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APPENDICE

RiCAFITUIjmON .

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ÉTOQLBS.

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POPULATION POUR InAuaaacx 1 aScOa. |l uasuck.

Angleterre

IH3H à IBb€

Angleterre el pays de Galles.

Écowe

IS:i5 k I8t;6

1 Irlande (1]

iSTil à 1B66

Aufrirhe

IBS3 k 18G6

Bavière. .......

Belgique

Danemark

Espagne

France

Italie

Pa)s-Bas .......

Prusse

Suède

Moyenne générale. . . .

Mtaimum

Minimum

(I) L’IrUsdc poamtl ^rté« do Ubl«aa prdcëdfDi : ce raalheiireat {mtc t perdo beaocnup de •a popoUtioa pondant cea dernièret année#; lea rapporta pour ISM à IS^S poirnieot être érarté«, comme noui l'avona fait dana le ubiein de b pi([e SM. Lea rapporta de b popuUiinn aut oaiaaaoce*, aat ddcèa et ant nuriagea aoot ealimea d'apréa un reoaeigncment aur la popiilatioii cooaulée avant l'dpoque de aoo décroiaaement rapide, comme on peut le voir a la page tSS, qui indique nue popub Uon d'abord croisanote de iRtO à IR40. el qui petae eninltc à un dccroiaaemcnl de IRiO S 1860, en pai- UUl de S.rs.in imra a 5,198.768.

APPENDICE

Th^rle chiLnces et des probeJ>iUtée «tatUtlques.

Avant de nous livrer à des recherches sur la manière de procéder dans les sciences d'ohservation et dans la statistique en particulier, il sera prudent de rappeler sommairement les principes de la théorie des probabilités.

l® Le nombre des chances est connu.

Lorsque différents cas peuvent donner naissance à un événement, on les nomme les cAanc^j de cet évènement. Ainsi, le tirage d'une carte dans un jeu ordinaire présente trente-deux chances* puisque l’on peut prendre indifféremment l’une des trente deux cartes dont le jeu se compose.

Quand la nature de l'événement qu’on espère est désignée, il existe deux espèces de chances, les unes favorables et les autres contraires à l’événement espéré. Ainsi, celui qui désirerait prendre une figure dans un Jeu de trente deux cartes aurait douze chances pour lui; et vingt chances lui seraient contraires.

Si toutes les chances sont favorables, leur ensemble constitue la certitude.

Si quelques chances sont^ contraires a l'arrivée de l'événement, on dit d'une manière absolue que cet événement est probable^ et qu’il est possible seulement ou peu probable, quand le nombre des chances contraires surpasse le nombre des chances favorables.

On conçoit que tous les événements ne sont pas également probables. On estime la probabilité mathématique en divisant le nombre des c?uinccs favorâbles à t événement, par le nombre total des chances. D’après ce principe, le tirage d'une figure dans un jeu de trente-deux cartes aurait pour probabilité la fraction [\\ on a, en effet, douze chances favorables sur un nombre total de trente-deux chances.

La probabilité contraire À l’événement attendu s’estime de la même manière ; c’est-à-dire, en divisant le nombre des chances défavorables par le nombre total des chances. Ainsi, dans l’exemple précédent, la probabilité contraire a l'événement attendu est |*.

En général, chaque événement incertain donne lieu à deux probabilités opposées, savoir : celle que cet événement arrivera, et celle qu’il n'arrivera pas : la somme de ces deux probabilités doit être égale à Cunité. L’unité devient ainsi le symbole de la certitude.

L’application de la théorie des probabilités ne présenterait guère de difficultés, si l’on pouvait toujours énumérer les diverses chances possibles, et si toutes les chances étaient rigoureusement les mêmes. Mais il n'en est pas ainsi; et, dini certains cas, il faut beaucoup de sagacité pour ne pas commettre des erreurs graves dans ces sortes d’appréciations. De tous les Jeux, le plus simple est sans contredit celui de pile ou croix, puisqu'il n’y a que deux chances possibles, et que la pièce doit tomber nécessairement sur l’une ou l'autre de ses deux faces. La probabilité de chacun des deux

APPBNDICB.

événements est donc J. Cependant si la pièce n'était pas homogène, si elle était constraite de manière à tomber plus facilement sur une face que sur l'autre, il est évident que les doux probabilités ne pourraient plus être représentées respectivement par la fraction J. Si la pièce, par exemple, était construite de manière À tomber régulièrement deux fois sur une face, tandis quelle ne tomberait qu'une fois sur Tautre, on pourrait considérer le jet de la pièce comme présentant trois chances possibles, dont deux pour une face et une seule pour l'autre face : les probabilités respectives seraient | et

Des Joueurs frauduleux se ménagent quelquefois des avantages sembla* blés, en Jouant avec des dés pipés. Quand un dé k six faces est bien constmit, il doit pouvoir tomber avec une égale facilité sur chacune de ses faces : le Jet de l'as, par exemple, doit avoir la même probabilité que celui de tout autre autre point. Cependant on peut altérer le dé, soit sous le rap* port de l'homogénéité de la matière, soit sous le rapport de la forme, do manière à rendre la probabilité du Jet de l'as aussi grande et aussi petite que l'on veut.

On conçoit qu'on pourrait Jouer avec un dé semblable, pourvu que l'on pût tenir rigoureusement compte de riuégalité dos chances pour l'arrivée de chaque point.

2** Le nomàre des chances est inconnu.

La difficulté que nous rencontrons ici se reproduit à chaque instant dans l’appréciation des probabilités concernant les phénomènes de la nature. La difficulté devient plus grande encore, en ce que le dé, pour continuer notre comparaison, non-aeulement présenta des faces inégales, mais qu'on ne sait pas môme au juste combien U y a de faces.

Telle est bien effectivement la condition dans laquelle nous met la nature, quand nous cherchons A sonder ses secrets et à évaluer les probabilités respectives des événements qui peuvent arriver.

On croit souvent avoir tout prévu, avoir soigneusement énuméré les circonstances qui pouvaient se présenter, et Ton se trouve trés-étonné devoir que révénement arrivé n’est aucun de ceux qu'on attendait. On dit alors que c'est le hasard qui l'a amené; mais que signifie ce mot, sinon l'ignorance où nous étions que notre dé avait encore une face que nous u'avions pas aperçue et sur laquelle nous ne supposions pas qu'il dût tomber! Le mot hasard sert officieusement à voiler notre ignorance; nous l'employons pour expliquer des effets dont nous ne connaissons pas les causes Pour qui sauraittout prévoir, il n'y aurait pas de hasard; et les événements qui nous paraissent les plus extraordinaires auraient leui's causes naturelles et nécessaires, comme les événements qui nous semblent les plus communs.

Une autre comparaison, puisée également dans la théorie du jeu, pourra nous prêter de nouvelles lumières. Supposons qu’on nous présente une urne remplie de boules qui ne différent entre elles que par la couleur, et qu'on demande la probabilité que la première boule tirée sera blanche. 11

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APPENDICE

est évident que, pour porter un jugement motivé, il nous faudra des ren> seignemeuts préalables. Pour que ces renseignements soient complets, nous viderons Turne et nous examinerons combien de boules de chaque couleur s y trouvent contenues. Or, Je suppose qu’il y en ait deux blanches, trois noires et quatre rouges, en tout neuf boules; nous devrons répondre que la probabilité que la première boule tirée sera blanche, est

Cette évaluation, comme l’on voit, ne présente pas de difficultés, quand on peut s'assurer du nombre des boules que contient Tume et de la manière dont ces boules sont distribuées sous le rapport de la couleur. En général, dans les différents Jeux qu’on nomme Jeux de hasard, le nombre des chances est limité et leur nature est connue; mais il n’en est pas de même dans ce qui se rapporte aux sciences d'observation. L’urne est ouverte devant nous ; il nous est permis de faire autant de tirages que nous voulons, de multiplier les épreuves à loisir, mais cette urne est inépuisable, et ce nest que par induction que nous pouvons connaître ce qu’elle renferme.

Nous sommes donc réduits A partir de considérations nouvelles, pour estimer la probabilité d’un événement quand le nombre des chances est illimité, et que nous ignorons comment les chances sont distribuées. Cet inconvénient se présente malheureusement dans le plus grand nombre des cas qui doivent nous occuper, c’est-à-dire dans l'appréciation des probabilités des phénomènes sociaux et des phénomènes naturels.

Si nous avons recours à la science, elle nous donne la régie suivante pour estimer la probabilité du retour d’un événement que nous avons déjà vu se reproduire périodiquement plusieurs fois de suite : il faut diviser le nombre de fois que Vévénement a été observé^ augmenté de runité, par le même nombre augmenté de deux unités. Ainsi, après avoir vu la mer monter périodiquement dix fois de suite, à douze heures et demie de distance environ, la probabilité qu'elle montera encore une onzième fois, sera

Maintenant que nous avons vu la marée, après une série de siècles, se reproduire sur nos cétes de la manière la plus régulière, nous pouvons regarder, vers le moment de la basse mer, le mouvement ascensionnol des eaux qui va suivre, comme représentant une probabilité à peu près équivalente à la certitude. En sorte que, contrairement à ce que l'on a pu croire d'abord, on regardera comme une chose extraordinaire on prodigieuse que la mer ne s'élève pas à l'heure de la marée.

Il se présente naturellement ici une seconde question, c'est celle de savoir si l'événement que l’on a vu se reproduire plusieurs fois de suite, dépend d’une seule et môme cause ou du concours d’un certain nombre de causes, ou bien encore s’il est purement accidentel. Ainsi, pour en revenir A l’exemple que nous avions choisi, on a dû se demander s'il existait une cause ou un concours de causes qui favorisât le retour périodique des marées. Et cette question, relative A l’origine du phénomène, a dû se faire presque en môme temps que celle qui se rapportait A sa prochaine repi^o-

APPENDICE

ductlon. Or, cetta queition, li naturelle A la curiosiU dea hommea et A laquelle la bonaana aurait déJAtrouvé une réponae approximatlTe, aencore été rdaolue par la théorie dea probabilitéa.

On aentait fort bien que, plua l'événement a'était manifeaté de foie dana lea mémea circonatancea, plua il devenait probable qu'il était le réaultat d'une ou de pluaieure cauaea aimultanéea, maia cette probabilité ae préaentait aoua une forme vague ; le géomètre anglaia Bayea propoaa la régie auivante pour en apprécier la valeur : Quand on a observé pltisieurs fois de suite un même événement, la probabilité qu'il existe une cattse gui en facilite la reproduction, est exprimée par une fraction gui a pour dénominateur le nombre 2, multiplié autant de fois par lui-même que févénementa été observé de fois et pour numérateur, le même produit moins 1.

Aprèe avoir vu monter la mer périodiquement dix foia de auite, A douze heurea et demie de diatance environ, ei l'on ee demande quelle eat la probabilité qu'elle montera encore une onzième foia, on aura, comme Je l'ai déJA dit, De plua, d'apréa le principe précédent, la probabilité qu'il exiate une canae qui facilite la reproduction de ce phénomène, aéra

Noua voyona qne noua avona plua de raieona de croire A l'exiatence d'une canae qui a facilité dix foia de auite la reproduction du même phénomène dane lea mémea circonatancea, qu'A aa reproduction prochaine pour la onzième foia. Cette diatinction, la acience aeule noua permet de l'établir; et le aimple bon aena, quelle que fût aon étendue, ne aérait point parvenu A la faire, même approximativement.

En général, la probabilité qu'il existe une cauae qui facilite la reproduction d'un événement obaervé pluaieura foia de auite, croit beaucoup plua rapidement que la probabilité du prochain retour de cet événement Cela résulte des formules mêmes qui servent A calculer les probabilités respectives.

Quand il exiate plusieurs eapéoes de chances qui peuvent amener un événement, et qne l'on veut calculer la probabilité de chacune d'elles, Isa calcula deviennent assez compliqués. Ueureuaement on peut ramener l'appréciation A un principe très-simple, et ce qu'on néglige sous le rapport de la rigueur est fort peu de chose, quand les observations sont nombrenaea. Voici ce principe : On peut considérer les chances favorables et les chances défavorables comme étastt numériquement dans le même rapport que les événements observés auxquels elles se rapportent.

Je rendrai cette proposition sensible par un exemple : supposons qu'on nous présente une urne contenant un nombre considérable de boules de couleurs différeutea, et qu'on demande la probabilité que la première boule tirée sera biancbe. 11 eat évident que pour répondre A cette question, il faudrait connaître le nombre dea boules que contient l'ume, ainsi qne leurs couleurs. Le problème alors ae résoudrait A priori; mais cette connaissance n'existant pas, pour me faire une première idée sur le contenu de Tume, j'en extrais quelques boules; et Je les remets successivement dans l'urne après chaque tirage, afln que les choses rentrent dans lea mêmes circonstances.

APPENDICE

Si, après un certain nombre de tirages, Je n'ai fait sortir de l’ame ()ue des boules blanches et des boules noires, je puis croire que Tume en efTet ne contient que des boules de ces deux couleurs. Si je multiplie les tirages pendant toute une journée, et si je continue A obtenir toujours les mêmes résultats, mon jugement en aura d'autant plus de poids.

Admettons, pour un moment, que le nombre des boules blanches tirées soit sensiblement égal au nombre des boules noires, j'aurai des raisons de croire que la réalité est conforme aux résultats de rexpérience, que les boules blanches et noires sont réparties dans l'urne en proportions égales. Si le nombre des boules blanches prédominait au contraire, j'en serais pareillement averti par les épreuves successives que j'aurais faites. Le rapport du nombre des boules blanches au nombre des boules noires, après un grand nombre de tirages, se serait d’autant plus rapproché du rapport qui existe réellement dans l'ume, que les expériences auraient été prolongées davantage.

•J e puis donc reconnaître avec on degré de précision aussi grand que je le veux, en multipliant sulUsamment les épreuves : que l’ume ne renferme

que des boubles blanches et des boules noires ; 2^ le rapport numérique qui existe entre le nombre des boules de chaque couleur.

Or l'ume que nous interrogeons, c'est la nature. Nous pouvons multiplier nos expériences A l'infini; nous ne devons pas môme user de la précaution de remettre les boules dans l’ume, car ce qu’on en tire n'altôre pas les proportions de ce qui reste ; c’est moins qu'une goutte d'eau puisée dans le sein de l’Océan.

On me demande s’il naît autant de garçons que de filles. Pour me procurer les moyens de répondre et me rapprocher de l’exemple choisi précédemment, je puis assimiler chaque naissance au tirage d'une boule dans une urne dont je ne connais pas le contenu. Après un nombre sufflsant d’observations, je compterai les garçons et les filles. Supposons que cette épreuve ait été faite pendant toute l'année 1841 et dans toutes les communes rurales de la Belgique, nous aurons compté 53,437 naissances masculines et 49,788 naissances féminines. Le premier nombre est plus grand que le second, faut- il en conclure que c'est par suite d’une loi de la nature qui facilite les naissances masculinesi on bien l’excès d'un des nombres sur l'antre n’esMl qu'accidentel!

Il faut, pour acquérir plus de lumières A cet égard, recourir aux résultats d'une ou, mieux, de plusieurs années d'expériences. Le rapportées deux nombres précédents est exprimé par 106; c'est- A-dire qu’on a compté 106 naissances masculines pour 100 naissances féminines. Or, le rapport calculé pour neuf années, de 1834 A 1842, a donné A peu prés exactement le même nombre, c’est-A-dire 106,3. Il y a donc véritablement une prédominance en faveur des naissances masculines, et le rapport est A peu prés exactement tel que nous l'avons trouvé par les nombres de 1834 A 1842.

APPENDICE

L'aooord entre le calcul et l'expérience est d autant moins précis, qu’on fiait moins d'expériences.

Quand on ne fait qu'une seule épreuve, il ne saurait jamais y avoir accord entre le résultat du calcul et celui de l'expérience, même avec des boules dont on connaît le nombre et la couleur. Avant l'événement, il n'y a que des probabilités pour on contre son arrivée; et, quand l'événement s'est pro* duit, les probabilités sont remplacées par la certitude. Ainsi, avant de prendre une carte dans un jeu ordinaire, j'ai pour probabilité de prendre une flgure; et j'ai contre moi la probabilité J”. Cependant, quand la carte est tournée, ma position se trouve entièrement changée ; mes doutes ont fait place à la certitude; et si j'ai parié pour l'événement, je sais que j'ai gagné ou perdu, quelle que soit la probabilité que j'eusse en ma faveur.

Quand on fait un grand nombre d'épreuves, l'accord peut s'établir entre les résoltats du calcul et ceux de l'expérience ; mais cet accord n'est pas nécessaire. Jacques Bernoulli a fait voir qu'en multipliant convenablement le nombre des épreutes^ on peut atteindre à une probabilité aussi voisine de la certitude qu'o>i voudroyque la difftH'ence entre les résultats du calc\d et ceux de l'expérience sera resserrée dans des aussi étroites

qu"on tmtdra.

•* C'est ce que savent fort bien les gouvernements qui établissent des loteries ou des maisons de jeux de hasard. Le grand nombre de joueurs qui viennent y exposer leur argent, laissent pour les entrepreneurs, malgré les fluctuations apparentes du sort, un bénéfice qu'on pent estimer d'avance, et qui est aussi fixe que les autres revenus du trésor. Ainsi, les Recherches statistiques sur Paris nous apprennent que, de 1816 à 1820 inclusivement, la loterie de Paris a mis annuellement en circulation une somme d'environ 25 millions de francs, sur lesquels le trésor recevait un peu plus du quart.

•• Le gouvernement belge, en instituant des caisses de pensions pour les veuves et les orphelins des fonctionnaires publics, a malheureusement perdu de vue ce principe important, que les prévisions du calcul ne peuvent marcher d'accord avec l'expérience qu'autant qu'on opéra sur de grands nombres. En formant des caisses séparées pour chaque branche de service public, et en s'imposant la condition de ne jamais leur venir en aide, il a multiplié les chances des fluctuations auxquelles les caisses sont nécessai* rement assqjetties. Il devient trés*peu probable que les espérances d'un père pourront se réaliser, au sujet de la pension de sa veuve ou de ses orphelins, quand une association ne compte pas môme une centaine de membres, comme U arrive pour le haut enseignement. La suite naturelle d'un pareil état de choses, c'est que certaines caisses devront prospérer pendant que d'autres seront en souffrance; cette inégalité sera nécessaire*

APPENDICE. 485

ment ua grand mal, puisqu'elle atteindra des hommes que l'on devait cou* sidérer comme les membres d'une même famille (l).

•• C'est un principe trés-simpleet très-utile dans la pratique, que lapr^ct* sion des résultats croit comme la racine carrée du nombre des observations. Ainsi, toutes choses égales d'ailleurs, les degrés de précision sontcomme les nombres 1, 2, 3, 4, etc., quand les observations sont comme les nombres 1, 4, 9, 16, etc.

• J’ai été curieux de soumettre ce principe â l’expérience. J'ai fait jeter, dans une urne, vingt boules blanches et un égal nombre de boules noires, de sorte que la pnibabilité était la même, et égale à î, pour prendre soit une boule blanche, soit une boule noire. Après un certain nombre de tirages, le nombre des boules blanches sorties devait être égal au nombre des boules noires; on pourra voir dans le petit tableau suivant, les résultats successivement obtenus après 4, 16, 64, etc., tirages. Je dois prévenir qu'aprés chaque tirage, la boule tirée était remise dans Tume, pour que toutes les circonstances de l’expérience restassent les mêmes.

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Iji première colonne indique les nombres des boules tirées; et la seconde, les racines carrées de ces mêmes nombres. D'après le principe énoncé plus haut, ces racines expriment les degrés relatifs à la précision des résultats.

Dans les deux colonnes suivantes, se trouve l'indication des boules blanches et noires qui sont sorties de l'urne; ces nombres devraient être égaux entre eux, si la théorie et l'expérience marchaient rigoureusement d'accord. Or, la dernière colonne nous fait connaître le rapport des boules blanches aux boules noires tirées ; ce rapport devrait être 1. Mais un pareil

(I) Oci « éic impriné, ta <SI6, p*f; - Sft det LtUrtt mr ta tké»rU dei prattabiliM, apptuiufe amx Kiftutt iHoraUt et p«hU^ura, |ar A. au niirmenl où l'ou v<>Dail d« fontlfr !•« ca>Mm

dVpar|tD« pour le* omplotc* du jrou*<*rn«»niriu b dgr**. dodm lkio* dnloitr* il» calcul »'06l quc trop b»i*u jaUiliéo» |*«r cf qui irieol d'arriver b la i«ia« de IVn«rigpcn»i‘u( »up«ri«ir comme i ••«•llr dei fioaiicra Malh<»nmivmrot IViporirucf eulièff o’«il |»a «acore arhcTéo.

APPENDICE

résultat n’a été obtenu qu’une seule fols et seulement après seize tirages. Cet accord n’était qu’accidentel, tandis que nous remarquons, au milieu des oscillations des nombres, qu’il y a bien évidemment une tendance à se rapprocher de l'ouité par la multiplication des tirages.

De la mosrenne et dee limites extrêmes dans l’appréolatlon des mesures.

Qhand on se met en présence de la nature, et qu'on cherche â l'interroger, ce qui frappe au premier abord, c’est la variété inânie qu’on observe dans les moindres phénomènes. Quelles que soient les limites dans lesquelles on concentre son attention, on retouve une diversité qui étonne autant qu’elle embarrasse. Les plus simples appréciations laissent un vague, incompatible avec la précision qu'exigent les sciences. Un même objet, mesuré ou pesé plusieurs fois de suite, présente, malgré toutes les précautions que l’on peut prendre, des résultats presque toi^ours dissemblables. Nos idées cependant ont besoin de s'arrêter sur un nombre précis, sur une moyenne qui donne le résultat des observations aussi dégagé que possible de tout ce qu'il a d'accidentel.

La considération des moyennes nous est si familière, que nous l'employons, en quelque sorte à notre insu, partout où nous rencontrons des objets qui fixent notre attention et qui sont sujets à varier. Ainsi, nous ne faisons pas difiiculté d'attribuer au soleil une grandeur apparente déterminée, bien que cet astre ne soit pas vu rigoureusement sous le même angle, pendant deux jours, et l'on peut dire pendant deux instants consécutifs. C'est ainsi que nous disons encore quelle est la température des étés dans un lieu donné, bien que cette température varie à chaque instant.

La théorie des moyennes sert de base à toutes les sciences d’observation ; elle estai simple et si naturelle, qu'on n'apprécie peut-être pas assez le pas immense qu’elle a fait faire à l'esprit humain. Nous ignorons à qui elle est due; c'est ainsi que toutes les grandes découvertes se sont établies sans qu'on en ait connu les inventeurs. Tout ce que noos apprend à cet égard l’histoire des sciences, c'est qu'un peuple se servait de la découverte avant les autres. 11 en est ainsi de la numération, de l’écriture et de l'imprimerie même.

Remarquons dès à présent qu’en se préoccupant de l’idée de la moyenne pour des quantités susceptibles de varier, on a peut-être trop perdu de vue les limites entre lesquelles s’opèrent les variations. Partout où l’on peut dire plus ou moins, on a nécessairement trois choses à considérer, un état moyen et deux limites.

Sans recourir à la science, l'habitude nous donne une appréciation vague de la moyenne et des limites des variations qui appartiennent à chaque élément variable que nous présente la nature ou l’état social ; c'est d'après cette appréciation que nous nous sommes guidés dans nos raisonnements. Mais il convient aux progrès des lumières de substituer des idées précises A des notions vagues.

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APPENDICE

Il serait assez curieux de rechercher h quelle époque on a commencé é faire un usage raisonné des moyennes; il en existait assurément une idée obscure dans l'antiquité, car cette idée, comme Je l'ai fait observer déjé, est inhérente A notre nature et sert de base A presque tons nos Jugements ; mais elle ne s'est produite explicitement que très-tard, et il serait difficile de fixer, chez les modernes, l'époque de son introduction ; celle où l’on a établi en principe que la moyenne d'une série d'observations s’obtient en divisant la somme des valeurs observées par le nombre des observations. La considération des limites, en tant qu'elles complètent l'idée de la moyenne, n'a pu prendre quelque consistance que par le développement de la théorie des probabilités dans ses applications A l'étude des phénomènes naturels. L'établissement et le développement de la théorie des moyennes formeraient un des chapitres les plus intéressants de l'histoire de l'esprit humain. C'est Archimède, ce génie remarquable A tant d'égards, qui semble avoir, dans l'antiquité, le mieux apprécié l'importance des moyennes ; il en a fait un usage admirable dans la recherche du centre de gravité, dont il est l'inventeur. 11 a substitué la considération d'un point unique A celle d'un grand nombre de pointa matériels ; et cette idée si ingénieuse, qui a été ai féconde depuis, lui mériterait, A elle seule, la reconnaissance des hommes.

Quand Méton, quatre A cinq siècles avant l'ére chrétienne, vint présenter aux Grecs réunis pour célébrer les Jeux olympiques, sa fameuse période qui fut accueillie avec tant d'enthousiasme et gravée en lettres d'or. Il n'avait pu reconnaître la durée d'une lunaison et celle de l'année tropique que par un calcul analogue A celui de nos moyennes. Il en est de l'esprit comme du corps, qui marchait d'un pas sûr bien avant que l'on connût les lois de l'équilibre.

Aristote, l'on des plus grands observateurs de l'antiquité, avait également aperçu les propriétés des moyennes ; il en fAisait l'application aux sciences morales ; selon lui, les vertus consistent dans un Juste état d'équilibre ; et toutes nos qualités, dans leurs plus grands écarts de la moyenne, ne produisent que des vices. Cette doctrine avait passé de l'école des philosophes chez les poètes : Horace, parmi les Romains, en a été l'un des plus élégants et des plus aimables interprètes.

Mais combien il y a loin de ces premiers aperçus aux savantes théories que nous possédons aujourd'hui ; et cependant, il noua resta encore bien du chemin A faire pour que les brillants travaux de l'analyse moderne produisant tous leurs fruits. La plupart des observateurs, les meilleurs même, ne connaissent que trés-vagnement. Je ne dirai pas la théorie analytique des probabilités, mais la partie de cette théorie qui concerne l'appréciation des moyennes.

En cherchant une moyenne, on peut avoir en vue deux choses bien différentes : on peut chercher A déterminer un nombre qui existe véritablement, on bien A calculer un nombre qui donne l'idée le plus rapprochée possible de plusieurs nombres différents, exprimant des choses homogènes, mais variables de grandeur.

En mesurant la hauteur d'un édifice vingt fois de suite, on ne trouvera

APPENDICE

peut-être pas deux fois exactement la même valeur; cependant» on conçoit que l'édifice a une hauteur déterminée, et si on ne l’a pas obtenue exactement par chacune des opérations faites pour la reconnaître, c’est que ces opérations comportent quelque incertitude. On se borne alors à prendre la moyenne de toutes les déterminations pour la véritable hauteur cherchée. L/68 limites plus ou moins larges entre lesquelles se trouvent renfermées les mesures obtenues, dépendent du plus ou moins d'adresse de l'observateur et de l'exactitude des instruments.

On peut aussi employer le calcul de la moyenne dans un autre sens. Pour donner la hauteur des édifices qui se trouvent dans une rue déterminée, il faudra mesurer la hauteur de chacun d'eux, faire la somme des hauteurs observées, et diviser le résultat par le nombre des édifices. La valeur moyenne déterminée ne représentera la grandeur d'aucun d'eux en particulier, mais elle aidera à foi*mer une idée de leur hauteur en général ; et les limites plus ou moins larges dans lesquelles se trouveront renfermées toutes les mesures obtenues, dépendront de la diversité des édifices.

On trouve ici une différence très-notable qu'on n'aura peut-être pas saisie au premier abord, mais qui n'en est pas moins d'une grande importance. Dans le premier cas, la moyenne représentait une chose existant réellement ; dans le second cas, elle donnait, sous la forme d'un nombre abstrait, une idée générale de plusieurs choses essentiellement difTérentea, quoique homogènes.

D'une autre part, et ce point est capital, les nombres qui ont concouru à former la moyenne dans l'un et l'autre exemple, se présentent de manières bien différentes. Dans le second exemple, ils ne se trouvent liés entre eux par aucune loi de continuité; tandis que, dans le premier, comme nous aurons occasion de le voir bientôt, les déterminations des hauteurs, bien que fautives, se groupent des deux côtés de la moyenne avec une régularité telle, qu’on pourrait assigner d'avance leurs valeurs, si l'on donnait les limites entre lesquelles elles se trouvent comprises.

Cette distinction est de la plus haute importance ; J'emploierai même des mots différents pour mieux l’établir. Je réserverai le nom de moye7ine pour le premier cas, et j'adopterai celui de moyenne arithmétique pour le second, afin de faire sentir qu'il s'agit ici d'une simple opération de calcul entre dbs quantités qui n'ont pas de relations essentielles. Ces relations ne s’aperçoivent pas toujours, et quelquefois on les reconnaît là où l’on s'attendait le moins à les trouver : la moyenne arithmétique devient alors une véritable moyenne.

Quelquefois la moyenne arithmétique se calcule d’après les éléments les plus divers, sans qu'on puisse en conclure que l'idée générale qu'elle doit représenter soit sans utilité ou sans importance. Je citerai pour exemple la vie moyenne. On sait que le statisticien, quand il vent la calculer pour un pays donné, suppose que tons les individus, nés ensemble dans ce pays, mettent en commun les années, mois et jours qu'ils ont à vivre, et en font un partage égal entre eux, de manière que l'un ne vive pas plus longtemps que l'autre. Ainsi sur 100,000 individus, 9,600 ne vivent qu'un mois, 2,460

APPENDICB.

vivent deux mme, l»760 vivent trois moiSf et ainsi de suite (1). On fait la somme générale de la durée de la vie de chacun de ces individus, et Ton divise par 100,000 Le résultat de lopération donne la vie moyenne (2) : elle est d'environ 32 ans pour la Belgique comme pour la France; elle s’élève, dit-on, à 33 ans pour l'Angleterre.

On a remarqué que, par suite des progrès de la civilisation et des sciences, la vie moyenne est devenue successivement plus longue chez quelques peuples, et l'on s'en est félicité, surtout parce que l'on a pu croire que l'allongement de la vie s'est également reporté sur tous les individus; c'est en elTet ce qui se reproduit le plus généralement.

11 convient cependant de remarquer que la vie moyenne peut bien sou* vent induire en erreur; et ce qui vient d’étre dit pourrait en servir de preuve. Par exemple, de ce que la vio moyenne, en France et en Belgique, serait exactement de même longueur, il ne faudrait pas se hâter de conclure que ces deux pays sont dans les mêmes circonstances sons le rapport de la mortalité. Qu'on enlève à un homme dans la force de l'âge, à un père de famille, dix années de sa vie, pour les ajouter â la vie d’un de ses enfants mort immédiatement après sa naissance, cela ne changera en rien la durée de la vie moyenne; mais cette transposition de dix années aura une influence immense sur le sort de la famille qui aura perdu son soutien et qui, d’une autre part, comptera une personne de plus â nourrir.

Le chilfre de la vie moyenne ne donne qu'un aperçu général de la morta lité et ne peut être employé qu’avec circonspection. Il serait difllcile de citer un exemple des moyennes arithmétiques où l'on emploie des éléments plus dissemblables. Dans le calcul de la vie moyenne, on attribue, en effet, la même valenr à une année d'existence, soit pour l’enfant, soit pour Thomme mûr, soit pour le vieillard.

Maintenant, supposons que nous ayons à mesurer la hauteur de la tour de Notre-Dame, â Paris ; admettons de plus qu’au lieu de trouver la hauteur réelle, on ait obtenu chaque fois des valeurs plus ou moins différentes entre elles, mais sans qu’il existe aucune cause qui donne une facilité plus grande aux erreurs, soit en plus, soit en moins. La moyenne de toutes ces valeurs particulières présente un nombre qui n'est probablement pas la hauteur de la tour, mais qui s’en écartera peu. Je ne sais pas jusqu’où pourraient aller les limites des erreurs, si je continuais mes observations. Je substitne donc â une quantité que j'ignore, une autre que je connais; le tout est de savoir l'erreur à laquelle je m’expose.

En considérant la chose d’une manière générale, la véritable hauteur de la tour correspond au tirage d'un nombre égal de boules blanches et de

(I] \ojtt, plui Uait, ptfe ses el le* Ubie* d« niorUlitë de Belgique daot le* ÀnHUcirtt de fO^r ealeire d« BrmxeUee.

(1) La vie mo^tumê ne doit pat èlre roufoodue avec la vie prvhabl», qui iudique iiinpIeiDent l'âfe ou U populatloa •« parUfe eu d^ut partie* égalé*, l'oue plu* S|(ée et l'auirr iBoist Sgée : aia*i, |H>nr uor pertooue de SD ans, U vie prot>abl« u‘e»l pin* que de 10 au* à peu prr*. c*nl-à-dire (tuvei p. SOS) que de* 440 pertonne* qui «urviveul aui 4.000 qui forment U table, U a'eu rr»4e plu* que la moitié ou tlO ver* rife de 70 an*.

APPENDICE

boules noires : c’est-A-dire que, parmi toutes les combinaisons possibles, il se trouTerait A la longue autant de mesures plus petites que de mesures plus grandes que la Téritable hauteur cherchée, qui serait égale A leur moyenne. An lieu de cette valeur, j'en trouve une autre qui sera d'autant pins rapprochée de celle que je devais avoir, que, toutes choses égales, j’aurai fait plus d'observations. VoilA pour la précision de mon résultat floal.

Mais A cOté de la question qui vient de noua occuper, il s*en présente une autre qui est peut-être plus curieuse encore. La voici : les résultats obser> Tés ne tombent pas ioditTéremment des deux cOtés de la moyenne, mais dans un ordre déterrnhié^qui est celui assigné par une échelle de possibilité.

Ainsi quand on mesure une hauteur, entre la plus grande et la plus petite valeur obtenue, tombent les autres valeurs A des distances différentes de la moyenne, maie le plus grand nombre tombent dans le voisinage même de cette moyenne. Cela provient de ce qu'A mesure qu’on s'éloigne du véritable nombre cherché, la probabilité du résultat diminue de plus en plus, conformément A la loi qui régie la sortie de deux espèces d’erreurs dont les chances sont égales et qui peuvent se combiner de différentes manières. En supposant qu'on ait mesuré la tour de Notre-Dame un nombre de fois assez grand pour qu'on soit autorisé A croire que la différence entre la théorie et le calcul a sensiblement disparu, la moyenne de toutes les mesures donnera la hauteur cherchée. De plus, en groupant les observations par ordre de grandeur, et en procédant par différences de l décimètre, les deux plus grands groupes seront ceux qui donneront la hauteur de la tour avec une erreur de 1 décimètre en plus ou en moins. Les deux groupes suivants donneront la hauteur avec une erreur de 2 décimètres, et ainsi de suite. Plus on s'écartera de la moyenne, moins les groupes ren* fermeront d’observations.

Nous voilA en état de reconnaître à priori l'ordre qui s'établira dans les erreurs. Chaque série d'observations a son échelle particulière de possibi« Uté, comme je l'ai indiqué précédemment. La nature de cette échelle est déterminée par le nombre des observations, comme aussi par les moyens plus ou moins précis qu’on a employés pour faire les observations 11 ne faut pas oublier, du reste, que nous sommes toujours rigoureusement dans l’hypothèse que les chances de se tromper en plus sont les mêmes que celles de se tromper en moins.

N'est-il pas merveilleux que des erreurs que l’on fait accidentellement se rangent dans on ordre aussi parfait, et que des maladreses procèdent, A notre insu, avec une symétrie qui semble être le résultat des combinaisons le mieux raisonnées f

La courbe qui figure l'ordre de succession et le nombre des résultats serait identiquement la même que la courbe de possibilité, en sorte qu'une erreur plus on moins grande doit être assimilée au tirage d’un nombre de boules blanches et de boules noires s’écartant plus ou moins de l'égalité sons le rapport numérique.

Si les chances de se tromper en plus n’étaient pas les mêmes que celles

APPENDICE

de 86 tromper en moine, la courbe figurant la eucceeeion dee résultats per> draitde sa symétrie, sans cesser d'offrir encore une certaine régularité; son sommet ne se trouverait plus à égale distance de ses deux extrémités (1).

Quand on se borne à prendre une moyenne arithmétique entre différentes quantités entièrement indépendantes les unes des autres, la ligne qui figure les observations ne présente plus aucune espèce de régularité; ou si l’on en trouve une, elle ne peut être qu'accidentelle.

Prenons un autre exemple. La mesure d'une statue n'est pas aussi facile qu'on le croirait au premier abord, surtout ai l'on désire l’obtenir avec une grande précision. En mesurant dix fois de suite la circonférence de la poitrine, on n'est pas sûr de trouver deux résultats identiquement les mêmes. Il arrive presque toujours que les valeurs obtenues sont plus ou moins éloignées de celle que l’on cherche; et je suppose même les circonstances les plus favorables, celles où l'on n'aurait aucune tendance à prendre des mesures trop grandes ou trop petites.

Si l'on avait le courage de recommencer mille fois, on finirait par avoir une série de nombres qui différeraient entre eux selon le degré de précision qu'on aurait mis à les recueillir. moyenne de tous ces nombres s’écarterait certainement très-peu de la véritable valeur. De plus, en classant toutes les mesures par ordre de grandeur, on ne serait pas médiocrement étonné de voir les groupes se succéder avec la régularité la plus grande. Les mesures qui s'écartent le moins de la moyenne générale composeraient le groupe le plus considérable ; et les autres groupes seraient d’autant pins petits qu'ils contiendraient des mesures plus en désaccord avec cette même moyenne. Si l'on figurait la succession des groupes par une ligne, cette ligne serait la courbe de possibilité; ce résultat, en effet, était à prévoir. En sorte que la maladresse, ou le hasard, si nous aimons mieux ce mot pour couvrir notre amour-propre, procède avec une régularité qu'on ne serait guère tenté de lui attribuer.

Je suppose maintenant qu'on réunisse les cinq cents mesures qui s'écartent le moins de la moyenne; la demi- différence qui se trouvera entre la plus grande et la plus petite de toutes ces mesures, sera le module de la

(I] NomiiMMit 0 cl > l«« prolMbililét re*p«cliT« dra deui évéacmeou eo qoMlioo : oa «an Mccet «ivrm^Dl O rt b, poar W prob«bililét aprii aae prcmirre épreave; pour !«• probabi-

tilés apràa deux «pr^urra; aprM troii ^trror^; et eo féodral :

aprêa uo oombre n dVpnraTn.

Quiod O aéra épil à b, c’eat-à-dtre qaaod l«a deux évéoemeDU atieodua auniDi prokabiliiè,

l*M|ution précédeole preodrt la forne ploa aiiapl«

(' + î + TTï- + ' +

Iji table de poailbilité, dont lea êqttalioBa prdcédeatea iMif Beat lea valeon, aéra doac facile à vooalraire ; il iulDra de connaître le Bonbre a dea dpmivea.

APPENDICE

préciiiOD ou l'erreur probable. 11 pourrait ae faire que, daua les circonstances actuelles, cette erreur probable ne fût que d'un millimétré; en sorte que, sur les mille mesures, cinq cents seraient en erreur de moins d'un millimétré, et cinq cents autres seraient en erreur de plus d‘un millimétré. On aurait ainsi un contre un à parier qu'en prenant une nouvelle mesure, on ne s'écarterait pas d'un millimétré de la moyenne de toutes les mesures, laquelle peut être considérée comme la véritable circonférence qu'on voulait apprécier.

Si l'on avait é mesurer la poitrine d'une personne vivante au lieu de celle d'une statue, les chances d'erreur seraient plus nombreuses ; et je doute fort qu'aprés mille mesures, on trouvât encore une erreur probable de 1 millimétré. Le seul acte de la respiration, qui fait varier é chaque instant la forme et les dimensions de la poitrine, ajouterait une puissante cause d’erreur à toutes celles qu’on rencontre déjà en opérant sur une statue parfaitement immobile. Malgré ce désavantage, les mille mesures groupées par rangs de grandeur procéderaient cependant encore d’une manière trés réguliére. La ligne qui les représenterait serait toujours la courbe de possibilité, mais dilatée dans le sens horizontal, proportionnellement A l'erreur probable.

Modifions encore notre hypothèse, et supposons qu'on ait employé un millier de statuaires pour copier le Gladiateur avec tout le soin imaginable. I^s mille copies qui seront faites reproduiront-elles exactement le modèle; et en les mesurant successivement, les mille mesures que j’obtiendrais seraient-elles aussi concordantes que si je les avais prises toutes sur la statue du gladiateur même? Aux premières chances d’erreur viendraient se joindre les inexactitudes des copistes; en sorte que Terreur probable serait peut-être très-grande. Malgré cela, si les copistes n'ont pas travaillé avec des idées préconçues, en exagérant ou en diminuant certaines proportions d'après des préjugés d’école, et si leurs inexactitudes ne sont qu’accidentelles, les mille mesures, groupées par ordre de grandeur, présenteront encore une régularité remarquable et se succéderont dans Tordre que leur assigne la loi de possibilité.

On peut partir d’une antre hypothèse encore, et au lieu de mesurer un certain nombre de fois ou un modèle vivant ou une statue, mesurer un certain nombre d'hommes différents dont on prendrait la moyenne. Aux erreurs qu’on pourrait faire en mesurant se joindraient alors les différences qui proviendraient de l'inégalité des modèles. Mais en supposant que cette inégalité ne fût qu'accidentelle et ne provint que d'un développement plus on moins grand, les valeurs trouvées se rangeraient symétriquement autour du type moyen, mais dans des limites plus larges, puisqu'elles dépendraient alors A la fois de deux causes, de l’incertitude des mesures et de l'inégalité accidentelle des modèles mesurés. C’est un exemple que j’ai donné, parmi beaucoup d’autres, dans mon ouvrage ncr la théorie des probabilités appliquée axue sciences morales et politiques (l).

(1} Je oe poil qa'iodiqaet Ici W principani rè»iittaU Je i-eUe Ui^orW*. que J‘ai lievirtoppée «nio Jaoi l*o«Tr»fe que je neatioBue ici.

APPENDICE

J'ai eu l'occasion de voir et de mesurer différents nains et géants, mais dont ies taiiles rentraient parmi celies qu'indique le caicni : ces espèces de mesures exceptionnelies diminuent à mesure qu'on s'éloigne de la grandeur moyenne. Les géants anciens même et les nains, ceux du moins dont la mesure a été fidèlement reproduite, ne forment pas exception à la loi de développement de l'homme.

INTRODUCTION

P»fe«.

Sur la THtoRU DSS HROBABlLiTis et tel applications aux sciences

physiques et sociales, par sir John Hkrscbbl 1

Origine de U science dea probabiiités. — Principales ddflnitiona. — Probabilité et poeeibilité d'un éTénement, p. 4. — Première promotenra de ia science des probabilitéa, — Blaiae Pascal, Fermât, Huygens, Leibnitz, Halley, Moivre, les Bernoulli, Laplace, etc,, p. 13. — Êcrirains modernes et principaux TulKarisateors, p. 18. — Trasaui sur la thdorie des probabilitds par A. Qnetelet ; examen de ses principani onvrages, p. 21. — Calculs de la probabilitd; tables à cet effet, p. 25. — Eiemples diTers sor la grandeur de l’homme, la dimension de sa poitrine, son poids anx diffdrents âges, etc., p. 34. — Probabilitds pour les phépomSaes moraux et InteUectoels. — Ganses constantes, causes Tarlables et causes accidentelles, p. M. — Eaemples donnés par rastronomie. par la physique, par l’horticulture, etc., p. 56. — Physique sociale et phénomènes relatifs A l’homme et a la société, p. 63. — Statistique des tribunaux, des maladies, p. 12. — Importance de la physlgna sociale, p. 88.