PONT SUSPENDU RIGIDE A CABLE PARABOLIQUE ET ENTRAITS RECTILIGNES

moo. i^opiniiie» ppôiiminaipes. — Considérons d'abord le type adopté en Amérique pour le pont de Pittsburg sur la rivière Monongahela {fig. 172). Les cordes inférieures des deux poutres décrivent une parabole complète à axe vertical. Les cordes supérieures sont rectilignes et sont dirigées suivant les cordes géométriques des demi-paraboles. La triangulation est formée de bras perpendiculaires à la corde supérieure, et de tirants et contre - tirants obliques.

Nous appellerons câble la corde inférieure de chaque poutre, formée de barres successives articulées entre elles, et entraits les cordes supérieures {fig. 171.) Nous allons chercher les formules pratiques dont il convient de se servir pour ce genre d'ouvrage.

Considérons un point M situé sur le cftble parabolique ; soit N sa projection sur l'entrait AO. Nous prendrons pour axe des coordonnées la verticale OY et Thorizontale OX passant au sommet de la parabole (fig. 173).

Les X sont positifs à droite de l'origine 0 et négatifs dans le sens opposé.

L'équation de lapatabole AMOA' est :

Fig. 171.

y=-.ar,

b étant la flèche et 2 a l'ouvorture de la parabole.

PONTS MÉTALLIQnH.

CHAP. IV. POMS SDSPKNDDS

PONTS MÉTALUQUES.

L'équalion de la droite ANO est, en dé9ignant par ti ot o ses

coordonnées courantes :

Les angles 6 et «» qae fait la tangente en M à la parabole avec l'axe ox et la droite AO sont donnés par les formules :

tgO

tgtt> =

a*b — %abx

Flg. 173.

Les coordonnées du point N, pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur rentrait AO, sont données par les formules :

Enfin la distance MN, que nous désignerons par dj a pour valeur :

Nous donnerons également la valeur de la projection de MN sur la normale en M à la parabole :

dcosfa)= ,,,,,, — r=f==== ■•

aia +b) P^46*x* + a*

Toutes CCS équations, qui résultent de calculs très simples de géométrie analytique, vont nous servir dans la détermination des efforts subis par les différents éléments du pont.

JIH O. Calcul de Fentpalt et du câlile. Effet d*uiie

surciiapse <H>neentp4>»e. — Nous allons chercher Teffort normal développé en M dans le cAble et en N dans l'entrait

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS

par un poids isolé appliqué au câble soit au point {x'^y') entre A et M, soit au point {x'\y") entre M et 0, soit au point («'",y'")entreOetA'.

Désignons par Q et Vies composantes horizontale et verticale de la traction exercée en A par le pont sur la culée de droite. Il est facile de calculer, quel que soit le point d'application de la surcharge concentrée, les valeurs de Q et de V, en égalant ko : 1^ la somme des moments des forces extérieures appliquées au pont entre A et 0 (Q, V, et P' ou P''), par rapport au point d'articulation 0, où passe nécessairement la résultante ; 2'' la somme des moments des forces extérieures (V et P^P" ou P'") par rapport au point d'attache A' sur la culée de gauche.

On a ainsi, pour chaque hypothèse faite sur la position de la surcharge concentrée, deux équations qui permettent de calculer Q et V.

Les différentes expressions de Q et de V sont les suivantes pour les différentes positions du poids isolé :

Df/ . rx n# l^'ia — x") ., P'{a + x') P' {x'y'), Q' = — L .^ V» = \ ^ f

Remarquons que x"' est négatif.

Désignons par F Teffort normal subi en M (a: y) par le câble, et par C l'effort normal subi en N [u v) par l'entrait {fig. 174).

Nous déterminerons F et C, dans chaque hypothèse sur le point d'application de la surcharge, en égalant à o la somme dos moments de toutes^ les forces extérieures appliquées à la portion de pont ANM, d'abord par rapport au point N, et ensuite par rapport au point M. Los deux équations ainsi obtenues nous permettront de calculer F et C,

MU y)

Fig. 17i,

PONTS MtTALUQOBS.

4* Considérons le poids P' {x',y') appliqué entre A et H. Nous avons les équations de condition :

F'd ces» + Q' (é — 1>) — V (a — u) + P' («' — u) = «,

D'où nous tirons, en substituant à Q^ Y' leurs valeurs, à v,u,y, puis k d et cos w, leurs expressions en fonction ' dex:

P'Ka' + 4yx'(a' + y«). •.

ôî (a — 0?) (a* + 26*0?)

On a toujours F'>o, C'<o.

2* Considérons le poids P" (a:",y") appliqué entre M et 0. Nous avons les équations de condition :

Pdcosco + Q'Ci — «) — V'(a — ti)=o.

D'où nous tirons :

dcoso) {a*'{-b*)a*

aé » (a' + Wx) ^« + ao + " *; *^-

On a toujours F">o.

GHAP. IV. pouts suspendus. 267

On a C < 0, pour z

, ax

et C* > 0, pour x' <; r — ; — •

3* Considérons le poids P' {se', y') appliqué entre 0 et A' :

F-rfco3 cû+Q" (6«)V-(c— w) = 0,

— C-rf+Q'C*— y) — V''(o— x)=o.

d'où

On a toujours F'^ = o et C > o

En discutant les formules (1) (3) et (5), on reconnaît que Teffort normal développé dans le c&ble est toujours une tension. Cet effort atteint son maximum lorsque le poids P est appliqué au point M : x'" ou x^ --^x.

Lorsque le poids est appliqué sur la branche de gauche, — a <ar''<<o, il ne se manifeste aucun effort en M. Un poids quelconque ne produit donc d'effet que sur la branche du c&ble à laquelle il est appliqué.

Les formules (2), (4) et (6) nous montrent : 1® que l'effort normal, développé dans l'entrait en N par un poids isolé, est un effort de compression lorsque le point d'application de ce poids est sur la branche à laquelle appartient le point M [x.y) du câble correspondant à N, et que son abscisse x' est comprise entre les limites a et

2a+a? ' ax

Cet effort de compression atteint son maximum lorsque le poids est appliqué en M : a:=a:'.

2» Que l'effort normal développé est une tension lorsque le point d'application du poids est compris entre les limite? ;

— a<.x oux <

Ces limites comprennent toute la branche de gauche et une partie de la branche droite.

Cet effort d'extension atteint son maximum pour a:* =o, lorsque le poids est appliqué au milieu de Touverture.

fil. Calcul de l'entrait et du e4ble. Effet d'une •nrehar^ uniformément répartie partielle ou totale. — Supposons maintenant que la surcharge soit uniformément répartie sur une portion de la longueur du pont. Il suffira pour calculer Teffort normal résultant de remplacer dans les formules précédentes P', P"', P'^par wrfj:', i: dx" ^ Tz dx"^ et d'intégrer leurs seconds membres qui sont du premier degré en fonction de x\ de x"^ de x'^^ entre les limites choisies. Cette opération ne présente absolument aucune difficulté, et nous nous bornerons à en énoncer les résultats, pour différentes hypothèses de répartition de la surcharge. Nous donnerons les expressions de F et de C en fonction de la seule variable indépendante x : il serait aisé si on te voulait d y rétablir les variables dei d cos a>, dont on connaît la valeur en fonction de x.

Tous ces renseignements figurent au tableau suivant :

CHAP. IV. POKTS SUSPENDUS

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