WHO

à triple articulation

à double articulation

articulation

(à clef articulée)

loi

èle, et la dilatation. Coefficient de correction (i36).

on K qui doit affecter la partie prtocipsle lée âne & one canse qnelconqne

A. Détermiuaiiou graphique des moments fléchissants qui se manifestent dans une poutre droite à deux appuis simples, pendant le passage d'un convoi de poids isolés circulant lentement.

B. Courbe décrite par un câble sollicité par son propre poids.

C. Ponts suspendus rigides à double articulation. Calcul des poutres auxiliaires des ponts suspendus.

D. Détermination directe des surcharges partielles les plus défavorables pour un pont en arc.

.. Itétermliintlon ^rttpltlqae dea* moments 11^ ««■tut* «ful se manifestent danii une poutpc Ite A deux t«ppul« «Impies, pendant le passai*' B convoi de poids IsolAs cli-enlant lentement*

)aii3 les formules que nous avons données pour le calcul poutres droites à travées indépendantes, nous avons tous supposé que la surcharge, couvrant en totalité ou en ie le tablier du pont, était répartie uniformément suivant rizontale ; c'est l'hypothèse généralement admise dans e élude de pont métallique.

n peut toutefois se proposer de rechercher les efforts iloppés dans une poutre droite par une surcharge com- 10 de poids isolés distrihués suivant une loi quelconque, exemple, par un train de chemin de fer, composé de culcs de poids très différents, qui ne serait nullement [nilahle à une surcharge uniformément répartie. es formules générales du n" 29 permettent d'effectuer I difficulté le calcul des moments fléchissants développés ( une poutre droite pour nue position déterminée du con- •ur le pont ; colles des n" 45 et 45 bis permettront égalet dans la même hypothèse de déterminer tous les efforts se manifestent dans les cordes et les barres d'une poutre ricainc. Mais il serait intéressant d'effectuer ce calcul r chaque section transversale de la poutre dans l'li)'poe la plus défavorable, c'esl-à-diro en disposant le convoi le pont de toile manière que l'effort, développé dans la ion considérée, atteignît sa valeur maximum.

PONTS MÉTALUQUES.

On y arrive sans difficulté à l'aide d'une construction géométrique très simple imaginée simultanémentpar M. Culmarm^ professeur à TEcole polytechnique de Zurich qui Ta donnée dans son Traité de statique graphique, et par M. Bresse {Annales des ponts et chaussées, 1877, 2" semestre), auquel nous empruntons la présente note.

Supposons que le convoi de chemin de fer, dont la longueur prise arbitrairement peut dépasser Touverture du pont, Se compose des poids isolés 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 se succé-

Fig. 293.

dant à des intervalles figurés sur la droite horizontale XX'. Portons successivement sur une droite verticale Y Y les longueurs représentatives de tous les poids 01, LU, II. III, etc. ; et VIL VIII. La longueur O. VIII figure le poids total du convoi. Soit S un point quelconque du plan situé à une distance arbitraire ST de la verticale YY; joignons S.I, S.II, S. m... etc. Par un autre point quelconque U du plan, menons une parallèle à la droite S. 0, que nous prolongerons jusqu'à son point de rencontre V avec l'ordonnée du point i; à partir du point 1' menons une parallèle à S.I, que nous prolongerons jusqu'à son point de rencontre 2' avec l'ordonnée du point 2, etc., etc., jusqu'au point 8' situé sur l'ordonnée du point 8, à partir duquel nous mènerons une parallèle à S.VIH.

Le polygone U 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' W est un polygone funiculaire relatif au convoi de poids isolés que nous avons considéré. C'est la figure d'équilibre d'un câble flexible qui, fixé invariablement en deux points quelconque des droites Ul' et 8' W, serait sollicité partons les poids qui composent le convoi. La traction horizontale exercée par ce câble sur ses culées serait figurée par la longueur ST, et les efforts normaux développés dans ses différents éléments seraient représentés par les longueurs des droites parallèles issues du point S ; ainsi, Teffort développé dans l'élément 4' 5' serait égal à la longueur S. IV.

On pourrait évidemment imaginer un nombre infini de polyg3nes funiculaires correspondant au même train, en faisant varier arbitrairement la position du point T sur la droite YY, et la longueur de riiorizontale ST. En remplaçant le point S par le point S' symétrique par rapport à la droite YY, et effectuant exactement les mêmes constructions que dans le cas précédent, nous obtiendrions une courbe funiculaire symétrique de la courbe U V 2' 3' 4' 5' 6' T 8' W par rapport à une direction horizontale ; cette courbe représenterait non plus un câble flexible^ mais un arc dont les

différents éléments, symétriques del'2', 2'3'.. , seraient en

équilibre sous l'influence d'efforts normaux développés par les poids isolés 1, 2, 3, efforts normaux dont l'intensité serait encore donnée par les distances de S' aux différents points de division de la droite YY.

Les droites S'WIII et S'O figureraient les réactions obliques exercées par l'ouvrage sur ses culées, la composante horizontale ST étant la poussée de l'arc.

Considérons maintenant une poutre droite AB de longueur donnée / : supposons que le convoi occupe sur le tablier de l'ouvrage la position indiquée par la figure, de telle sorte que les poids 1,2, 3 et 4 soient placés sur le pont, les autres poids étant encore en deçàdela culée B. Menons les ordonnées verticales qui passent par les extrémités A et B de la travée ; soient a et b leurs points de rencontre avec la courbe funiculaire ; joignons ces deux points par une droilô. Le moment fléchissant en un point quelconque M de la poutre s'obtiendra en effectuant le produit de la portion mn de l'ordonnée

verticale menée par M comprise entre la corde ab et le polygone funiculaire, par le poids représenté par la longueur ST. Comme cette longueur ST peut être prise arbitrairement, rien n'empêche de la choisir égale à Tunité; la longueur mn représente alors précisément à Téchelle convenue le moment fléchissant développé en M par le convoi 1, 2, 3, 4 que porte la poutre AB.

Nous renverrons pour la démonstration de ce théorème au travail de M. Bresse ou au Ti^aité de statique graphique de M. Maurice Lévy (p. 179). Supposons à présent que le convoi oontinue sa marche en s'avançant sur le pont ; le moment fléchissant développé en M va nécessairement varier. Proposons-nous de trouver la position du convoi pour laquelle il atteindra son maximum. Le mouvement relatif du convoi et de la poutre peuts'obtenir indifféremment en supposant le convoi mobile et la poutre fixe, ou inversement le convoi immobile et la poutre animée d'un mouvement de translation.

Adoptons ce dernier moyen pour simplifier la figure. Lorsque la poutre sera venue en CD, le moment fléchissant développé en M' (nouvelle position du point M) sera représenté par la longueur verticale n'm' mesurée entre la co-dc cdoX la courbe funiculaire.

Do même, la poutre étant venue en EF, le moment fléchissant en M" sera égal à la longueur m^n" ,

En résumé il est très aisé de construire une série de cordes ab^ cd, ef, etc., ayant toutes une projection horizontale égale à / et correspondant par conséquent à des positions successives de la poutre. On reconnaîtra au premier coup d'œil ou à l'aide de mesures prises sur l'épure, la corde pour laquelle la longueur de l'ordonnée correspondant à un poids choisi sur la poutre atteindra son maximum. En faisant la même opération pour une série de sections transversales de la poutre, on résoudra le problème posé au début de cetle note ; on aura en effet déterminé en chaque point le moment fléchissant maximum dû au convoi mobile placé de la façon la plus défavorable. On pourra d'ailleurs avoir une exactitude aussi parfaite qu'on le voudra en traçant une série de cordes très rapprochées dans le voisinage du maximum, afin

d'obtenir plus sûrement sa valeur exacte. Dans le cas présent, le maximum du moment fléchissant en M s'obtiendrait sans aucun doute pour une position de la poutre voisine de CD.

11 est bien évident d'ailleurs que la position du convoi, qui dans la poutre droite AB correspondrait au moment fléchissant maximum développé dans la section M, est également celle qui, pour une poutre américaine AB de longueur égale / développerait en M, dans les deux cordes, les efforts normaux maxima. Cette épure est donc applicable à toutes les poutres droites à travées indépendantes .

Elle permet aussi de trouver immédiatement la réaction verticale exercée parla poutre sur Tun de ses points d'appui ; proposons-nous par exemple de déterminer la réaction verticale exercée en C par la poutre CD. Il suffira de prolonger Télément de courbe funiculaire 3' 2' rencontré par la corde cdy ainsi que cette corde elle-même ; portons sur c 2' la longueur cr égale à S. III et menons par ;• une verticale qui coupe en/ le prolongement de cd, La longueur //représente précisément la valeur de la réaction verticale exercée par la poutre CD sur l'appui C.

Nous remarquerons en terminant que les courbes représentatives des moments fléchissants dans les poutres droites à travée unique appuyées ou encastrées à leurs extrémités^ dont il a été question aux n°' 29, 20, 31, 68, sont tout simplement des courbes funiculaires correspondant aux surcharges considérées. On a vu que, dans le cas d'une surcharge uniformément répartie suivant l'horizontale, la courbe funiculaire est toujours un arc de parabole à axe vertical .

L'étude que nous avons faite des déformations des câbles des ponts suspendus, sous l'action de surcharges concentrées ou réparties suivant l'horizontale d'une manière absolument quelconque, conduit à des formules permettant également de tracer les courbes funiculaires qui correspondent à ces mêmes surcharges ; la courbe décrite par un câble flexible sous l'action d'une série de poids quelconque est effectivement une des courbes funiculaires correspondant à ces poids. Cette courbe est ici déterminée par les positions relatives des

points d'attache du câble et par la longueur de ce dernier. Ces deux données permettent de calculer la poussée ST et les réactions sur les appuis OT et T. VIII; on est donc dans les mêmes conditions que si l'on donnait la position du point T et la longueur de la droite ST, ce qui suffit pour déterminer la courbe funiculaire. Enfin , nous ajouterons que les courbes, dénommées par nous courbes des pressions dans Tétude des ponts en arc, sont encore des courbes funiculaires correspondant aux charges et surcharges considérées; ces courbes sont ici déterminées par les directions des réactions obliques exercées par Tare sur ses culées, directions que le calcul de la poussée fait connaître. Connaissant dans la figure 293 les directions des droites S. VIII et SO, on voit que la position du point S est bien définie, et que la courbe funiculaire ne présente plus d'indétermination. Nous en concluons que dans un ouvrage métallique quelconque à travée unique le moment fléchissant développé dans une section choisie arbitrairement est proportionnel à la distance verticale qui existe entre le centre de gravité de cette section et une courbe funiculaire correspondant à la charge et à la surcharge considérée. Nous avons donné dans chaque cas étudié par nous le moyen de tracer cette courbe funiculaire que nous appelions en parlant des poutres droites la courbe représentative des moments fléchissants, et en parlant des arcs la courbe des pressions.

B. C:oup]>e d^oplte pm* un cAble sollicita pAi-

son propre poici». — Dans Fétude que nous avons faite des ponts suspendus, nous avons admis sans démonstration que les courbes décrites par les câbles étaient toujours des paraboles. Cela est rigoureusement exact, lorsque la charge supportée par le câble est répartie uniformément suivant rhorizontale ; cela cesse d'être vrai lorsque la charge est répartie uniformément suivant la fibre moyenne des câbles, ce qui est le cas pour un câble sollicité par son propre poids. La courbe funiculaire décrite diffère alors d'une parabole : c'est une chaînette à axe vertical, qui, rapportée à sa tangente horizontale au sommet et à son axe vertical (fig, 450), a pour équation :

^ désigne ici la base des logarithmes népériens, c'est-àdire le nombre incommensurable 2,71828.... m est un coefficient que Ton détermine à Faide des coordonnées a et 6 du point d'attache du câble :

On peut résoudre cette équation à Taide d'une table de logarithmes hyperboliques ou népériens, en remarquant que l'on

a : Log. nép. c"* = -, et ^ ^ m

La longueur OM d'un arc de chaînette mesurée à partir du point 0, est donnée par la*relation :

s TT I ,w

D'après M. Debauve (Manuel de Pingénieio* des ponts et chaussées j 11® fascicule, page 270), on aurait également :

D'où l'on tire :

Cette formule, comparée à la dernière formule du n* 93, montre qu'à égalité d'ouverture a et de longueur 5, la flèche b de la chaînette est plus petite que celle de la parabole. La

différence est d'autant plus faible que le rapport - est plus réduit. Nous avons donc pu supposer sans erreur appréciable que la courbe décrite par un câble de retenue, dont la flèche est toujours minime, est une parabole, Técart entre la parabole et la chainetle étant toujours négligeable dans ce cas.

Lorsque l'on monte les câbles principaux d'un pont, ceuxci, avant que le tablier n'ait été posé, sont sollicités unique-

ment par leur propre poids : il en résulte que la courbe décrite par eux est une chaînette et non une parabole. La

différence peut être sensible, lerapport^» qui diffère peu en

général de ^' ayant une valeur assez élevée.

M, Debauve a calculé que, pour un pont ayant 200 mètres d'ouverture et 20 mètres de flèche, la différence entre la flèche de la chaînette et celle de la parabole pourrait alteindre 0'".29.

C Ponts suspendus rlsidc<s ^ double uptlculAtion. — C^alcul des poutpes aux^lllalpes des ponts

suspendus. — Nous avons parlé précédemment (104) du pont suspendu de MantiheimAoni les deux chaînes sont reliées

par une triangulation

TV >/r* ^^ assure à T ouvrage

\v.^^ ^^ une certaine rigidité.

^V^;>T^-.--j„---7<^^^'^ Considérons un ou-

vrage semblable (fig.

294), qui serait con- ^^^^S'^il^:^^^^^ stitué par deux câbles

^^^"^^ ^^^^^ ^^ chaînes formant

^.>^ ^Vv cordes supérieure et

Tf g"^ inférieure, reliées par

P'g- 294. une série de barres

formant triangulation. L'analogie qui existe entre ce pont suspendu et le pont en arc à double triangulation, que Ton obtiendrait en traçant la figure symétrique par rapport à une horizontale H H, est évidente.

Il saute aux yeux qu'après avoir calculé l'un des ouvrages, on peut utiliser sans modification tous les résultats obtenus pour la détermination des éléments constitutifs de l'autre, en supposant que la charge et la surcharge présentent identiquement la même valeur, à condition de changer les signes de tous les efforts, et par suite de substituer partout aux pressions des tensions de même intensité ^{.vice-tersâ (122).

Le calcul du pont suspendu rigide AS A' pourra donc

KOTRS ANNEXES. 521

se faire sans difficulté par la méthode et les formules applicables à un arc à double articulation, et Ton pourra également se servir des tables numériques de M, Bresse, données précédemment, qui conviennent aussi bien aux ponts suspendus rigides circulaires à section constante et articulations aux extrémités, qu'aux arcs à double arliculalion. L'écart entre la parabole et l'arc de cercle est assez faible pour qu'on puisse le négliger sans grand inconvénient dans le calcul delà poussée.

Comme on n'exécute guère de ponts de ce type (puisque le seul exemple connu de nous est le pont de Mannheiniy construit en 183S, dont la rigidité est d'ailleurs insuffisante, vu le trop faible écartement des deux chaînes), notre remarque serait sans intérêt pratique, si elle ne fournissait un moyen de calculer les poutres auxiliaires ou poutres de rigidité des ponts suspendus américains, au sujet desquelles nous n'avons donné précédemment (104) que des indications vagues et insuffisantes, en conseillant simplement de se baser, pour le choix de leurs dimensions, sur les exemples existants. Cette règle empirique, qui est peu satisfaisante et exclut tout progrès, est d^autant plus difficile à appliquer qu'il y a de grandes divergences entre les ponts existants, et qu'on peut se trouver très embarrassé dans le choix de l'exemple à imiter.

Supposons que nous ayons calculé les dimensions du câble

principal A S A' d'un pont suspendu, de façon qu'il puisse résister dans de bonnes conditions à l'effort normal résultant de la /\/\/\/\/\X\7\| charge et de la sur-

Fig. iSio. charge complète {fig,

Il s'agit de trouver les dimensions qu'il conviendrait d'attribuer à la poutre auxiliaire du pont pour que la courbe décrite par le câble principal restât sensiblement invariable, sous l'action d'une surcharge partielle quelconque. Supposons un moment que le cable ASA' soit devenu rigide de

522 PONTS MÉTALLCQUES.

telle sorte que la courbe parabolique qu'il décrit reste invariable en toute circonstance : nous aurons alors un pont suspendu rigide articulé à ses extrémités A et A', et nous pourrons calculer, à l'aide des méthodes applicables aux ponts en arc (138-139), le moment fléchissant maximum qui serait développé dans une section transversale quelconque du câble rigide par la surcharge partielle la plus défavorable. Il n'y aura qu'à suivre exactement la marche indiquée pour les arcs : les résultats auxquels nous arriverons seront semblables à ceux représentés sur la figure 223, avec cette différence que nous ne nous occupons à présent que du moment fléchissant^ tandis que, dans la figure 223, on a ajouté à l'effort du moment fléchissant celui de l'effort normal développé par la surcharge partielle. Nous laissons ici de côté l'effort normal, nous bornant à chercher le maximum du moment fléchissant seul.

Rendons maintenant au câble A S A' sa flexibilité première, mais accolons-lui une poutre curviligne aa' b'b établie en vue de résister convenablement aux moments fléchissants calculés précédemment, la fonction du câble flexible se bornant à supporter en totalité l'effort normal. La réunion du câble flexible et de la poutre parabolique constituera un ouvrage suspendu rigide, et si chacun de ces éléments remplit bien le rôle qui lui est attribué, les déformations ducs aux surcharges partielles seront égales à celles que subirait un pont en arc ayant les mêmes dimensions principales.

Comme d'ailleurs la poutre curviligne n'a d'autres fonctions que de résister au moment fléchissant, elle ne transmet aucun effort aux culées A et A', le moment fléchissant étant toujours nul aux points d'attache du pont suspendu : on peut donc sans inconvénient arrêter la poutre à une certaine distance des maçonneries. Rien n'oblige même à lui faire épouser exactement la forme parabolique du câble ; on peut l'en séparer ^t lui donner une ^direction rectiligne horizontale, à condition bien entendu de la relier au câble de telle manière que celui-ci ne puisse se déformer sans que la poutre fléchisse.

En somme, la poutre auxiliaire des ponts américains est l'équivalent d'une poutre parabolique rigide qui serait juxta-

posée au câble et aurait pour rôle spécial de résister aux moments fléchissants développés par les surcharges partielles, dans rhypothèse de Tinvariabilité de la courbe décrite par le câble. Elle peut donc se calculer à Taide des formules relatives aux ponts en arc à double articulation. Il convient de remarquer que les variations de température n'ont aucune influence sur ladite poutre dont les extrémités ne sont pas fixées aux culées.

Nous résumons ce qui précède dans la règle pratique suivante :

La poutre auxiliaire d'un pont suspendu, pour remplir exactement son but, qui est de donner au pont la rigidité qu'aurait un pont en arc, devra avoir la même section transversale qu'un arc à double articulation, qui, avec la même ouverture et la même flèche que le pont suspendu, aurait été calculé de manière à résister, sans dépasser la limite de travail admise, aux moments fléchissants maxima développés par les surcharges partielles les plus défavorables. En donnant à la poutre plus de rigidité, on dépasserait le but sans aucune utilité : en lui en donnant moins, ce qui reviendrait à diminuer sa hauteur, on resterait en deçà, et Ton n'assurerait au pont qu'une rigidité relative.

Remarquons que la poutre joue ici, par rapport au câble du pont suspendu, un rôle identique à celui qui est attribué dans les ponts en arc aux tympans rigides, dont nous avons précédemment condamné Temploi. L'usage de la poutre se justifie ici par l'impossibilité de donner directement de la rigidité au câble. La poutre auxiliaire présente sur les tympans rigides l'avantage d'avoir une hauteur constante, qui ne s'annule pas au milieu de l'ouverture, où elle est le plus nécessaire ; par contre, elle présente Tinconvénient d'être reliée d'une manière médiocre au câble par les tiges de suspension qui ne s'opposent qu'aux déplacements verticaux et non aux déplacements horizontaux ; il en résulte que la poutre auxiliaire ne soustrait pas le câble aux oscillations longitudinales ou transversales, ce qui constitue une infériorité réelle par rapport aux ponts en arc. Les oscillations longitudinales peuvent être combattues et supprimées par l'emploi des haubans, et les oscillations transversales par l'emploi de câbles

524 PONTS MÉTALUQUES.

auxiliaires de contreventement placés dans des plans sensiblement horizontaux.

D. — I>^toi*iiilitattoi& diroctc de» surcbapgfes paptiellei» les plus défa.vora.]>lCMS pour un pont en are*

— Nous avons vu précédemment (138) qu'à une section transversale déterminée d'un arc quelconque correspond, pour chacune des deux semelles, une surcharge partielle particulière qui est la plus défavorable, c*est-à-dire qui produit au point considéré Feffort maximum de compression. Nous avons montré comment la méthode de calcul applicable à tous les ponts en arc, que nous avons développée au n* 138, faisait connaître, pour chacune des sections transversales et chacune des semelles de Tare, la surcharge défavorable correspondante. Mais, pour en arriver là, il faut appliquer complètement la méthode, ce qui est très long et exige beaucoup de travail, soit que Ton se serve uniquement des formules algébriques, soit qu'on ait recours pour abréger à des constructions géométriques. Dans ce dernier cas cependant (139), il est facile de reconnaître immédiatement les limites des zones correspondant aux surcharges défavorables au début même de TappUcation de la méthode géométrique, lorsque Ton a tracé [fig. 220) la courbe enveloppe des courbes des pressions ou courbes funiculaires relatives à tous les poids isolés appliqués à Tare.

Si Ton se propose uniquement d'étudier la répartition des surcharges défavorables, une méthode, due à M. Wirikler, dispense d'effectuer tous les calculs de stabilité de l'arc, et fournit immédiatement le résultat cherché. Ce qui suit est

extrait textuellement de la Théorie des arc^

à rotation libre sur les appuis de M, Maurice

Kœchlin, ingénieur des arts et manufactures :

c'est de ce travail, inséré en 1882 dans les

\. i^' ^ Annales des travaux publics y que nous avons

tiré la présente note. Soient M N la section

transversale quelconque d'un arc, G son cen-

Fig. 296. tre de gravité et K le point où la section est

rencontrée par la courbe des pressions correspondant à un

poids isolé appliqué à l'arc : appelons F l'effort normal déve-

loppé par ce poids isolé dans la section M N, et y la distance du point.K au point G. Le moment fléchissant relatif à la section est égala Fy. Le travail développé danslafibre extrême N de la section est, dans le cas représenté par la figure, égal à

F Yvii* — g H — -. — > en appelant il et I Taire et le moment d'inertie

de la section transversale, et u' la distance NG.

Si cette expression représente un effort de compression, elle doit avoir une valeur négative :

F , Yyu' ^

ou :

Mu'

Par conséquent, pour que le travail développé en N soit une compression et non une tension, il faut et il suffit que la courbe des pressions rencontre la section transversale M N en un point situé en deçà du point m dont la distance

à G est égale à -- — ,' De même pour que l'effort développé

en M soit une compression, il faut et il suffit que le point K ue soit pas situé au delà du point n, dont la distance au centre de gravité est égale à fr- '

Ces deux points w et n sont, on le voit, très faciles à trouver. Supposons la section symétrique; alors u et u' =^»

et Ton a :

Mil

On sait que I = ûy*. Le rayon de giration ;• est toujours

plus petit que la demi-hauteur - de Tare, dont il diffère

toutefois très peu lorsqu'il s'agit d'une section à double té. On a donc :

Donc les points m et n sont toujours compris entre G et les

fibres extrêmes M et N : par conséquent, lorsque la courbe des pressions sort de la section transversale, c'est-à-dire lorsque

Ton ay> ^' on est toujours absolument certain que la fibre

extrême la plus éloignée du point K travaille à l'extension.

Supposons maintenant que Ton ait déterminé, pour toutes

les sections transversales d'un arc quelconque articulé à ses

deux extrémités A cl A', les point m et n précédemment définis [fig. 297); les deux lignes pointillées de la figure représentent les lieux géométri- Fifif- 297. qixes de m et de n.

Soit M N une section transversale quelconque : d'après ce que nous avons dit plus haut, toute surcharge, dont la courbe des pressions rencontre la section transversale M N en un point situé entre les deux courbes pointillées, développe un travail de compression dans toutes les fibres de la section : toutes les fois au contraire que le point de rencontre est en dehors de la zone m n limitée par ces courbes, il y a compression dans la fibre extrême la plus voisine et tension dans la fibre extrême la plus éloignée.

Supposons que nous 'ayons tracé (Jig, 220) la courbe enveloppe R R' des courbes de pression correspondant à tous les poids isolés appliqués sur l'arc. Menons les droites A m, A/î, A' m et A' w, et prolongeons-les jusqu'à leur rencontre avec la courbe RR'. D'après ce que nous venons de dire, tout poids appliqué en un point situé entre C et D produira en N un effort d'extension, car la courbe des pressions correspondant à un pareil poids coupera la section M N en un point situé au-dessus de m : donc la surcharge la plus défavorable pour la semelle inférieure N de la section transversale M N s'étendrait de R' en C et de D en R ; au contraire la surcharge couvrant la partie du tablier comprise entre C et D produirait en N le travail maximum à Textensionk

De même la surcharge la plus défavorable pour la fibre M s'étendrait de B en R, et l'on obtiendrait le travail

maximum à l'extension en surchargeant le tablier "de R' en B.

En résumé, après avoir tracé les deux courbes A' m A et A' /i A, îi suffit, pour connaître la surcharge la plus défavorable pour la fibre extrême N d'une section transversale quelconque, de joindre le point m aux articulations A et A'. Les points où ces droites rencontrent la courbe R R' limitent précisément les zones qui correspondent à la surcharge la plus défavorable au point de vue du travail à la compression et du travail à Textension.

Il convient donc, pour obtenir le renseignement que Ton cherche, de compléter la figure 220 du n"* 139 en traçant les deux courbes A m A' et An A', que pour plus de simplicité on peut, en général sans erreur sensible, remplacer par le contour apparent de Tare, si la section transversale de cet ouvrage est un double lé symétrique,

La recherche de la surcharge la plus défavorable au point de vue de Teffort tranchant est encore plus facile à faire *^i»- 298. \fig^ 298), et n'exige

le tracé d'aucune courbe nouvelle.

Soient mn une section transversale de l'arc et G L la verticale qui passe en son centre de gravité G ; abaissons sur cette section une perpendiculaire AP du point d'articulation le plus voisin A; cette perpendiculaire coupe la courbe RR' en K. Il est facile de reconnaître immédiatement que tous les poids appliqués entre R' et K et entre L et R développent dans la section mn des efforts tranchants de même signe el de signe opposé à l'effort dû à un poids quelconque appliqué entre K et L. Les deux cas de surcharge les plus défavorables à considérer sont donc : 1** la surcharge couvrant la zone KL; 2° la surcharge couvrant simultanément les zones R'KetLR.

Ces constructions sont très simples : elles peuvent s'effectuer immédiatement sans épure ni tracés nouveaux, lorsque l'on calcule un arc parla méthode géométrique. Dans le cas

OU Ton a recours à la méthode algébrique, elles fournissent un moyen rapide et commode de vérifier les résultats des calculs, en constatant la concordance entre les surcharges défavorables auxquelles a conduit Temploi des formules algébriques et celles que fournissent les constructions géométriques qui précèdent.

Ce que nous avons dit s'appliquerait tout aussi bien à un arc encastré ou demi-encastré qu'à un arc articulé : on sait que dans ce cas les courbes des pressions ne passent pas aux centres de gravité A et A' des sections extrêmes de Tare. Aussi est-il nécessaire de calculer non seulement la poussée due à chaque poids isolé, mais encore le moment fléchissant aux naissances, ce qui permet de déterminer le point de passage de la courbe des pressions au droit de Textrémité de Tare. Ce calcul effectué, rien n'empêche de tracer les deux droites qui constituent la courbe des pressions correspondant à chacun des poids isolés en lesquels on a divisé la surcharge; le lieu de rencontre de ces points est encore la courbe enveloppe RR', et Ton peut effectuer les mêmes constructions que dans le cas précédent, après avoir tracé les courbes limites A/?iA' et A/iA', puisque Ton a tout d'abord tracé les faisceaux de droites non concourantes qui remplacent ici les droites issues des points A et A' de la figure : il y a lieu de considérer dans chaque cas les quatre droites qui passent par les points m et n de la section transversale nin dont on s'occupe (fig, 297). Si parmi les droites déjà tracées sur la dgure il n'en est aucune qui passe au point m, il sera facile d'intercaler sur l'épure avec une exactitude suffisante une droite remplissant la condition voulue et faisant partie du faisceau dont il s'agit.

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