CHAPITRE XXYIII

SUITE

274. Expliquons maintenant comment la doctrine de l'identité s'applique, en général , à tous les raisonnements, qu'ils soient ou ne soient point mathématiques. Pour cela, nous allons analyser quelquesunes des formes dialectiques dans lesquelles se trouve formulé l'art de raisonner.

Tout B est C, or M est B, donc M est C. La majeure de ce syllogisme nous montre B identique à C, la mineure M identique à B, d'où nous concluons que M est identique à D. Affirmation d'identité dans les trois propositions, et partant, perception d'identité ; voyons ce qui se passe dans l'enchaînement des termes, enchaînement qui constitue la force du syllogisme.

M est G, parce qu'il est B, et que tout B est G. M est

218 LITRB I. — DB LÀ CBRTITUDB.

an des B compris dans cette expression, tout B ; ainsi lorsqae je dis M est B, je n^avance rien qui n'ait été dit. Si les deox expressions diffèrent, c'est que dans la proposition tout B je n'apercevais pas un des contenus M, duquel toutefois j'affirmais qu'il était C, en disant tout B est C. Si dans l'expression tout B j*aTais Yu distinctement M , le syllogisme devenait inutile, car dans la proposition tout B est G, j'aurais compris celle-ci : M est G.

Voilà pourquoi, lorsqu'il s'agit d'énoncer des rapports parfaitement clairs, on remplace le syllogisme par l'enthymème. L'enthymème est un syllogisme abrégé ; mais cette abréviation est autre chose qu'une économie de mots, à savoir, une économie (aidées; l'entendement voit, par intuition, une chose dans l'autre, sans recourir à l'analyse : « Il est homme, donc il est raisonnable. » Je supprime la majeure, je ne \di pense même point, parce que dans l'idée homme, dans l'individualisation de cette idée, j'aperçois intuitivement l'idée raisonnable sans gradation ni succession.

Il s'agit, par exemple, de démontrer que le périmètre d'un polygone inscrit est plus petit que la circonférence du cercle, et Ton raisonne ainsi :

Tout ensemble de lignes droites inscrites dans leurs courbes respectives est plus petit que l'ensemble de ces mêmes courbes • or le périmètre d'un polygone est un ensemble de lignes droites, et la circonférence un ensemble d'arcs et de courbes, donc le périmètre inscrit est plus petit que la circonférence,

le le demande : savoir que Teasemble des lignes

CHAPITBB XXYUt. — SmTI 01 l'iBlHTITÉ. 219

droites est plus petit que l'ensemble des coarbes, on que le périmètre est plus petit que la circonférence, n'est-ce point, sauf la différence des termes, une même chose? Pourquoi donc rappeler le principe général? que peut-il ajouter à Tidée particulière? Est-il rien de plus clair que ces propositions : le périmètre du polygone est un ensemble de droites; la circonférence est un ensemble d'arcs ou de courbes?

Il est yrai, ce principe n'ajoute rien à Fidée particulière, mais il éveille l'attention, il l'appelle sur une phase de cette idée, et la force, pour ainsi dire, à y découvrir, à l'aide de la réflexion, ce qu'elle n'avait point su voir. La certitude de la conclusion est indépendante du principe général. Il suffirait de tenir compte des rapports de supériorité ou d'infériorité des lignes droites du périmètre et des arcs dont l'ensemble forme la circonférence pour arriver au même résultat.

Cet exemple confirme ce que nous avons avancé^ que l'enthymème n'est pas une simple abréviation de mots; il explique l'emploi de cette forme logique dans les questions qui nous sont familières.^ Nous voyons la conséquence dans chacune des prémisses; qu'avons^nous besoin de les exprimer toutes deux?

Le commençant dira : L'arc est plus grand que sa corde, parce qu'une courbe est plus longue qu une droite; familiarisé avec les idées géométriques, il lui suffira de dire : L'arc est plus grand que la corde. Si l'arc est plus grand que la corde, ce n'est point parce que toute courbe est plus grande que la droite correspondante ; ridée abstraite courbe pourrait ne pas ezis*

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ter; Tualque courbe pensée pourrait être la courbe particulière, arc de cercle; Tidée abstraite, ligne droite, n'existerait point, Tunique ligne iroiie pensée pourrait être la corde, qu'il serait encore vrai, comme il est vrai maintenant, que Tare est plus grand que la corde.

278. Lorsqu'il s'agit des rapports nécessaires des objets, les principes généraux, les termes moyens, tous les auxiliaires que la dialectique met au service du raisonnement, ne sont, au fond, que des inventions de l'art, pour nous amener à réfléchir sur l'idée. Il suit de là que nos jugements sur cette sorte d'objets sont en quelque sorte analytiques. Kant affirme qu'il est des jugements synthétiques en dehors de l'expérience. C'est une erreur. Nous pouvons, abstraction faite de l'expérience, posséder Tidée de la chose, mais rien au delà. Je suis loin de prétendre, cependant, que dans toute proposition le rapport entre l'attribut et le sujet soit tel , que l'idée de Tun nous donne toujours Tidée de l'autre; je soutiens seulement que s'il n'en est point ainsi, c'est que l'idée est incomplète, ou par elle-même, ou par rapport à notre manière de la comprendre. Que si l'on supposait Tidée complète par elle-même, et notre entendement en état de saisir ce qu'elle contient, nous trouverions dans Tidée tout ce qui peut être objet de science.

276. Un exemple que j'emprunte aux mathématiques va rendre ma proposition facile à saisir. On connaît les propriétés nombreuses du triangle; TexpUcation, la démonstration, les applications de cette

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figare remplissent les traités de géométrie. Or, dans ridée du triangle entrent les idées de lignes droites, et les idées d'angles formés par ces droites. Je le demande : les explications, les démonstrations des • propriétés du triangle, en général, sortent-elles jamais de ces idées? Non , car les éléments nouveaux que Ton y pourrait introduire leur seraient étrangers et changeraient leur nature. Les rapports nécessaires ne comportent ni plus ni moins; on n*y peut rien ajouter, rien retrancher. Us sont ou ne sont point. Lorsqu*on passe du triangle en général à ses diverses espèces, au triangle équilatéral, isocèle, rectangulaire, etc., la démonstration se renferme et doit se renfermer rigoureusement dans ce que contient Tidée générale, modifiée par la propriété déterminante de Tespèce, à savoir : Tégalité de deux, de trois côtés, rinégalité de tous les côtés, etc.

277. Cette vérité devient plus évidente encore dans Fapplication de Talgèbre à la géométrie. On exprime une courbe par une formule qui contient ridée même de la courbe^ c'est-à-dire son essence. Pour démontrer les propriétés de la courbe, le géomètre ne sort point de la formule; elle est dans sa iiain comme une pierre de touche ; il y trouve tout ce dont il a besoin. S'il trace des triangles ou d'autres figures dans l'intérieur de la courbe , s'il tire des droites dont les extrémités soient placées hors de la courbe, il ne sort jamais, du moins, de l'idée contenue dans la formule ; il ne fait que la décomposer pour y découvrir ce qu'il n'avait pas découvert.

! 22 LITRE ï. — DE lA CERTITUDV.

Cette équation : Z^ = = (2 Ear — x^)^ n'est antre

chose que Texpression des rapports constitutifs de Tellipse ; la lettre E exprimant le demi-diamètre majeur, e le demi-diamètre mineur, Z les ordonnées et X les abscisses. Développée, transformée de diverses manières, elle sert à déterminer les propriétés de la courbe, en montrant, à Taide des constructions, que la nouvelle propriété se trouve contenue dans l'idée môme, et qu'il suffit de l'analyser pour l'y découvrir. Supposons une intelligence assez étendue pour concevoir l'essence de la ligne courbe par une intui- .tion immédiate de la loi qui préside à l'inflexion des points; cette intelligence n'aura pas besoin de suivre les évolutions que nous avons suivies. Elle verra sans hésitation, dans l'idée même de la figure, toutes les propriétés qu'elle contient. Cette supposition n'est pas entièrement arbitraire. Un géomètre quelconque peut concevoir, comme Pascal, l'idée d'une courbe; mais ce géomètre n'atteint que par de longs efforts les propriétés les plus communes de cette figure. D'un seul coup d'oeil, Pascal saisit les plus cachées. Pour n'avoir tenu compte de cette vérité, Kant n'a pas sa comprendre le problème des jugements synthétiques purs ; en approfondissant la question , il aurait vu qu'à la rigueur il n'existe point de jugement de ce genre. Au lieu d'épuiser son génie à résoudre un problème insoluble, il se serait abstenu de le poser.

CHAT. XXa. — KAHT. — JOnmirT BTRTHtTIQUX. 223