EN FACTEURS FINIS

Pas le produit de plusieurs facteurs a pour logarithme la somme des logarithmes de ces facteurs, ce qui nous présente un moyen court et simple de trouver les logarithmes, lorsque les quantités naturelles peuvent être facilement décomposées en facteurs dont les logarithmes soient connus, je vais exposer une méthode générale pour une telle décomposition : ses attributs sont : 1° qu'elle s'effectue presqu'aussi aisément qu'une seule division, 2° que les facteurs qui en résultent sont nécessairement compris dans les limites des deux tables ci-après.

Concernantces tables, ellescontiennentleslogarithmes, à vingt décimales, des nombres depuis 1, 00000 000001 jusqu'à 9, y exclus tous les nombres entremédiaires dont la fraction décimale a plus qu’un chiffre significatif. La première d'elles est pour les logarithmes vulgaires,

et la deuxième pour les hyperboliques; celle-ci a, au surplus, les logarithmes des nombres décuples, depuis 10 Jusqu'à 1 00000 00000 00000 00000.

Décomposition des grandeurs numériques en facteurs.

. Soient a, b,c, d, etc., les composans d'une somme 7 : on aura

b LE

@+DX 1 =atite,

d RS recu Su

etc. SE

La démonstration de ce théorème est si simple, qu'il suffit de diviser le deuxième membre de chacune de ces équations par la somme de tous les composans, excepté le dernier, du même polynome, et de multiplier le quotient par le même terme qui a divisé auparavant, pour obtenir le premier membre respectif

des équations comprises dans le théorème : ainsi a+b

2 a nant de

valeur primitive) = a X 12 ; donca+b=ax1:

il en est de mème des autres équations.

; b c Nota. Les expressions 1-, 1 —— , etc. valent cellesa” a<+b ; b C , Ci, 1+-,1+——, etc L'on devra entendre la a a +b

même chose partout où l'on trouvera une fraction algébrique precédée de l'unité.

Que les composans susdits a, b, c, d, etc. ayent des valeurs successivement plus petites; les quotiens b (ot d de pa ; de ae , de atbkec Que b soit une quantité décimale en rapport de l'unité de la valeur de a; que c soit pareillement en rapport de l'unité de a + b, ainsi des autres, ces

fractions seront des fractions décimales.

Que, enfin, le numérateur de b et la valeur de a soient des quantités aliquotes, ainsi que celui de c et a+ b, celui d deeta+b+c, etc., dont la raison ne soit pas plus que d'un chiffre; nous aurons, en ajoutant à ces quotiens une unité, des facteurs de 7 qui seront compris dans lesdites tables ci-après.

Voici comment on obtient ces sortes de quotiens.

Qu'il soit proposé de décomposer 871. Je commence par retrancher de 871 le premier chiffre 8, dont je me sers pour diviser 0,71, en disposant l'opération comme dans l'exemple suivant.

Je fais, après, une division, qui ne diffère des divisions ordinaires qu'en ce, qu à chaque chiffre que je pose au quotient, j'ajoute au diviseur la même quantité que J'ôte du dividende, c'est-à-dire le produit du diviseur par le dernier chiffre posé.

Je cesse d'ajouter ce produit, lorsque j'ai au quotient deux ou trois chiffres plus que la moitié de ce qu'il m'en faut au logarithme, parce qu'il n'influe plus rien sur les chiffres qu'il me reste à poser, et je divise tout

, etc. seront des fractions.

simplement le reste par le nombre des premiers chiffres,

qu'il me faut à peu près.

CHAQUE chitfre QUOTIENT. DIVISEUR. du quotient. DIVIDENDE.

ne D Rd EE nn.

Baies sise 080 O7 Produit de 8 paro,08+ ,64....ss.sossssouses cc... — 64 Somme 0... BD isisestess 0e 8..reste °7 Pr. de 864 par 0,008+ .6912.....se.sesoseorsose — 6912 Somme ........ 870012 sisi ess 1..reste ,...88 Produit, etc......... + +87 0912... sosooosos — + ..87 0912 Somme ........ 8,70999 0912... sO1,..70ste ,.... 0088 + ..... 87099 90Q12. eee — + ve 87099 00912 Somme ........8,70999 96219 go912..04..reste ,..., .3780 09088

Produit...

Reste iii ane °.296 09104

Ayant déjà huit chiffres au quotient, et ne voulant, par exemple, que douze chiffres au logarithme, je cesse d'ajouter le produit au diviseur; je prends 8,71 pour 8,70999 96219 90912, qui est la dernière somme, et je divise par 8,71 le dernier reste 0,00000 00296 09104, afin d'obtenir encore les quatre chiffres 3399, que jajoute à la partie 8,08810104 du quotient: déjà trouvée.

2. Parle type de cette opération on voit : 1° (dans la colonne du diviseur) que 8 est le premier composant de 7, que 0,64 en est le deuxième, que 0,06912 en est le troisième, et ainsi de suite; de manière que tous ensemble forment la somme 7 — 8,71, ou du moins ils n’en diffèrent que d’une quantité très-petite, qui ne

peut produire aucune altération au logarithme; 2° que 8 et 64, 864 et 6912, 870912 et 870912, etc., sont nécessairement des quantités aliquotes, dont la raison n'est que d’un seul chiffre, et que ce chiffre est une fraction décimale, qui a la même valeur qu'il affecte à la place où il a été posé au quotient; 3° que chaque chiffre du quotient, considéré tout seul à sa place, est le quotient respectif et parfait de

64, 6912. 870912 etc. ,

qui est ce que nous avons nommé en général

Co, 4 etc, a+b a+b+c

et que, en ajoutant, enfin, une unité à ces quotiens, on aura des facteurs de 7 compris dans les tables annexées. La somme donc des logarithmes de ces facteurs sera le logarithme du nombre proposé.

Les facteurs de 8,71 sont, | Etleurs respectifs log. vul-

suivant cette méthode, gaires, pris dans la table première,

8, 0,90308 99869 9104 1,08 3342 37554 8605 1,008 346 05321 0951 1,0001 4 34272 5086 1,00000 1 4342 9426 1,00000 004 173 7178 1,00000 0003 13 0288 1,00000 00003 1 3029 1,00000 00000 9 3909 1,00000 00000 09 391 Somme log. vulg. 8,71... 0,94001 81550 0747

ou bien, en ajoutant 2 à la caractéristique, à cause que nous avons fait 8,71 au lieu de 871,

log. vulg. 871 — 2,94001 81550 07.

Les logarithmes de ces mêmes facteurs, pris dans la table 2me, sont

Somme log. hyp. de 8,71......... 2,160447 17908 63972 + log. hyp. de 100...,........... 4,60517 01859 880og1

Somme log. hyp.871.......,..... 6,76964 19768 52.

ei

Soit pour deuxième exemple 0,00247 — 7; et cherchons son logarithme à vingt décimales.