partie de la charge ou de la surcharge. La longueur L de
Rg. 81.
l'ouvrage est égale au nombre des divisions de la corde chargée. On a :
1® Calcul des barres, — On a les formules :
TZ
2Lcosô 2Lcos6
iz
2cosô
Ces formules s'appliquent à la barre issue du nœud chargé
Xy et à la barre issue du nœud non
chargé a? 4-^ (fig. 82).
On a
Fig. 82.
COSO
h ^tant exprimé en fonction de Téquidistance des nœuds de la corde chargée. Dans la première moitié de poutre
X < YJ, l'angle 6 est aigu pour les bras et obtus pour les
tirants ; c'est l'inverse pour la seconde moitié de la poutre :
Si le nombre de divisions de la corde supérieure est impair, on a au milieu de la pièce deux tirants opposés par leurs extrémités ; si ce nombre est pair, on a deux bras qui se succèdent (/îgr. 81).
Dans la poutre Warren on emploie généralement dans la triangulation des triangles équilatéraux ou rectangles. Dans le premier cas on a :
et dans le second :
A = 0,50 et J-^± 1.414.
cosô
Le premier système (triangles équilatéraux) paraît le plus rationnel. Le second présente, dans certains cas, de plus grandes facilités pour les assemblages (notamment quand il s'agit de poutres rigides et non de poutres articulées),
2* Calctil des contre-barres. — Bien que les efforts subis pîtr les barres puissent changer de sens dans le voisinage du milieu de la poutre, on n'emploie pas en général de contrebras ou de contre-tirants dans la poutre Warren. On se borne à donner aux barres de la poutre une section telle qu'elles puissent résister convenablement aux efforts inverses qu'elles auront à supporter :
Fp + A et P^ + <p^].
Rien ne s'opposerait, d'ailleurs, à ce que l'on fît des contrebras tels que BE ou des contretirants tels que AD {^ç. 83).
On les calculerait à l'aide des formules données plus haut, en donnant toujours à a: la
pj g3 valeur correspondant au nœud
chargé qui précède immédiament la contre-barre. La valeur de 6, serait donnée pour les contre-barres par la formule :
132 PONTS MÉTALUQUES.
La première poutre de la figure 81 suppose Temploi de contre-bras et la seconde Temploî de contre-tirants.
3"* Calcul des cordes. — On a pour la corde opposée aux nœuds chargés, c'est-à-dire pour la corde supérieure de la première poutre de la figure 81 , et la corde inférieure de la seconde de cette même figure, les formules suivantes
applicables à la portion, comprise entre les limites Ix — ^ j et (x ^ ^\f qui est opposée au nœud chargea:.
(2) { 7=2J;^ar(L — ar)(x+l)
Pour la corde opposée aux nœuds non chargés, on a les formules ci-après, applicables à la portion, comprise entre les limites x et x + 1, qui est opposée au nœud non chargé
1^' = 2EâKI)(^-^)(^-^-*)
Par suite de la symétrie de la poutre, il suffit d'effectuer les
calculs depuis une extrémité jusqu'au milieu : a: =-^' Au delà de ce point, on retrouverait les mêmes efforts, avec le même signe pour les deux cordes, avec des signes opposés pour les barres, dont l'inclinaison sur la verticale, ainsi que nous l^avons vu déjà, doit être renversée.
»• — Il peut arriver que dans la poutre simple du système Warren tous les nœuds, sans exception, soient chargés, ce qui
JTSl
nécessite l'adjonclion de pièces accessoires telles que BD, destinées à soutenir le tablier entre les points A et G et -à
en reporter le poids au nœud B. Les formules à appliquer sont encore celles du cas précédent (1) et (2) avec cette différence que, les deux cordes étant opposées à des nœuds chargés, les formules (2) sont applicables indifféremment à Tune et à l'autre, et les formules (3) restent sans objet.
L'unité de longueur se trouve ici réduite de moitié : AD, distance de deux nœuds chargés consécutifs, au lieu de AC; la longueur L de Touvrage est égale au double du nombre des divisions de la corde inférieure. On aurait, par conséquent, pour valeur de l'angle 6 et de l'angle 6^ formés avec la verticale par les barres, et le cas échéant par les contre-barres :
Fig. 84.
cosô
cosO,
verticales 6 = On a:
• — Lqs tirants sont des pièces , et les bras sont obliques, s = n = /= 1
X = 1 pour A < â" ^^ X = 0 pour a? > -
1* Calcul des barres et des contre-barres.
2Lcosô
TU
2 cos 0 ^ ^
Les valeurs de
cosô
sont {fig, 86) :
P05TS MBTALUQrKS-
1* pour jr < — .
Tirants AB : — i
BrasBC: + j/ 4+^
Contre-bras
AD :-yi + L
2* pour X ;:• -^.
Contre-tirants BE : -j-
En réalité on n'emploie jamais de contre-tirants dans c« système qui est surtout usité dans les poutres mixtes, où les
Fig. 85.
pièces comprimées sont en bois. Les tirants AB et CD sont alors des tiges en fer séparées par des croix de Saint- André en bois, formées par les bras et les contre-bras.
Remarquons encore que dans la figure 83 /f\ /\\ //] le tirant central n* 8 est un tirant double. f t AÂ En général dans la poutre Howe les tri-
angles rectangles sont isocèles, de façon que les bras et les contre-bras se coupent à anglt' droit.
2* Calcul des cordes. — Les formules applicables à la fois aux deux cordes sont les suivantes :
Fig. 86.
TZ
^"fO^^'^""^^^^""^'"''^
y=ïû,''i^^-'^)i^+*)
it
CHÂP. 111. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES l3l
Ces formules sont relatives à la portion de corde opposée aa nœud dont la distance à l'origine est x^ c'est-à-dire comprise entre les limites suivant es :
pour ar < ^
Corde supérieure : de a: à ar + ^ Corde inférieure : de ar — \kx
pour a? > 2
de a? — \ kx.
de ar à a? + i .
On voit que les portions de cordes AC et BD comprises
entre deux bras consécutifs supportent le même effort. Cette remarque permet d'abréger les opérations, parce qu'il suffit de calculer les efforts subis par une des cordes pour en Plg. 87. déduire ceux relatifs à l'autre {fig. 87).
S3« Système m*Att ou JMturpliy lElTiilpple. —
Ce système est analogue au système Howe, mais les pièces verticales sont des bras et les pièces inclinées des tirants {fig. 88).
Fig. 88,
!• Calcul des contre-barres.
SLcosO
tz
2cos6
(L — 2ar--4).
Les valeurs de sont :
•cos6
POSTS JIÉTALUQUES.
etpourJ:>j
Tirants K : -\/ 1 + ^,
Bras AB : + 1
Contre-bras BE ; —yi^-j,.
Contre-tirants AD : 4- J/ ( -|- p'
Fig. 80.
On voit que ce sont aux signes près les valeurs déjà trouvées pour la poutre Howe. De même que dans celte dernière poutre les conlretirants ne sont pas usités, nous remarquerons que dans la poutre Pratt on ne se sert jamais de contre-bras, et l'on n'emploie que des contre-tirants dans la zone où les efforts des barres peuvent changer d« sens [fig. 88). En général dans la poutre Pratt et ses dérivés (linville, Pettit, etc.) les triangles rectangles sont isocèles, de façon que lc8 tirants et les contre-tirants se coupent à angle droit. Cette règle n'a rien d'absolu et résulte simplement d'uac habitude prise.
Dans la partie supérieure de la figure 88, le bras 4 est un bras double.
2" Calcul des cordes. — Les formules relatives aux deux cordes sont encore, comme dans la poutre Howe :
Ces formules s'appliquent à la portion de corde opposée au
nœud X, c'est-à-dire comprise entre les limites suivantes :
pourx< ^ pour a: > g
Corde supérieure: dea; — \ è.x àexèiX+\ Corde inférieure: deaàar+l dex — i kx.
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES 137
Nous remarquerons encore que les portions de corde opposées, coDQprises entre deux tirants consécutifs ou pièces inclinées successives, subissent le même effort normal. Il suffit donc de faire le calcul pour une corde, et d'en déduire immédiatement ce qui est relatif à la corde opposée : cette observation est générale pour toutes les poutres dont la triangulation est constituée par des pièces verticales et des pièces inclinées.
D'ailleurs la poutre étant nécessairement symétrique, que L soit pair ou impair, on n'a jamais à faire le calcul que pour la première moitié de l'ouvrage.
S4« Poutres armées. — On appelle poutres armées les poutres du système Pratt qui sont réduites à deux mailles, comme celle que représente la figure 90. On voit que dans ce genre de poutre la corde inférieure est
réduite à un point C, et que Ton n'a qu'un seul bras compris entre deux tirants. Lorsque le tablier du pont est placé au niveau, non de la corde supérieure AB, mais de la corde inférieure, la poutre garde la même forme, mais il faut lui adjoindre les deux supports accessoires AO et BL qui jouent, si l'on veut, le rôle des bras extrêmes. Quant au tablier OCL, il ne joue aucun rôle et ne figure pas dans le calcul des poutres ; cT^lui-ci se fait d'ailleurs par les formules habituelles applicables à la poutre Pratt, lesquelles toutefois se simplifient par la raison que la charge supportée par la poutre se réduit à un seul poids it appliqué en D.
On a ainsi en posant, en vertu des conventions admises :
