DES CAUSTIQUES

« Soit P ( fig. 102 un point lumineux , ÀB une surface plane ou plutôt l'interseC' tion de cette surface par un plan qui lui est perpendiculaire et qui est mené par P ; supposons que le milieu au-dessous de AB, soit plus dense que celui qui est audessus : si on conçoit au point d'incidence I du ravon incident PI, une perpendiculaire KH a AB , et que IB. soit le rayon réfracté ) si l’on pose l’angle

d'incidence PIH = i et l'angle de réfraction RIK = r, on sait que le rapport

sin. i

est constant. Si Bon cherche la courbe FG à laquelle les rayons réfractés IR sont continueEement tangens , pour toutes les incidences PI , cette courbe sera ce qu'on appelle une caustique : on voit qu’elle est formée par les intersectior.3 continuelles des rayons réfractés correspondans à la suite de rayons incidens infiniment rapprochés. La caustique variera suivant la nature du milieu dans lequel se trouve 1c- point lumineux et suivant la distance de ce point à la surface de séparation : elle est formée des deux branches symétriques FG c-t FE qui ont en F un point de rebroussement, et qui touchent en G et E la ligne de séparation des milieux. Ou conçoit facilement que si l'on fait tourner la ficure autour de Taxe IlV mené par P perpendiculairement à AB, la caustique FG engendrera une surface caustique. Si l'on conçoit les dcnx autres branches GD et DE absolument symétriques avec GF et FE, on démontre que FGDE est la développée d'une ellipse. Ces notions posées, nous allons passer à quelques conséquences remarquables. i.° Un œil placé sur la verticale P Y' , audessus de F , voit en F 1 image du point lumineux P. En posant la distance

PC = a , si l’œil O est dans l'air, et suivant que l’objet P sera dans l'eau ou dans

le verre, on aura CF = -a ou CF z=z f a : d’où PF = JL a , ou PF = 1 a ; si

Fœil est dans l’eau et l'objet dans le verre , ce rapprochement sera seulement = |û. 2.0 L’œil O’ voit l’objet P au point t où la tangente à la caustique, menée par 0', touche cette courbe : ce point P est toujours vu en t , quelque soit la position de l'œil 0 sur le ravon rétracté IR. 3.° L'œil en 0' voit l’objet P en G où la tangente par O’ touche la caustique. Lorsque les rayons lumineux passent d’un milieu moins réfringent ou moins dense, dans un milieu plus réfringent, à travers une surface plane, la caustique a la forme indiquée

36o HUITIÈME SEUT10Ù.

(fig. io3) ; c'ce t la développée d’une hyperbole. Lorsque l’œil ost en O*, il voit l’objet P en t où le prolongement du rayon réfracté RI, touche une des branches de la caustique. Il se présente ici la question de savoir A quel rayon incident répond chaque point de la caustique : on conçoit, en effet , que cette courbe (fig. 102 et io3) étant formée par les intersections successives des rayons réfractés, et chaque rayon réfracté répondant à un rayon incident, chaque point de la caustique répondra à un rayon incident déterminé. O11 a recherché aussi si les diverses portions de la caustique sont également éclairées , et on a trouvé que le point de rebroussement Fest le plus éclairé. Dans le second cas, c’est-à-dire, lorsque les rayons passent d’un milieu moins dense dans un plus dense , comme la caustique s’étend indéfiniment dans le sens de l’axe des .v, ou dansjle'sens AB ( fig . io3), on en conclut que, quelle que soit l’incidence, les rayons se réfractent toujours, ce qui n’a pas lieu dans l’hypothèse contraire (fig. 102). Nous ne uous arrêterons pas au cas où les rayons traversent une lame épaisse plus réfringente que l’air ambiant, et où ils subissent alors deux réfractions. Comme l'examen détaillé et approfondi des applications que la théorie des caustiques fournit à la Dioptrique et à la Catoptrique, quand la surface réfringente est sphérique, ferait à lui seul la matière d’un traité fort étendu, nous nous bornerons à de simples indications. Si, pour simplifier , on ne considère que l’intersection de la sphère par le plan mené par le point lumineux et le centre , la caustique par réfraction sera encore la courbe touchée par la suite des rayons réfractés, et la caustique par réflexion sera la courbe touchée par les rayons réfléchis. Soit P (fig. io4)le point lumineux extérieur à la surface, PI un rayon incident prolongé vers N, C le centre de la surface , et conséquemment CK la normale en I : si le milieu dans lequel se trouve le point radieux P, est le moins dense , le rayon réfracté IR tombera au-dessous de IN, parce qu’on doit avoir l’angle RIC de réfraction plus petit que l’angle d’incidence NIC. Si l’on suppose un autre rayon incident PP, infiniment voisin de PI, le réfracté PR coupera IR en un point R qui sera à la caustique de réfraction. En posant PI ~q , IR = q\ cord. U =z 2 b1 , cord. IN— 2b ,

sin. i nb'3q

IM — b , IM' = b n — - , on trouve q’ = — fi , formule qui

sin. r q ( nb ’ — b) — b 3 1

fait connaître ^r,?cluari^ les autres quantités sont données. Si l’on veut dire que le

point lumineux P est intérieur à la sphère et que le3 rayons passent d’un milieu

plus dense dans un milieu qui l’est moins, on changera q en — q, et on remplacera

n par — . Ainsi, pour le cas où les rayons incidem tombent sur la concavité de n

la surface1, on aura la formule q’ ~ — — Giangeant dans cette

q (b1 — bn) fi b2n

dernière n en — , on aura le cas où les rayons incidens rencontrent encore la n

concavité, mais en passant d’un milieu moins dense dans un qui l’est davantage.

Dans le cas de la réflexion, et en supposant le point lumineux intérieur à la sphère, en P (fig. io5 ) on fait n — — i dans la dernière formule qui devient b'2q bq

q' — — — — — = r, à cause de b’ = b , comme on le démontre :

d’où l’on déduit — = — | , formule qui donne la longueur qr — IR du ravont

réfléchi depuis le point I jusqu’au point de contact R avec la caustique , lorsqu’on

connaît la longueur q — PI du rayon incident, et celle de la corde IN = 2 b.

Dans le cas ou le rayon tombe sur la convexité , on a- — quiestlafor-

mule pour le miroir convexe. Ces deux formules peuvent servir dans tous les cas à déterminer le rayon réfléchi , lorsqu’on connaît le cercle osculateur à une courbe au point d’incidence.

Si l’on suppose (fig. 106) que les rayons incidens soient parallèles et que la surface de séparation soit de verre , les rayons qui tombent en a , b , c, d seront réfractés , en faisant le sinus d’incidence au sinus de réfraction dans le rapport 2*3. ces rayons détermineront dans l’air une caustique dont F sera le point de rebroussement. Si le point lumineux L est situé à une distance finie, les rayons réfractés convergeront moins que dans le cas précédent , de sorte que le point de rebroussement de la caustique , s’éloignera , et cela d’autant plus que le point L se rapprochera davantage de la surface réfringente. Le point L arrivant vers le foyer des rayons parallèles qui viendraient de l’air , les branches de caustique commenceront à se séparer. Le point lumineux se rapprochant encore, les branches de la caustique se porteront tout-à-fait sur les côtés (fig. 107) : mais alors les rayons intermédiaires devenus divergens , détermineront une caustique dans le milieu le plus réfringent, au-delà du point lumineux. On peut examiner , en suivant les constructions graphiques, ce qui arrive suivant que le point lumineux est plus ou moins éloigné de la surface que le centre même de cette surface : lorsqu’il se trouve à ce centre, aucun des rayons n’est réfracté. On peut, par une expérience fort simple , reconnaître une partie de ces résultats : il suffit de prendre un verre rempli d’eau, de le placer sur une table, et de disposer une bougie derrière ; lorsque cette bougie sera très-éloignée, on verra une caustique lumineuse très-courte; elle s’allongera à mesure qu’on rapprochera la bougie,

1 et, en la rapprochant encore, on les verra se porter sur les côtés. On peut examiner le cas où le point lumineux est dans le milieu le moins réfringent, et passer de là aux images d’un corps vu par réfraction.

Ces courbes sont devenues célèbres par les travaux des géomètres depuis T schirnhause n eu 1682, jusqu’à ces derniers temps. ( Voyez. Corres. Math, et Phys.)