ÉPOQUES

NOMBRE

POPULATION POUR

IRAIMAJICS 4 tâCÈê. f ■AUâCB.

Angleterre

Angleterre et pays de Galles.

Ecosse

Irlande (i).

Autriche .

Bavière. .

Belgique .

Danemark .

Espagne

France . .

Italie . .

Pa}s-Ba8 .

Prusse . .

Suède . .

Moyenne générale

Naiimum

Minimum. . . '

(4) L*Irlaade ponmit être ëcsrtée da ublean précédent : ce malheareax payi ■ perdu beauooap de •a population pendant ces dernières années; les rapports ponr 1864 à 1808 poamtent être écafté*. conune nons l'avons fait dans le tableau de la pafc 816. Les rapports de la population aux naiuaaee», aux décès et aux mariages s<nit estimés d'après on renseignement sur la population constatée avant l'époque de son décroissement rapide, comoM on peut le voir à la page tS8, qui indique une population d'abord croissante de I8t0 à 4840, et qui passe ensuite à un décroisseroeol de 1840 à 1860, en passant de 8,475,184 Ames a 5,798,788.

Théorie des ohanoes et des probabUitte statUttlams,

Avant de nous livrer à des recherches sur la manière de procéder dans les sciences d'observation et dans la statistique en particulier, il sera prudent de rappeler sommairement les principes de la théorie des probabilités.

l^Le nombre des c?uince$ est connu.

Lorsque différents cas peuvent donner naissance à un événement, on les nomme les c?iances de cet événement. Ainsi, le tirage d'une carte dans un Jen ordinaire présente trente -deux chances, puisque i*on peut prendre indifféremment l'une des trente-deux cartes dont le Jeu se compose.

Quand la nature de l'événement qu'on espère est désignée, il existe deux espèces de chances, les unes favorables et les autres contraires à l'événement espéré. Ainsi, celui qui désirerait prendre une figure dans un Jeu de trente -deux cartes aurait douze chances pour lui; et vingt chances lui seraient contraires.

Si toutes les chances sont favorables, leur ensemble constitue la certitude.

Si quelques chances sont contraires à l'arrivée de l'événement, on dit d'one manière absolue que cet événement eat probable, et qu'il est possible seulement ou peu probable, quand le nombre des chances contraires surpasse le nombre des chances favorables.

On conçoit que tous les événements ne sont pas également probables. On estime la probabilité mathématique en divisant le nombre des chances favorables à r événement, par le nombre total des c?uinces. D'après ce principe, le tirage d'une figure dans un Jeu de trente -deux cartes aurait pour probabilité la fraction f J ; on a, en effet, douze chances favoi*ables sur un nombre total de trente-deux chances.

La probabilité contraire & l'événement attendu s'estime de la même manière ; c'est-à-dire, en divisant le nombre des chances défavorables par le.Dombre total des chances. Ainsi, dans l'exemple précédent, la probabilité contraire A l'événement attendu est JJ.

En général, chaque événement incertain donne lien A deux probabilités opposées, savoir : celle que cet événement arrivera, et celle qu'il n'arrivera pas : la somme de ces deuw probabilités doit être égale à Vunité. L'unité devient ainsi le symbole de la certitude.

L'application de la théorie des probabilités ne présenterait guère de difficultés, si l'on pouvait toijgours énumérer les diverses chances possibles, et si tontes les chances étaient rigoureusement les mêmes. Mais il n'en est pis ainsi; et, dins certains cas, il faut beaucoup de sagacité pour ne pas commettre des erreurs graves dans ces sortes d'appréciations. De tous les jeux, le plus simple est sans contredit celui de pile ou croix, puisqu'il n'y a que deux chances possibles, et que la pièce doit tomber nécessairement sur l'une ou l'autre de ses deux faces. La probabilité de chacun des deux

éTéneme&ts est donc J. Gependaat si la pièce n'était pas homogène, n elle était constroite de manière à tomber plu facilement sur one Cace qne lor l'autre, il est évident qne les deux probabilités ne pourraient plus être représentées respectivement par la fraction |. Si la pièce, par exemple, était construite de manière A tomber régulièrement deux fois sur une face, tandis qu'elle ne tomberait qu'une fois sur l'autre, on pourrait considérer le Jet de la pièce comme présentant trois chances possibles, dont deux pour une face et une seule pour l'autre face : lea probabilités respectiTM seraient | et |.

Des Joueurs firaudnleux se ménagent quelquefois des avantages semblables, en Jouant avec des dés pipés. Quand un dé A six foces est bien con» struit, il doit pouvoir tomber avec une égale CEu:ilité sur chacune de aes faces : le Jet de l'as, par exemple, doit avoir la même probabilité que celui de tout autre autre point. Cependant on peut altérer le dé, aoit sous le rapport de l'homogénéité de la siatière, soit sous le rapport de la forme, de manière à rendre la probabilité du Jet de Tas aussi grande et aussi petite que l'on veut

On conçoit qu'on pourrait Jouer avec un dé semblable, pourvu que l'on pût tenir rigoureusement compte de Tluégalité des chances pour l'arrivée de chaque point

2" Le nombre des chances est inconnu.

La difficulté que nous rencontrons ici se reproduit A chaque instant dans l'appréciation des probabilités concernant les phénomènes de la nature. La difficulté devient plus grande encore, en ce qne le dé, pour continuer notre comparaison, non>seulement présente des faces inégales, mais qu'on ne sait pas môme au Juste combien il y a de faces.

Telle est bien effectivement la condition dans laquelle nous m9t la nature, quand nous cherchons A sonder ses secrets et A évaluer les probabilités respectives des événements qui peuvent arriver.

On croit souvent avoir tout prévu, avoir soigneusement énuméré les circonstances qui pouvaient se présenter, et l'on se trouve très-étonné devoir que Tévénement arrivé n'est aucun de ceux qu'on attendait. On dit alors que c'est le hasard qui l'a amené; mais que signifie ce mot, sinon l'ignorance on nous étions que notre dé avait encore une face que nous n'avions pas aperçue et sur laquelle nous ne supposions pas qu*il dût tomber! Le mot hasard sert officieusement A voiler notre ignorance; nous l'employons pour expliquer des effets dont nous ne connaissons pas les causes. Pour qui saurait tout prévoir, il n'y aurait pas de hasard; et les événements qui nous paraissent les plus extraordinaires auraient leurs causes naturelles et nécessaires, comme les événements qui nous semblent les plus communs.

Une autre comparaison, puisée également dans la théorie du Jeu, pourra nous prêter de nouvelles lumières. Supposons qu'on nous présente une urne remplie de boules qui ne diffèrent entre elles que par la couleur, et qu'on demande la probabilité que la première boule tirée sera blanche. Il

est ândent que, poar porter on Jagement motivé» il noas foudra des renseignements préalables. Pour que ces renseignements soient complets, noos viderons Tume et nous examinerons combien de boules de chaque couleur s'y trouvent contenues. Or, Je suppose qu'il y en ait deux blanches, trois noires et quatre rouges, en tout neuf boules; nous devrons répondre que la probabilité que la première boule tirée sera blanche, est {.

Cette évaluation, comme Ton voit, ne présente pas de difficultés, quand on peut s'assurer du nombre des boules que contient l'urne et de la manière dont ces boules sont distribuées sous le rapport de la couleur. En général, dans les différents Jeux qu'on nomme jeux de hasard, le nombre des chances est limité et leur nature est connue; mais il n'en est pas de même dans ce qui se rapporte aux sciences d'observation. L'urne est ouverte devant nous ; il nous est permis de faire autant de tirages que nous voulons, de multiplier les épreuves & loisir, mais cette urne est inépnisable, et ce n'est que par induction que nous pouvons connaître ce qu'elle renferme.

Nous sommes donc réduits à partir de considérations nouvelles, pour estimer la probabilité d'un événement quand le nombre des chances est illimité, et que nous ignorons comment les chances sont distribuées. Cet inconvénient se présente malheureusement dans le plus grand nombre des cas qui doivent nous occuper, c'est-à-dire dans l'appréciation des probabilités des phénomènes sociaux et des phénomènes naturels.

Si nous avons recours à la science, elle nous donne la règle suivante pour

estimer la probabilité du retour d'un événement que nous avons déjà vu se

reproduire périodiquement plusieurs fois de suite : il faut diviser U nombre

de fois que l'événement a été observé, augmenté de l'unité, par le même

nombre augmenté de deux unités. Ainsi, après avoir vu la mer monter

périodiquement dix fois de suite, à douze heures et demie de distance

environ, la probabilité qu'elle montera encore une onzième fois, sera 104- i II

Maintenant que nous avons vu la marée, après une série de siècles, se reproduire sur nos côtes de la manière la ^ plus régulière, nous pouvons regarder, vers le moment de la basse mer, le mouvement ascensionnel des eaux qui va suivre, comme représentant une probabilité à peu près équivalente à la certitude. En sorte que, contrairement à ce que l'on a pu croire dTabord, on regardera comme une chose extraordinaire ou prodigieuse que U mer ne s'élève pas à l'heure de la marée:

Il se présente naturellement ici une seconde question, c'est celle de savoir si révénement que l'on a vu se reproduire plusieurs fois de suite, dépend d'une seule et même cause ou du concours d'un certain nombre de causes, ou bien encore s'il est purement accidentel. Ainsi, pour en revenir A l'exemple que nous avions choisi, on a dû se demander s'il existait une cause on un concours de causes qui favorisât le retour périodique des marées. Et cette question, relative à l'origine du phénomène, a dû se faire presqneen même temps que celle qui se rapportait A sa prochaine repro-

482 APPRNDIGB.

duction. Or, cette question, si naturelle à la curiosité dea hommes et à laquelle le bon sens anrait déJàtroQTé une réponse approximatiTe, a encore été résolue par la théorie des probabilités.

On sentait fort bien que, plus l'éTénement s*était manifesté de fois dans les mêmes circonstances, plus il devenait probable qu'il était le résoltat d'une ou de plusieurs causes simultanées, mais cette probabilité se présentait sous une forme vague; le géomètre anglais Bayes proposa la régie suivante pour en apprécier la valeur : Quand on a observé plitsieurs fois de suite un même événement, la probabilité qu'il existe une cause qut en faeiUte la reproduction, est eœprimée par une fraction qui a pour dénominateur le nombre 2, multiplié autant de fois par lui- même que Vévénement a été observé de fois et pour numérateur, le même produit moins 1.

Après avoir vu monter la mer périodiquement dix fois de suite, à donie heures et demie de distance environ, si l'on se demande quelle est la probabilité qu'elle montera encore une onzième fois, on aura, comme Je l'ai déjà dit, |}. De plus, d'après le principe précédent, la probabilité qu'il existe une cause qui liacilite la reproduction de ce phénomène, sera {f^J.

Nous voyons que nous avons plus de raisons de croire à l'existence d'une cause qui a facilité dix fois de suite la reproduction du même phénomène dans les mêmes circonstances, qu'à sa reproduction prochaine pour la onzième fois. Cette distinction, la science seule nous permet de l'établir; et le simple bon sens, quelle que fût son étendue, ne serait point parvenu à la faire, même approximativement.

En général, la probabilité qu'il existe une cause qui fEtcilite la reproduction d'un événement observé plusieurs fois de suite, croit beaucoup plus rapidement que la probabilité du prochain retour de cet événement. Gela résulte des formules mêmes qui servent à calculer les probabilités respectives.

Quand il existe plusieurs espèces de chances qui peuvent amener nn événement, et que l'on veut calculer la probabilité de chacune d'elles, les calculs deviennent assez compliqués. Heureusement on peut ramener l'appréciation à un principe très-simple, et ce qu'on néglige sous le rapport de la rigueur est fort peu de chose, quand les observations sont nombreuses. Voici ce principe : On peut considérer les cfiances favorables et les chances défavorables comme étant numériquement dans le même rapport que les événements observés auxquels elles se rapportent.

Je rendrai cette proposition sensible par un exemple : supposons qu'on nous présente une urne contenant un nombre considérable de boules de couleurs différentes, et qu'on demande la probabilité que la première boule tirée sera blanche. Il est évident que pour répondre à cette question, il faudrait connaître le nombre des boules que contient l'urne, ainsi que leurs couleurs. Le problème alors se résoudrait à priori; mais cette connaissance n'existant pas, pour me faire une première idée sur le contenu de l'urne, J'en extrais quelques boules; et Je les remets successivement dans l'urne après chaque tirage, afin que les choses rentrent dans les mêmes circonstances.

APPBNDICB. 483

Si, après un certain nombre de tirages. Je n'ai fkit sortir de Tome que des boales blanches et des boules noires, Je puis croj^ que l'urne en effet ne contient que des boules de ces deux couleurs. Si Je multiplie les tirages pendant toute une Journée, et si Je continue à obtenir toujours les mdmes résultats, mon Jugement en aura d'autant plus de poids.

Admettons, pour un moment, que le nombre des boules blanches tirées soit sensiblement égal au nombre des boules noires, J'aurai des raisons de croire que la réalité est conforme aux résultats de l'expérience, que les boules blanches et noires sont réparties dans l'urne en proportions égales. Si le nombre des boules blanches prédominait au contraire. J'en serais pareillement averti par les épreuves successives que J'aurais faites. Le rapport du nombre des boules blanches au nombre des boules noires, après un grand nombre de tirages, se serait d'autant plus rapproché du rapport qui existe réellement dans l'urne, que les expériences auraient été prolongées davantage.

Je puis donc reconnaître avec un degré de précision aussi grand que Je le veux, en multipliant suffisamment les épreuves : V* que l'urne ne renferme que des boubles blanches et des boules noires ; 29 le rapport numérique qui e^dste entre le nombre des boules de chaque couleur.

Or l'urne que nous interrogeons, c'est la nature. Nous pouvons multiplier nos expériences à l'infini; nous ne devons pas même user de la précaution de remettre les boules dans l'urne, car ce qu'on en tire n'altère pas les proportions de ce qui reste; c'est moins qu'une goutte d'eau puisée dans le sein de l'Océan.

On me demande s'il naît autant de garçons que de filles. Pour me procurer les moyens de répondre et me rapprocher de l'exemple choisi précédemment, Je puis assimiler chaque naissance au tirage d'une boule dans une urne dont Je ne connais pas le contenu. Après un nombre suffisant d'observations. Je compterai les garçons et les filles. Supposons que cette épreuve ait été faite pendant toute l'année 1841 et dans toutes les communes rurales de la Belgique, nous aurons compté 53,437 naissances masculines et 49,788 naissances féminines. Le premier nombre est plus grand que le second, faut-il en conclure que c'est par suite d'une loi de la nature qui facilite les naissances masculines? ou bien l'excès d'un des nombres sur l'autre n'est-il qu'accidentel?

Il faut, pour acquérir plus de lumières à cet égard, recourir aux résultat» d'une ou, mieux, de plusieurs années d'expériences. Le rapport des deax nombres précédents est exprimé par 106; c'est-à-dire qu'on a compté 106 nidssances masculines pour 100 naissances féminines. Or, le rapport calculé pour neuf anoées, de 1834 à 1842, a donné à peu près exactement le même nombre, c'est-à-dire 106,3. Il y a donc véritablement une prédominance en faveur des naissances masculines, et le rapport est à peu près exactement tel que nous l'avons trouvé par les nombres de 1834 à 1842.

484 APPBNDICB.

L'accord entre le calcul et l'expérience est d'autant moine précis,

(Iu*on flUt moins d'expériences.

Quand on ne fait qa'nne seule épreaye, il ne saurait Jamais y avoir accord entre le résultat du calcul et celui de lexpérience, même avec des bonles dont on connaît le nombre et la couleur. Avant Tévénement, il n'y a que des probabilités pour ou contre son arrivée ; et, quand l'événement s'est produit, les probabilités sont remplacées par la certitude. Ainsi, avant de prendre une carte dans un jeu ordinaire, j'ai H pour probabilité de prendre une figure; et j'ai contre moi la probabilité *J. Cependant, quand la carte est tournée, ma position se trouve entièrement changée ; mes doutes ont fait place à la certitude; et si j'ai parié pour l'événement, Je sais que J'ai gagné ou perdu, quelle que soit la probabilité que j'eusse en ma faveur.

« Quand on fait un grand nombre d'épreuves, l'accord peut s'établir entre les résultats du calcul et ceux de l'expérience ; mais cet accord n'est pas nécessaire. Jacques BemouUi a fait voir qu'^n miUtipïiani convenablement le nombre des épreuves^ on peut atteindre à une probctbiUté aussi voisine de la certitude qu'on voudra, que la différence entre les résultats du calcul et ceux de Vexpérience sera resserrée dans des limites aussi étroites qu'on voudra.

M C'est ce que savent fort bien les gouvernements qui établissent des loteries ou des maisons de jeux de hasard. Le grand nombre de joueurs qui viennent y exposer leur argent, laissent pour les entrepreneurs, malgré les fluctuations apparentes du sort, un bénéfice qu'on peut estimer d'avance, et qui est aussi fixe que les autres revenus du trésor. Ainsi, les Recherches statistiques sur Paris nous apprennent que, de 1816 & 1820 inclusivement, la loterie de I^ris a mis annuellement en circulation une somme d'environ 25 millions de fk'ancs, sur lesquels le trésor recevait un peu plus du quart.

« Le gouvernement belge, en instituant des caisses de pensions pour les veuves et les orphelins des fonctionnaires publics, a malheureusement perdu de vue ce principe important, que les prévisions du calcul ne peuvent marcher d'accord avec l'expérience qu'autant qu'on opère sur de grands nombres. En formant des caisses séparées pour chaque branche de service public, et en s'imposant la condition de ne jamais leur venir en aide» il a multiplié les chances des fluctuations auxquelles les caisses sont nécessairement asst^etties. Il devient très-peu probable que les espérances d'un père pourront se réaliser, au st^et de la pension de sa veuve ou de ses orphelins, quand une association ne compte pas même une centaine de membres, comme il arrive pour le haut enseignement. La suite naturelle d'un pareil état de choses, c'est que certaines caisses devront prospérer pendant que d'antres seront en souffrance; cette inégalité sera nécessaire-

ment un grand mal, puisqu'elle atteindra dea hommes que Ton devait considérer comme les membres d'une môme famille (1).

• C'est un principe très-simple et trôs-utile dans la pratique, que ÏBLpréci' sion des résultats croit comme la racine carrée du nombre des observations. Ainsi, tontes choses égales d'ailleurs, les degrés de précision sont comme les nombres 1, 2, 3, 4, etc., quand les obsenrations sont comme les nombres 1, 4, 9, 16, etc.

« J'ai été curieux de soumettre ce principe & l'expérience. J'ai fait Jeter, dans une urne, vingt boules blanches et un égal nombre de boules noires, de sorte que la probabilité était la môme, et égale A }, pour prendre soit une boule blanche, soit une boule noire. Après un certain nombre de tirages, le nombre des boules blanches sorties devait ôtre égal au nombre des boules noires ; on pourra voir dans le petit tableau suivant, les résultats successivement obtenus après 4, 16, 64, etc., tirages. Je dois prévenir qu'après chaque tirage, la boule tirée était remise dans l'urne, pour que toutes les circonstances de l'expérience restassent les mômes.

SIOIIBUI

vmauÈ

ROmU su MVUS

nAVMât

des boalet

de

des nombres

UréM.

précision.

blanches.

noim.

prëcédenu.

le

ise

le

lis

Si

f.Ol

La première colonne indique les nombres des boules tiréeé; et la seconde, les racines carrées de ces mômes nombres. D'après le principe énoncé plus haut, ces racines expriment les degrés relatifs à la précision des résultats.

Dans les deux colonnes suivantes, se trouve l'indication des boules blanches et noires qui sont sorties de l'urne ; ces nombres devraient être égaux entre eux, si la théorie et l'expérience marchaient rigoureusement d'accord. Or, la dernière colonne nous fait connaître le rapport des boules blanches aux boules noires tirées : ce rapport devrait ôtre 1. Mais un pareil

(4) Ceci a élé imprimé, en 4846. pa^p 86 det UUr$ê tnr /• tkMrU é— pfbmkUiléÊy ofpliqméê mms $€imem wfrmlê» êl poUtiqueê, par A. Qoctelet, an moment oii l'on Tenait de fonder lea caisaw d*épnrgne pour les employés do gouTememeul b'*lgr. Les dédactions dcdaitet dn calcnl n'ont été qnc trop bien jastiSces par ce qai vient d'arriver i la caisse de l'enseignement supérievr comme i celle dca Snaacet (4868). Malheurentement l'eipérience entière n'est pat encore achcTée.

486 APPBNDICB.

résultftt n'a ôté^obtenn qu'âne leule fois et seulement aprôa leiie tirages. Cet accord n'était qu'accidentel, tandis que nous remarquons, au milieu des oscillations des nombres, qu'il y a bien évidemment une tendance &se rapprocher de l'unité par la multiplication des tirages.

De la moyenne et des limites extrêmes dans Tapiiréolatloa des mesures.

Quand on se met en présence de la nature, et qu'on cherche à l'interroger, ce qui frappe au premier abord, c'est la variété infinie qu'on observe dans les moindres phénomènes. Quelles que soient les limites dans lesquelles on concentre son attention, on retouve une diversité qui étonne autant qu'elle embarrasse. Les plus simples appréciations laissent un vague, incompatible avec la précision qu'exigent les sciences. Un même objet, mesuré ou pesé plusieurs fois de suite, présente, malgré toutes les précautions que l'on peut prendre, des résultats presque toi^ours dissemblables. Nos idées cependant ont besoin de s'arrêter sur un nombre précis, sur une moyenne qui donne le résultat des observations aussi dégagé que possible de tout ce qu'il a d'accidentel.

La considération des moyennes nous est si familière, que nous l'employons, en quelque sorte à notre insu, partout où nous rencontrons des objets qui fixent notre attention et qui sont sujets à varier. Ainsi, nous ne faisons pas difficulté d'attribuer au soleil une grandeur apparente déterminée, bien que cet astre ne soit pas vu rigoureusement sons le même angle, pendant deux Jours, et l'on peut dire pendant deux instants consécutifs. C'est ainsi que nous disons encore quelle est la température des étés dans un lieu donné, bien que cette température varie à chaque instant.

La théorie des moyennes sert de base à toutes les sciences d'observation; elle est si simple et si naturelle, qu'on n'apprécie peut-être pas assez le pas immense qu'elle a fait faire à l'esprit humain. Nous ignorons à qui elle est due^ c'est ainsi que toutes les grandes découvertes se sont établies sans qu'on en ait connu les inventeurs. Tout ce que nous apprend à cet égard l'histoire des sciences, c'est qu'un peuple se servait de la découverte avant les autres. Il en est ainsi de la numération, de l'écriture et de l'imprimerie même.

Remarquons dès & présent qu'en se préoccupant de l'idée de la moyenne pour des quantités susceptibles de varier, on a peut-être trop perdu de vue les HmiUs entre lesquelles s'opèrent les variations. Partout où l'on peut dire plus ou moins, on a nécessairement trois choses à considérer, un état moyen et deux limites.

Sans recourir à la science, l'habitude nous donne une appréciation vague de la moyenne et des limites des variations qui appartiennent à chaque élément variable que nous présente la nature ou l'état social ; c'est d'après oette appréciation que nous nous sommes guidés dans nos raisonnements. Mais il convient aux progrès des lumières de substituer des idées précises ^ des notions vagues,

APPBNDICB. 487

Il lerait auez earieux de rechercher à quelle époque on « commencé à foire an usage rationné des moyennes ; il en existait assurément une idée obscure dans l'antiquité, car cette idée, comme Je Tai foit observer déjà, est inhérente à notre nature et sert de base à presque tous nos Jugements ; mais elle ne s*est produite explicitement que très- tard, et il serait difficile de Ûxer, chez les modernes, l'époque de son introduction ; celle où l'on a établi en principe que la moyenne (Time série d'observations s'obtient en divisant la somme des valeurs observées par le nombre des observations. La considération des limites, en tant qu'elles complètent l'idée de la moyenne, n*a pu prendre quelque consistance que par le développement de la tiiéorie des probabilités dans ses applications à l'étude des phénomènes naturels. L'établissement et le développement de la théorie des moyennes formeraient un des chapitres les plus intéressants de l'histoire de l'esprit humain. C'est Archimède, ce génie remarquable à tant d'égards, qui semble avoir, dans l'antiquité, le mieux apprécié l'importance des moyennes ; il en a foit un usage admirable dans la recherche du centre de gravité, dont 11 est l'inventeur, n a substitué la considération d'un point unique & celle d'un grand nombre de points matériels ; et cette idée si ingénieuse, qui a été si féconde depuis, lui mériterait, A elle seule, la reconnaissance des honunes.

Quand Méton, quatre à cinq siècles avant l'ère chrétienne, vint présenter aux Orecs réunis pour célébrer les Jeux olympiques, sa fameuse période qui M accueillie avec tant d'enthousiasme et gravée en lettres d^or, il n'avait pu reconnaître la durée d'une lunaison et celle de l'année tropique que par un calcul analogue A celui de nos moyennes. Il en est de l'esprit comme du corps, qui marchait d'un pas sûr bien avant que l'on connût les lois de l'équilibre.

Aristote, l'un des plus grands observateurs de l'antiquité, avait également aperçu les propriétés des moyennes; il en foisait l'application aux sciences morales : selon lui, les vertus consistent dans un Juste état d'équilibre ; et toutes nos qualités, dans leurs plus grands écarts de la moyenne, ne produisent que des vices. Cette doctrine avait passé de l'école des philosophes chez les poètes : Horace, parmi les Romains, en a été Ttin des plus élégants et des plus aimables interprètes.

Mais combien il y a loin de ces premiers aperçus aux savantes théories que nous possédons aujourd'hui ; et cependant, il nous reste encore bien du chemin A faire ponr que les brillants travaux de l'analyse moderne produisent tous leurs flruits. La plupart des observateurs, les meilleurs même, ne connaissent que très-vaguement, Je ne dirai pas la théorie analytique des probabilités, mais la partie de cette théorie qui concerne l'appréciation des moyennes.

En cherchant une moyenne, on peut avoir en vue deux choses bien différentes : on peut chercher A déterminer un nombre qui existe véritablement, on bien A calculer un nombre qui donne l'Idée le plus rapprochée possiUe de plusieurs nombres dilTérents, exprimant des choses homogènes, mais variables de grandeur.

Bn mesurant U hauteur d'un édifice vingt fois de suite, on ne tronvera

488 ÂPPBNDIGB.

peut-être paadenx fois exactement U même valeur; cependant, on conçoit que l'êdiflce a une hauteur déterminée, et si on ne l'a pas obtenne exacts* ment par chacune des opérations faites pour la reconnaître, c'est que cem opérations comportent quelque incertitude. On se borne alors à prendre la moyenne de toutes les déterminations pour la véritable hauteur cherchée. Les limites plus ou moins larges entre lesquelles se trouvent renfermées les mesures obtenues, dépendent du plus ou moins d'adresse de l'observateur et de l'exactitude des instruments.

On peut aussi employer le calcul de la moyenne dans un autre sens. Pour donner la hauteur des édiâces qui se trouvent dans une rue déterminée, il faudra mesurer la hauteur de chacun d'eux, faire la somme des hauteurs observées, et diviser le résultat par le nombre des édiâces. La valeur moyenne déterminée ne représentera la grandeur d'aucun d'eux en particulier, mais elle aidera à former une idée de leur hauteur en général ; et les limites plus ou moins larges dans lesquelles se trouveront renfermées toutes les mesures obtenues, dépendront de la diversité des édifices.

On trouve ici une différence très- notable qu'on n'aura peut-être pas saisie au premier abord, mais qui n'en est pas moins d'une grande importance. Dans le premier cas, la moyenne représentait une chose existant réellement ; dans le second cas, elle donnait, sous la forme d'un nombre abstrait, une idée générale de plusieurs choses essentiellement différentes, quoique homogènes.

D'une autre part, et ce point est capital, les nombres qui ont concouru à former la moyenne dans l'un et l'autre exemple, se présentent de manières bien différentes. Dans le second exemple, ils ne se trouvent liés entre eux par aucune loi de continuité ; tandis que, dans le premier, comme nous aurons occasion de le voir bientôt, les déterminations des hauteurs, bien que fautives, se groupent des deux éOtés de la moyenne avec une .régularité telle, qu'on pourrait assigner d'avance leurs valeurs, si l'on donnait les limites entre lesquelles elles se trouvent comprises.

Cette distinction est de la plus haute importance ; j'emploierai môme des mots^différents pour mieux l'établir. Je réserverai le nom de moyenne pour le premier cas, et j'adopterai celui de moyenne arithmétique pour le second, afin de faire sentir qu'il s'agit ici d*une simple opération de calcul entre des quantités qui n'ont pas de relations essentielles. Ces relations ne s'aperçoivent pas toujours, et quelquefois on les reconnaît là où l'on s'attendait le moins & les trouver : la moyenne arithmétique devient àlora une véritable moyenne.

Quelquefois la moyenne arithmétique se calcule d'après les éléments les plus divers, sans qu'on puisse en conclure que l'idée générale qu'elle doit représenter soit sans utilité ou sans importance. Je citerai pour exemple la vie moyenne. On sait que le statisticien, quand il veut la calculer pour un pays donné, suppose que tous les individus, nés ensemble dans ce pays, mettent en commun les années, mois et jours qu'ils ont & vivre, et en font un partage égal entre eux, de manière que Tun ne vive pas plus longtemps que l'antre. Ainsi sur 100,000 individus, 9,600 ne vivent qu'un mois, 2,460

▼ivent deux mois, 1,760 vivent trois mois, et ainsi de snite (1). On fait la somme générale de la durée de la vie de chacun de ces individus, et Ton divise par 100,000. Le résultat de l'opération donne la vie moyenne (2) : elle est d^environ 32 ans pour la Belgique comme pour la France ; elle s'élève, dit'On, k 33 ans pour l'Angleterre.

On a remarqué que, par suite des progrès de la civilisation et des sciences, la vie moyenne est devenue successivement plus longue chez quelques peuples, et Ton 8*en est félicité, surtout parce que Ton a pu croire que l'allongement de la vie s'est également reporté sur tous les individus ; c'est en effet ce qui se reproduit le plus généralement.

Il convient cependant de remarquer que la vie moyenne peut hien souvent induire en erreur ; et ce qui vient d'être dit pourrait en servir de preuve. Par exemple, de ce que la vie moyenne, en France et en Belgique, serait exactement de même longueur, il ne faudrait pas se hAter de conclure que ces deux pays sont dans les mômes circonstances sous le rapport de. la mortalité. Qu'on enlève A un homme dans la force dé TAge, A un père de famille, dix années de sa vie , pour les ajouter A la vie d'un de ses enfants mort immédiatement après sa naissance, cela ne changera en rien la durée de la vie moyenne; mais cette transposition de dix années aura une influence immense sur le sort de la famille qui aura perdu son soutien et qoi, d'une autre part, comptera une personne de plus A nourrir.

Le chiffre de la vie moyenne ne donne qu'un aperçu général de la mortalité et ne peut être employé qu'avec circonspection. Il serait difficile de citer un exemple des moyennes arithmétiques où l'on emploie des éléments plus dissemblables. Dans le calcul de la vie moyenne, on attribue, en effet, la même valeur A une année d'existence, soit pour l'enfant, soit pour Thomme mùr, soit pour le vieillard.

Maintenant, supposons que nous ayons À mesurer la hauteur de la tour de Notre-Dame, A Paris ; admettons de plus qu'au lieu de trouver la hauteur réelle, on ait obtenu chaque fois des valeurs plus ou moins différentes antre elles, mais sans qu'il existe aucune cause qui donne une facilité plus grande aux erreurs, soit en plus, soit en moins. La moyenne de toutes ces ▼aleort particulières présente un nombre qui n'est probablement pas la hauteur de la tour, mais qui s'en écartera peu. Je ne sais pas Jusqu'où pourraient aller les limites des erreurs, si Je continuais mes observations. Je substitue donc A une quantité que J'ignore, une autre que Je connais ; le tout est de savoir l'erreur A laquelle Je m'expose.

En considérant la chose d'une manière générale, la véritable hauteur de U tour correspond au tirage d'un nombre égal de boules blanches et de

(I) Vo|«s, pins haut, ptge SOS et les tablet de mortalité de Belgique dtst lei Jmnmairti dtCO^ier- 9mioir$ 4* BruxMêi.

(i) La Tte moycMM ne doit pas être ooofondve avec la vie probable, qui iodiqve timplemeiil Ttf e o<i la popiilatloo m partage «n deoi parties égales, rooe pins igée et l'antns moiot âgée : ainsi, poar vue penoBne de 80 ans, la vie probable n*eat pins que de tO ans à peu près, c*est-èodire (voyes p. SOS) qne des MO personnes qui snririveot aux 1,000 qui fomeal la table, il n'en reste pins que la laoitié on t» fers rign de 70 ans.

490 APPENDIGB.

bouloB noires : c'est-à-dire que, parmi tontes les combinaisons possibles, il se trouverait à la longue autant de mesures plus petites que de mesures plus grandes que la Téritable hauteur cherchée, qui serait égale à leur moyenne. Au lieu de cette valeur, j*en trouve une autre qui sera d'autant plus rapprochée de celle que Je devais avoir, que, toutes choses égales. J'aurai fait plus d'observations. Voilà pour la précision de mon résultat final.

Mais à côté de la question qui vient de nous occuper, il s*en présente une antre qui est peut- être plus curieuse encore. La voici : les résultats observés ne tombent pas indifféremment. des deux côtés de la moj^enne, mais dans un ordre déterminé, qui est celui assigné par une échelle de possibilité.

Ainsi quand on mesure une hauteur, entre la plus grande et la plus petite valeur obtenue, tombent les autres valeurs à des distances différentes de la moyenne, mais le plus grand nombre tombent dans le voisinage même de cette moyenne. Cela provient de ce qu'à mesure qu'on s'éloigne du véritable nombre cherché, la probabilité du résultat diminue de plus en plus, conformément à la loi qui régie la sortie de deux espèces d'erreurs dont les chances sont égales et qui peuvent se combiner de différentes manières. En supposant qu'on ait mesuré U tour de Notre-Dame un nombre de fois assez grand pour qu'on soit autorisé à croire que la différence entre la théorie et le calcul a sensiblement disparu, la moyenne de toutes les mesures donnera la hauteur cherchée. De plus, en groupant les observations par ordre de grandeur, et en procédant par différences de 1 décimètre, les deux plus grands groupes seront ceux qui donneront la hauteur de la tour avec une erreur de 1 décimètre en plus ou en moins. Les deux groupes suivants donneront la hauteur avec une erreur de 2 décimètres, et ainsi de suite. Plus on s'écartera de la moyenne, moins les groupes renfermeront d'observations.

Nous voilà en état de reconnaître à priori l'ordre qui s'établira dans les erreurs. Chaque série d'observations a son échelle particulière de possibilité, comme Je l'ai indiqué précédemment. La nature de cette échelle est déterminée par le nombre des observations, comme aussi par les moyens plus ou moins précis qu*on a employés pour faire les observations. Il ne faut pas oublier, du reste, que nous sommes toi^ours rigoureusement dans l'hypothèse que les chances de se tromper en plus sont les mêmes que celles de se tromper en moins.

N'est-il pas merveilleux que des erreurs que l'on fait accidentellement se rangent dans un ordre aussi parfait, et que des maladreses procèdent, à notre insu, avec une symétrie qui semble être le résultât des combinaisons le mieux raisonnées t

La courbe qui figure Tordre de succession et le nombre des résultats serait identiquement la même que la courbe de possibilité, en sorte qu'une erreur plus ou moins grande doit être assimilée au tirage d'un nombre de boules blanches et de boules noires s'écartant plus ou moins de l'égalité sous le rapport numérique.

Si les chances de se tromper en plus n'étaient pas les mêmes que oellea

de se tromper en moini, la courbe figurant la saccesaion des résultats perdrait de sa symétrie, sans cesser d'offrir encore une certaine régularité; son sommet ne se trouverait plus à égale distance de ses deux extrémités (1).

Quand on se borne A prendre une moyenne arithmétique entre différentes quantités entièrement indépendantes les unes des autres, la ligne qui figure les obsenrations ne présente plus aucune espèce de régularité; ou si Ton en trouve une, elle ne peut être qu'accidentelle.

Prenons un autre exemple. La mesure d'une statue n'est pas aussi facile qu'on le croirait au premier abord, surtout si Ton désire l'obtenir avec une grande précision. En mesurant dix fois de suite la circonférence de la poitrine, on n'est pas sûr de trouver deux résultats identiquement les mêmes. Il arrive presque toujours que les valeurs obtenues sont plus ou moins éloignées de celle que l'on cherche ; et je suppose même les circonstances les plus favorables, celles où l'on n'aurait aucune tendance & prendre des mesures trop grandes ou trop petites.

Si l'on avait le courage de recommencer mille fois, on finirait par avoir une série de nombres qui différeraient entre eux selon le degré de précision qu'on aurait mis A les recueillir. La moyenne de tous ces nombres s'écarterait certainement très-peu de la véritable valeur. De plus, en classant toutes les mesures par ordre de grandeur, on ne serait pas médiocrement étonné de voir les groupes se succéder avec la régularité la plus grande. Les mesures qui s'écartent le moins de la moyenne générale composeraient le groupe le plus considérable ; et les autres groupes seraient d'autant plus petits qu'ils contiendraient des mesures plus en désaccord avec cette même moyenne. Si l'on figurait la succession des groupes par une ligne, cette ligne serait la courbe de possibilité ; ce résultat, en effet, était A prévoir. En sorte que la maladresse, ou le hasard, si nous aimons mieux ce mot pour couvrir notre amour-propre, procède avec une régularité qu'on ne serait guère tenté de lui attribuer.

Je suppose maintenant qu'on réunisse les cinq cents mesures qui s'écartent le moins de la moyenne ; la demi- différence qui se trouvera entre la plus grande et la plus petite de toutes ces mesures, sera le module de la

(i) NomoMMis • et ft let probabililët retp«ciiTei dei drax étéoeoMoU en quMlloD : on avn goecct- •ivemeal • êl h» ponr l« probtbtlilà aprèi nne pranière épreavei m^+tab'^h*^ pour les proUbilîléi après ikox épreuvet ; o*'i-Ui*h-^-Zab*'^b*t «prêt trois épreavet ; et en fénéral :

après «a lombre » d'épreoves.

Qttand • serm égal i h, e'est-è-dire qnaod les deux éréneiiiênta attêadua raroal nèoM probabilité. l'éqiiatloQ précédente prendra Ik foroie plus simple

V + ï + "TT" + -TTT"- +•••*)• •

U table de possibilité, dont les équtlons précëdeales assifoeat les nlears, sera donc Ibdle à constraire ; il laflra de connaître le noasbre m des éprevves.

492 APPBNDIGB.

précision ou Verreur probable. Il pourrait se faire que, dans les circonstances actuelles, cette erreur probable ne fût que d'un millimètre ; en sorte que, sur les mille mesures, cinq cents seraient en erreur de moins d'un millimètre, et cinq cents autres seraient en erreur de plus d*un millimètre. On aurait ainsi un contre un A parier qu'en prenant une nouTelle mesure, on ne s'écarterait pas d'un millimètre de la moyenne de toutes les mesures, laquelle peut être considérée comme la véritable circonférence qu'on voulait apprécier.

Si l'on avait & mesurer la poitrine d'une personne vivante au lieu de celle d'une statue, les chances d'erreur seraient plus nombreuses ; et Je doute fort qu'après mille mesures, on trouvât encore une erreur probable de 1 millimètre. Le seul acte de la respiration, qui fait varier A chaque instant la forme et les dimensions de la poitrine, ijouterait une puissante cause d'erreur è toutes celles qu'on rencontre déjA en opérant sur une statue parfaitement immobile. Malgré ce désavantage, les mille mesures groupées par rangs de grandeur procéderaient cependant encore d'une manière très -régulière. La ligne qui les représenterait serait toi^ours la courbe de possibilité, mais dilatée dans le sens horizontal, proportionnellement A l'erreur probable.

Modifions encore notre hypothèse, et supposons qu'on ait employé un millier de statuaires pour copier le Gladiateur avec tout le soin imaginable. Les mille copies qui seront faites reproduiront-elles exactement le mo< dèle ; et en les mesurant successivement, les mille mesures que j'obtiendrais seraient-elles aussi concordantes que si Je les avais prises toutes sur la statue du gladiateur môme f Aux premières chances d'erreur viendraient se Joindre les inexactitudes des copistes ; en sorte que Terreur probable serait peut-être très-grande. Malgré cela, si les copistes n'ont pas travaillé avec des idées préconçues, en exagérant ou en diminuant certaines proportions d'après des préjugés d'école, et si leurs inexactitudes ne sont qu'accidentelles, les mille mesures, groupées par ordre de grandeur, présenteront encore une régularité remarquable et se succéderont dans l'ordre que leur assigne la loi de possibilité.

On peut partir d'une autre hypothèse encore, et au lieu de mesurer un certain nombre de fois ou un modèle vivant ou une statue, mesurer un certain nombre d'hommes différents dont on prendrait la moyenne. Aux erreurs qu'on pourrait faire en mesurant se Joindraient alors les différences qui proviendraient de l'inégalité des modèles. Mais en supposant que cette inégalité ne fût qu'accidentelle et ne provint que d'un développement plus ou moins grand, les valeurs trouvées se rangeraient symétriquement autour du type moyen, mais dans des limites plus larges, puisqu'elles dépendraient alors A la fois de deux causes, de l'incertitude des mesures et de l'inégalité accidentelle des modèles mesurés. C'est un exemple que J'ai donné, parmi beaucoup d'autres, dans mon ouvrage sur la théorie des probabilités appliquée aux sciences morales et politiques (1).

(I) Je ae pais qu'iodiquer Ici let priadpaux résolUU de cette tiiéorie, que j*ti développée avec soiK dani roQTrase que Je mentionne ici.

APPBNDICB.

J*«i 0a l'occMion de voir et de mesurer différente nAim et géants, nuis dont lee tailles rentraient parmi celles qn'indiqae le ealcnl : ces espèces de mesores exceptionnelles diminuent à mesure qu'on s'éloigne de la grandeur moyenne. Les géants anciens même et les nains, ceux du moins dont la mesure a été fidèlement reproduite, ne forment pas exception à la loi de déTeloppement de l'homme.