sensiblement et que v et v' sont presque parallèles, on peut dire, — en première approximation. — que m' se déplace comme s'il possédait la vitesse v — v = O'n,2o6 = w et comme s'il était soumis à la seule accélération J.

Dans ces conditions, in' décrit une conique de foyer J.

Cherchons quelle sera la vitesse ic' de m' à son passage en conjonction à la distance 0,2 de Jupiter f c'est-à-dire quand il passe entre Jupiter et le Soleil).

On sait que la vitesse sur la conique ne dépend que de la distance à la masse attirante ; elle est donnée par la formule (41), qui devient :

(43) n'-^-,r^ = '2jrij,,

Si, d'après nos résultats antérieurs et nos données, nous faisons

ir = 0,256, /"m =0,858, r=l,5, r' = 0,2, il viendra tinaleuient :

iv"-^ 7'^"',r)06 ; d'où

Or, nous avons vu que la vitesse parabolique à la distance 0,2- de Jupiter est 2i^"i,920 ; il semble donc a priori que la coni([ue est une ellipse et que m' sera nécessairement captée.

Eh bien! nous allons voir qu il n'en est pas du tout ainsi.

Au moment, en etîet, où m' passe en conjonction à la vitesse iv' , l'amas est toujours soumis aux accélérations F, -,' et y, qui sont devenues parallèles.

Or,

r = 35,5 (voir plus haut), . fm 01''

J — Jojj'^' — '^^''^'^'

d'où l'accélération résultante dans le sens de J :

En posant

J ~ (0,2)'^ ' on trouve

On voit que m en conjonction est soumis à l'action de la niasse fictive m, située en J et que la vitesse parabolique correspondante est donnée par

doù

Gomme nous avions trouvé pour w une valeur de 21''n,740, on voit de nouveau que l'amas possède une vitesse très légèrement supérieure à la vitesse parabolique (21^m,739), en tout cas de Tordre de cette dernière, et nous pouvons conclure qu'il n'est pas capté.

Mais nous allons voir maintenant que cette vitesse calculée de 21^11,740 n"est quun minimum.

EJn effet (v. la %. 106) :

1° w est plus grand que 0k'i,2o6, car v et v ne sont pas rigoureusement parallèles ;

2° la composante de F et y est tournée vers j et augmente la valeur de j ;

3° comme ni est attiré par J et s'en rapproche, le rayon Mm' va sans cesse en croissant; si nous admettons qu'il a la valeur de S,0 en conjonction, il devait avoir une valeur moindre à sa position initiale, en m'/ donc on a :

d'où IV doit être encore majoré.

En résumé, nous pouvons conclure que tout amas circulant entre les distances o,0 et 3,4, c'est-à-dire à 0,2 de Jupiter, en deçà et au delà, n'a pu être capté par la planète, tout au moins d'une manière directe.

104. La capture indirecte est possible. — Mais la solution de notre problème nous met sur la voie de la véritable explication de la formation des satellites.

Admettons, en effet, que les amas représentant le système jovien (planète et satellites) aient été diffusés à l'origine dans un ellipsoïde très aplati et dont le rayon s'éten-

dait jusqu'à 0.2 unités astronomiques pour le moins, soit à plus de 30 millions de kilomètres', tous les amas circulant autour du Soleil sur des orbites dont le demi-grand axe était compris entre 5,0 et o,4 possédaient bien, en fait, aux approches de leur conjonction, des vitesses paraboliques; mais tous ont dû venir se heurter au milieu dont la densité croissait en approchant de Jupiter.

Des chocs, fort nombreux, dut résulter une perte de vitesse, doù précipitation incessante vers le centre de gravité de l'ellipsoïde et tendance à un entraînement dans le sens rétrograde. C'est dans cette dernière particularité qu'il faut chercher tout le mécanisme de la formation des satellites et des circonstances qui ont accompagné l'évolution des globes planétaires.

Avant, toutefois, d'exposer les lignes générales de ce mécanisme, il y a lieu de faire une remarque très importante sur les vitesses orbitales des amas circulant h des distances croissantes de la masse centrale.

105. Considérations sur In viiloiw dos vitesses orbitales en fonction île In distnnce nu Soleil. — Les calculs précédents s'appliqueraient tout aussi bien au satellite rétrograde de Saturne; gardons-nous cependant de conclure que toutes les planètes ont exercé sur les amas circulant dans leur voisinage une influence identique à des distances égales. Cette action a été, dès l'origine, soumise à des variations incessantes et, même à un instant donné, fut toujours fonction d une quantité de facteurs.

Les masses sont d'abord intervenues; or, celles-ci sont réparties très inégalement : Mercure est un pygmée à côté de Jupiter. L'attraction dune planète sur un amas voisin a toujours été contrebalancée par l'action solaire ; mais cette

' Ces 30 millions de kilomètres représentent à peu près la distance du satellite le plus éloigné de Jupiter; or, d'une part, cette distance offre encore quelque incertitude, et, d'autre part, il est évident qu'au début, l'ellipsoïde jovien s'étendait plus loin que le dernier satellite. Celui-ci ne s'est en effet détaché qu'au cours de la condensation commencée depuis long'temps.

dernière est liée à réloignement et la marée due au Soleil a diminué comme le cube de la distance : presque nulle pour les planètes lointaines, tels Uranus et Neptune, la marée solaire a dû atteindre de fortes intensités pour les planètes inférieures; dès le début, elle a donc dû s'opposer à la naissance de satellites autour de Mercure et de Vénus. Le rayon d'action de la planète, fonction lui-même des intervalles et des masses planétaires, variable d'ailleurs comme les distances au cours de la condensation, a dû aussi intervenir.

Bref, à la réflexion, il se présente une telle multiplicité de facteurs que nous entrevoyons clairement l'impossibilité, faute de données suffisantes, de soumettre le problème à des calculs précis.

Tout en nous contentant de généralités, nous avons le loisir cependant de scruter plus à fond certains côtés de la question , ceux que la Mécanique , par exemple , nous permet d'approfondir, et c'est ainsi que l'examen de la loi qui régit les vitesses orbitales dans le système solaire ma conduit à quelques conclusions fort intéressantes pour le sujet qui nous occupe.

Nous avons vu (n" 26) que le carré de la vitesse d'une masse circulant autour du Soleil varie comme l'inverse de la distance et répond à la formule

Pour des distances /', 2r, 3r, etc., v- aura pour valeur successives :

r ' 2r ' 3r ' 4r ' or

, etc..

et si r est pris pour unité, la série précédente deviendra simplement :

Or, parmi les propriétés bien connues de celte série, qui est appelée en Arithmétique série harmonique, se trouve lelle-ci grosse de conséquences : c'est que les différences entre chaque terme vont en décroissant, à partir du premier, et tendent très vite vers des ([uantités infiniment petites. (Uiaque différence entre deux termes consécutifs est donnée, en effet, par une fraction dont le numérateur ert toujours 1, tandis que le dénominateur est constitué par le produit des dénominateurs des deux termes qui se suivent.

Nous avons donc fmalement :

Série harmonique : 1,

Dilïérence>

En d'autres termes, nous voyons que, pour des variations égales de distance, les variations du carré des vitesses décroissent très vite à mesure que la distance augmente. Il doit en être de même pour les variations des vitesses.

Quelques exemples numériques vont illustrer ces résultats.

Prenons deux masses éloignées entre elles de 0,2 unités astronomiques et transportons-les successivement aux distances 1, 1,2, puis aux distances 16 et 16,2 et enfin 30 et 30,2 unités astronomiques; nous allons voir les différences de vitesse orbitale diminuer rapidement.

^our r^l nous avons r = — ou 1,000

,=1,2 — v = —l=r ou 0,912

Vl,2

Différence 0,088

Pour t'=16 nous aurons v^ — ou 0,250 i

Vit)

— z;=16,2 — 7,= ^ ou 0,248

Diirérence 0,002

Pour r = 30 nous aurons r = — :^^ ou 0,1825

— r = 30,2 — ?j= , ^ ou 0.1818

Différence 0,0007

Ainsi, les différences de vitesses vers une unité astronomique sont de l'ordre du centième; vers 16 unités, elles sont de l'ordre du millième, et enfin de l'ordre du dix- millième à 30 unités.

Ce résultat peut être démontré aussi simplement par l'Ana- Ivse. Soit la formule :

ou

Par

différentiation ,

nous

avons dr

dr

2)Jr .r 2\'r

d'où

— dv = =^ .

Nous pouvons constater que l'accroissement Ar restant positif, Au, celui de la vitesse, est négatif.

On voit immédiatement que, pour r-|-Ar, la vitesse devient

expression dont le deuxième terme tend vers zéro à mesure que r augmente ; ce qui prouve bien que les variations de la vitesse orbitale sont d'autant plus faibles que la distance r est plus grande'.

C est d ailleurs ce qu'indique très nettement la courbe figurant ces vitesses en fonction de la distance à la masse centrale : on peut voir en effet que la branche inférieure ne rejoint l'abscisse que très lentement à partir d'une certaine distance du centre et qu'alors les différences entre les ordonnées tendent très vite vers zéro (fig. 107).

Cette loi des différences des vitesses orbitales est extrêmement importante et nous aurons bientôt l'occasion d'en montrer les conséquences.

Voici, à titre de documentation, les vitesses orbitales de chaque planète à sa distance moyenne; les valeurs sont données en kilomètres par seconde.

* Voici une autre démonstration à la fois plus simple et aussi rigoureuse peut-être. Nous avons vu que les variations des carrés des vitesses, d'après la série harmonique, décroissent très vite et tendent rapidement vers zéro ; nous pouvons donc écrire :

l'j et V.2 étant les valeurs de v correspondant à deux valeurs très voisines de r, soit r^ et r.^ et t étant une quantité variable infiniment petite.

Mais nous remarquons que le premier membre de l'égalité ci-dessus peut s'écrire encore :

d'où Ion a :

et comme v est toujours positif, on voit que la variation des vitesses est encore plus faible que celle des carrés de ces mêmes vitesses ; c'est dire qu'elle tend rapidement vers zéro.