POUTRES AMÉRICAINES COMPOSÉES
Les types de poutres composées en usage sont : la poutre Warren double ou quadruple, la poutre Howc double, la poutre Pratt double dite poutre Linville, la poutre Posl, la poutre Bollman.
ss. Ssrst^me '^n^apren double. — La poutrc Wanvn double est décomposablc en doux poutres simples, dont nous
avons distingué les triangulations en figurant l'une en fraitu gms, l'autre en traits minces {fig. 92 et 93). Nous supposons
que tous les nœuds chargés sont sur une même corde, soit la corde inférieure, soit la corde supérieure.
Nous supposerons également que le nombre des divisions de la corde chargée est pair, c'est-à-dire que la poutre est symétrique par rapport à son milieu : si ce nombre était impair, Touvrage serait composé de poutres simples dissymétriques. Le calcul ne serait pas plus difficile (voir cidessous l'exemple donné pour la poutre Linville), mais les formules seraient plus compliquées et on n'aurait pas occasion de les appliquer dans la pratique. L est toujours égal au nombre des nœuds situés sur la corde chargée.
En conservant les notations que nous avons indiquées plus haut, nous aurons :
Pour la poutre simple à nœuds pairs :n = s = ^ = 2, X=:I. Pour la poutre simple à nœuds impairs :n=i'î,s = t==: 1 , X = 1 .
En appliquant les règles précédemment indiquées, on arrive aux formules suivantes :
1" Calcul des barres. — a. Barres issues des nœuds chargés à numéros pairs (figurées par des trait gras) :
/•=^pP^(L — a:)(L — a: — 2) ' 4Lcosô^ • ^ ^
^ 4LcosO ^ ' ^
F=r^(L — 2^ — 2) 4cosô^ ^
b. Barres issues des nœuds chargés à numéros impairs (figurées par des traits minces) :
4Lcosô
■n zi^+^y
4Lcos6^ ' ^
TT
4cosô
(L — 2ar— .2)
On a d'ailleurs
sauf pour les premières barres, à partir des extrémités, de la triangulation impaire, pour lesquelles 6 peut avoir des valeurs particulières tenant au mode de construction de la poutre (fig. 92 et 93).
On n'emploie jamais, d'habitude, de contre-barres dans ce genre de poutres, mais rien ne s'opposerait à ce qu'on le fit.
2** Calcul des cordes. — Les formules applicables aux poutres simples seront, ainsi qu'il est facile de le vérifier :
Poutre simple à nœuds chargés pairs (traits gras),
C = T-7 a: (L — x). Partie comprise entre x — \ et x + I,
C'=^[a:(L — x) + L — 2a: — 2], dea;àx + 2. Poutre simple à nœuds chargés impairs (traits minces),
G=T-r[a?(L — x}-\-\]y dear — \kœ-{-\j x=zim + i ]
C'=-^[x{L — x) + L — %x — \l dexkx + î.
Si l'on combine ces équations de façon à faire le total des efforts normaux calculés séparément qui s'appliquent à la même portion de corde, on arrive aux formules définitives suivantes :
a. — Corde opposée aux nœuds chargés.
Portion comprise entre les limites j: et a: -f- 1 :
h. Corde opposée aux nœuds chargés.
Portion comprise entre les limites a:etx-f-l.
Nous avons jugé inutile de donner ici le calcul de c, 7? c' et 7', les formules n'étant, comme nous Tavons déjà vu, d'aucune application pratique et servant seulement à calculer C et C
SB. ISystème y^wopire>ïïk qnadiriiple. — Nous donnerons encore les formules applicables à une poutre Warren quadruple, c'est-à-dire, divisible en quatre poutres simples. Nous supposerons toujours cette poutre symétrique, c'est-à-dire décomposable en poutres simples symétriques, ce qui est le cas de la pratique (fig. 94). Il faut alors que L, égal au nombre des nœuds situés sur la corde chargée (la corde inférieure dans le cas de la figure), soit un nombre divisible par
IIP »"-■■"» ™»''»"''--''»''fiii;^irj<Tiiwi>WVW< tB»-
'''^O^2,8,4,6,6,7,8,9,J0,ll.l£.lî.U45,I5.17,;3,19,2a21,U2A2\2^2^n2B.23.3Q3i^
Fig. 94.
quatre. Une corde seule est supposée chargée, la corde inférieure pour fixer les idées.
1* Calcul des barres, — Il y a lieu de distinguer les barres suivant qu'elles sont issues de nœuds chargés dont les numéros d'ordre sont de la forme 4n, 4n + l,4n-|-2,4n-|-3; chacun de ces systèmes de barres appartient à une poutre simple distincte.
On arrive par la méthode habituelle aux formules suivantes, où X désigne toujours le numéro du nœud chargé qui précède immédiatement la barre, dans son système de triangulation.
a. — 1®' système de barres figurées par des traits gras sur la figure.
ar=^4n. Ona: n = s=:^ = 4, X = 2.
TC
SLcosô SLcosô
(L — a:)(L — ar — 4) a? (a? + 4).
Scosô
b. — On a les mêmes formules pour les 2° et 4° systèmes de barres (traits minces), dont les nœuds chargés ont des
numéros impairs, soit qu'il s'agisse de la poutre simple pour laquelle on a :
soit qu'il s'agisse de la poutre simple pour laquelle on a : x = 4»w + 3, n = 4, s = f = 3, l — ^.
Ces formules, applicables à toutes les barres issues de nœuds chargés impairs, sont :
F = -s=^(L~2a: — 4) 8cos6 ^ ^
c. — 3® système de barres (traits gras).
^ 8Lcos6^ ' ^
On voit que la formule qui donne F est la même pour toutes les barres des quatre systèmes. Ce n'est que pour /et? qu'on arrive à des expressions différentes.
On a dans le cas présent
cosô ^ ^ A*
2"* Calcul (les cordes. — Nous ne donnerons pas le délail des calculs et nous énoncerons simplement les formules applicables.
a. — Corde opposée aux nœuds chargés.
Portion comprise entre les limites a: et «r -f 1 .
C=^[a,(L-x) + t-x + l} A. — Corde opposée aux nœuds non chargés.
CHAP. III. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES. i43
Portion comprise entre les limites x eix-^-i.
On vérifierait aisément ces résultats en suivant la méthode indiquée au n"* 42 pour le calcul des poutres composées.
Dans le voisinage immédiat des points d*appui, il arrivera que les barres extrêmes appartiennent à la fois à deux poutres simples et qu'au contraire les parties extrêmes de la corde non chargée ne font partie que d'un nombre restreint de poutres simples.
Dans le premier cas on doit considérer ces barres comme doubles, et leur donner une^section égale à la somme de celles qui résulteraient du calcul fait pour chaque poutre simple. Quant à la corde non chargée, comme sa section est toujours extrêmement réduite aux points d'appui, il n'y a pas d'inconvénient à lui appliquer les formules précédentes qui donnent un résultat un peu trop fort.
ST* fi^ystèiiie I^iii ville* IVombre pair de mailles*
— La poutre Linville est la poutre double du système Pratt. Nous supposerons d'abord, comme nous l'avons fait jusqu'ici pour les poutres composées, que le nombre des divisions de la corde chargée est pair, et que par conséquent les deux poutres simples qui la constituent sont symétriques (fig. 95 et 96). On a pour l'une n = s=:t=2, et pour l'autre n = 2, 5 = /=rl. On doit d'ailleurs considérer, comme dans la poutre Pratt, tous les nœuds comme chargés puisqu'ils se correspondent dans le sens vertical.
\(Wt*M/7
1 2849 BI 89i0Ufi0UlS15 11^18 19
Fig. 93
1® Calcul des barres et des contre-barres. — a. Sy;5tème des barres issues des nœuds à numéros pairs (traits gras de la figure).
we^-
PONTS MÉTALLIQUI
x = îm /■=,,
b. — Système des barres issues des nœuds à numéros pairs (traits minces de la figure).
Valeurs de -
\ " moitié de la poutre x<Cs' 2" moitié de la poutre x > Bras : -(- I — i Tirants : —y i + p +K< + ^ Contre-bras : - |/7+^ + [/l + l?
Contre-tirants
On n'emploie jamais de contre-bras dans cette poulre n'emploie que des conlrc-tiranls, qui forment avecJes tin des croix de Saint-André.
La poutre étant symétrique, on n'a à faire le calcul barres que pour une moitié de l'ouverture. Les valeur
cos 6 au droit des points d'appui sont variables. La figure 96 montre que Ton a différentes dispositions pratiques pour Texécution des bouts des poutres.
2* Calcul des cordes. — Nous ne donnons ici que la valeur (le C obtenue en totalisant les efforts normaux correspondant à chaque poutre simple :
Celte formule est applicable, quel que soit a:, à la portion de corde comprise entre les limites suivantes :
\^ moitié de la poutre a? < 5-» 2® moitié de la poutre ^ > 3"
Corde supérieure : x — \ kx, a* + ^ à ar -{- 2. Corde inférieure : x-^-Kkx-^^ x ^\kx.
On voit que les portions de corde, supérieure et inférieure, comprises entre deux tirants consécutifs, supportent le même effort normal. Il suffit donc de calculer une des cordes, et d'ailleurs, vu la symétrie de la poutre, on n'a besoin de calculer que la moitié de celle-ci.
»e Impalp de mailles. — Jusqu'ici nous
avons supposé que les poutres composées étaient formées de poutres symétriques, ce qui exige que le nombre des divisions lie la corde chargée soit pair. A titre d'exemple de l'hypothèse contraire, nous* examinerons le cas où une poutre Linville présente sur chacune de ses cordes un nombre impair de divisions (fig. 97).
ft 9 « U B a 14 15 16 17 tt0|^
Fig. 97,
On voit qu'en ce cas les poutres simples sont dissymétriques; on n'a pour aucune d'elles s = ^ L est un nombre impair.
g PORTS MÉTALI
i" partie (Iraits gras) « = 3° partie (traits minces) u ^ Le calcul n'est pas plus compliq lies par la méthode générale ne lié. il faut avoir recours aux fo i donnent les résultats suivants :
I' Calcul des barres. — a. Barre:
j pairs {traits gras <lc la figure).
X ;= Jim
- Barres issues
de noeuds i
nccs
de la figure).
»=ir
Tra (' + <)•
5 [Ml-
dent.
La première moitié des barres
antique à la seconde moitié des barres de l'autre, ce qui
rmet d'abréger le calcul on no le faisant quo pour une moitié
la poulro.
2' Calcul des cordes. — La formule a|}{)licable aux con
la première poutre simple serait :
ur la partie opposée au ntrud
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES. 147
el la formule applicable à la seconde serait pour la partie opposée au nœud
En combinant ces deux formules do façon à avoir TeiTort total pour une portion de corde de la poutre composée, on obtient finalement la formule suivante :
Cette formule est applicable quel que soit a; à la portion de corde comprise entre les limites suivantes :
4" moitié : x<C. ^»
2<» moitié : a? > s-
Corde supérieure : x — 1 àar, ar + ^ àor + 2.
Corde inférieure :ar-f-1àa? + 2, a? — iàx.
Il est à remarquer que, bien que les dernières poutres simples soient dissymétriques* la poutre composée est symétrique, chaque moitié de poutre simple faisant pendant à la moitié opposée de l'autre poutre. On n'a donc en ce cas qu'à
-cji
Ijj!
*■ ttj
Fig. 98.
faire les calculs pour la moitié de Tune des cordes. On calculerait, le cas échéant, une poutre Howe double avec les mêmes formules qu'une poutre Linville. Ce genre d'ouvrage n est d'ailleurs pas usité {fig. 98).
Dans le système Post toutes les pièces, comprimées ou tendues, sont inclinées. Cette poutre est toujours une poutre composée double, et elle présente cette particularité que clia-
que bras ne traverse qu'une maille et que chaque tirant en traverse deux.
En d'autres termes on a : pour les tirants
cos6
et pour les bras :
CCS 6
Nous nous placerons tout d'abord, comme dans le cas précédent, dans rhypothèse d'un nombre pair de mailles
Fig. 99.
{fiff. 99) : alors les deux poutres simples sont symétriques el les formules à employer sont les suivantes :
1® Calcul des barres. — 1" Bras issus de nœuds à numéros pairs (traits gras de la figure).
cp
icosô
(L — 2jr — 2)
2"^ Barres issues de nœuds impairs (traits minces de la figure) :a:=: 2 m+ 1.
4LcosO 4LcosO
(L — ar — <)•
icosO
(L — 2ar — î)
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES. 149
On a d'ailleurs, ainsi qu'on la vu :
CCS 6
pour les tirants, et
cosO
pour les bras. Le double signe correspond à la double inégalité ^ ^ 2"'
2* Calcul des contre-barres. — Cette poutre présente la particularité suivante {fig. 100) :
Au lieu d'employer les contre-tirants des deux poutres simples qui seraient AD, «rf, CF, cf, etc. , ou les contre-bras qui seraient BE, de, etc. , on prend, les contre - tirants de la poutre simple qui comprendrait à la fois les bras des deux systèmes, AB, aô, CD, c d, etc. jOn a ainsi une contre-poutre simple unique, si l'on peut s'exprimer ainsi, dont la triangulation est AB ab CD cd, et dont les contre-tirants Aby éiD, etc., présentent exactement l'inclinaison inverse des tirants des poutres simples primitivement considérées :
cosO
Ces contre-tirants se calculent par les formules suivantes :
2LcosO ÎLcosÔ
ScosO
Pourx< ^» on a :
FOTTTS BIÉTALL1
et pour j: > n :
On pourrait de même conserver !
contre-bras, tels que Ba, AC, etc.
Les formules seraient les mèmcf
3° Calcui des cordes. — En apj
tuelle on obtient les formules suiv
i' Corde supérieure (opposée ai
Cette formule s'applique à la ] entre les limites x — ^eix+s p
sx+getx+s pour x >
D'ailleurs, vu la symétrie de Ja
les calculs pour une moitié de l'ou
2° Corde inférieure opposée aux
X=5pourx<3 et X
Cette formule s'applique à la ) entre les limites suivantes :
dexàx+J; i];
On n'a également à faire le calcul que pour une moitié de rouverture, vu la symétrie deFouvrage.
«o* ivontbre impaip ae n&atiies. — En ce Cas la poutre est composée de deux poutres dissymétriques. L est un nombre impair (fig. 101).
Fig. lOi.
1* Calcul des barres a: — Barres issues de nœuds pairs (traits gras de la figure).
TU
4LcosO 4LcosO
4LcosO
b ^ — Barres issues de nœuds impairs (traits minces de la figure) ;x =2m +i.
4Lco86
On a pour les tirants :
cosô ^
et pour les bras :
cosO
==pi/
La première moitié des barres de Pun des systèmes est
PONTS HËTALUQUES
tique à la seconde moitié de l'autre, ce qui permet d'abré-
Ics calculs.
' Calcul des contre-barres. — Comme ces contre-barres
de la poutre Pratt une poutre simple unique, peu ime que L soit pair ou impair. Les formules sont les mêmes
dans le cas qui précède.
' Calcul des cordes. — Corde supérieure (opposée aux ids chargées) :
ette valeur de C représente, quelle que soit la valeureu- 3 de X, l'effort normal dans la corde comprise entre lois tes suivantes :
1 " moitié de l'ouvrage ^ < s ■ 2" moitié ^'> ^
de^^aa: + 5. de*+^«i-+5-
n n'a besoin d'eiïcctucr les calculs que pour une moitié do
outre, qui est symétrique.
orde inférieure (opposée aux nœuds non chargés) ;
>.= 2pO"''-^<2 et X=^poura;>^-
■imites d'application :
pour ir<C3' dea;àT + l et pour if>3. dear — Kkx.
11. fi(y«t£me noiiniMii. — La poutre Bollman prête cette particularité qu'elle est composée d'une série de
poutres armées (poutres Pratt à deux mailles), dont les mailles sont inégales {fig. 102), de telle sorte que chaque
système de poutre simple ne supporte que la surcharge appliquée en un seul point de division N de la corde supérieure, sans être influencé par la surcharge appliquée aux autres points de division
Ug. 103).
Fig. 103
L'efTort normal subi par le tirant OM est : L^effbrt normal subi par le tirant ML est :
L'effort normal subi par le bras double MN est : F = — ir. LVffort de compression subi par la corde supérieure est constant d'une extrémité à l'autre et donné par la formule :
