CALCUL DES MOMENTS SUR LES APPUIS
4V. GéDéralitéfi. — Nous désignerons sous le nom de poutres symétriques celles dont les travées de rive, numérotées 1 et n, ont même ouverture Z, et dont toutes les travées intermédiaires ont aussi une ouverture commune L = /^. Ce sont les seuls ouvrages que Ton ait à considérer dans la pratique, et il importe de tei^ir compte dans leur calcul des simplifications que Ton peut apporter à la théorie générale des poutres à section constante, en raison des particularités que présente ce genre de construction.
Nous remarquerons tout d'abord qu'un ouvrage de cette catégorie est symétrique par rapport à la verticale qui passe au
milieu de sa longueur, c'est-à-dire au point d'appui -, si n estunnombrepair, et au centre de la travée — — , sin est îm-
Al
pair. Il suffit donc de tracer l'épure de stabilité entre le premier point d'appui o et le milieu de la poutre, c'est-à-dire
l'appui central - ou le centre de la travée de numéro — - — •
Nous admettrons en conséquence, dans ce qui va suivre, que
les recherches relatives au tracé de l'épure sont limitées à la première moitié de l'ouvrage : il n'y aura qu'à retourner bout pour bout la demi-épure ainsi établie pour avoir son complément.
D^autre part, la série des nombres u est identique à celle des nombres t?, par raison de symétrie ; Um = Vm- II en est de même des séries p et y * Pm = yw On n'a plus à considérer que denx séries numériques au lieu de quatre.
Nous avons désig^ {ilus haut par S le rapport de l'ouverture L d'une travée intermédiaire à l'ouverture / d'une travée
de rive :---==S.
Le groupe d'équations, qui fournit la série d^s nombres u, prend, par la suppression du facteur commun /, la forme suivante :
Wi = 1 Wi + 4m, + w, = 0 ,
Um + 4Wm+i + tim+i = 0,
t/n^8 -f- 4Wn-.« + Wn-i = 0,
Un^i S 4- 2w«-.i (1 + S) + Wn = 0.
On a d'autre part, pour calculer p, les relations connues :
M. Bresse a remarqué, en étudiant les poutres symétriques, qu'il n'était pas nécessaire, pour obtenir les moments sur les appuis A, B, C, D et E, de calculer successivement chacun des moments partiels produits sur un appui quelconque par la charge complète d'une travée considérée à part, puis de totaliser les valeurs obtenues, en observant les règles indiquées à l'article 21. On peut déterminer immédiatement, par un calcul direct, chacun de ces moments, ce qui abrège singulièrement les opérations.
Nous ne reproduirons pas les recherches analytiques qui
CH. If. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. i59
ont permis à M. Bresse d'établir ses formules ; cet exposé allongerait beaucoup trop notre étude, et nous croyons préférable de nous borner à énoncer simplement les résultats publiés par cet ingénieur, en y apportant les modifications nécessaires pour l'application de notre méthode de tracé de Tépure de stabilité. Nous renverrons à rouvraf^eéeM , Bresse, mit les poutres à iraoée» soHftmres, le lecteur désireux de vérifier les formules et de se rendre compte de la marche suivie pour les trouver. Le présent chapitre n'est donc pas consacré à la théorie des poutres symétriques, mais. simplement à leur calcul, toutes les considérations étrangères à la question des procédés à employer étant systématiquement écartées, pour s'en tenir au côté essentiellement pratique de la question.
Enfin, nous remarquerons en dernier Heu que les moments Jm, etHm, produits sur les appuis dune travée intermédiaire m par la charge complète de cette travée considérée à part, ne diffèrent jamais beaucoup l'un de l'autre dans le cas des poutres symétriques. Il en résulte que Ton peut toujours admettre
leur égalité lorsqu'il s'agit de choisir les fonctions de -, et
—— qui figurent en facteurs de !«,, et Hm, dans les formules
(2) et (4) de l'article 25 (page lOS).
L'erreur que l'on commet, en acceptant celte simplification, est toujours négligeable devant celle, inhérente à la méthode de calcul elle-même, qui consiste à assimiler les poutres à section variable de la pratique à des poutres à section constante. 11 n'y a pas d'intérêt à compliquer les recherches dans le but de rectifier une décimale qui est, par d'autres motifs, forcément incertaine.
En conséquence, pour la première travée, la notation © ( — ; j repi*ésentera toujours l'expression analytique :
<60 t>OUTRËS A TRAVÉES SOllDAIBKS.
Pour une travée intermédiaire quelconque, les notations 9 (-; ] et 9 l' — — , j représenteront respectivement les expressions analytiques :
Nous supposerons comme d'habitude que la valeur/} de la charge permanente par mètre courant est la même pour toutes les travées, et que la valeur p' de la surcharge est également constante sur toute la longueur de la poutre.
Nous choisirons pour unité des moments fléchissants, en ce qui concerne la charge permanente, la quantité pL^, et, en ce qui concerne la surcharge, la quantité /?X^; cela veut dire qu*au lieu de chercher les valeurs absolues des moments, nous cal-
culerons les rapports — pour la charge permanente, et -— ou
— r pour la surcharge.
En conséquence, les lettres A, B, C, D, Ë, J et H représenteront, non pas les moments sur ]es appuis eux-mêmes, mais leurs rapports à Tunilé choisie, pU ou p'I/, suivant qu'il s'agira de la charge ou de la surcharge.
D'autre part, nous prendrons comme unité d'abscisse, pour chaque travée, la longueur propre de cette travée ; les lettres x,x\x'\xi^Xi, etc., représenteront, d'après cette convention, non pas les valeurs absolues dos abscisses, mais leurs rapports à la longueur / pour la travée de rive, et à la longueur L= /S pour les travées intermédiaires : il importe de se rappeler que Tunité de longueur horizontale n'est pas la même pour la travée de rive et pour le autres travées.
Dans l'exposé que nous allons faire d'une méthode générale de calcul des poutres symétriques, nous nous abstiendrons, ainsi qu'il a été dit plus haut, de justifier les formules énoncées, en renvoyant pour les démonstrations à Touvrage de M. Bresse sur les poutres à travées solidaires. Nos équations se dédui-
seat sans difficulté de celles données par cet auteur, et il sera toujours facile, en tenant compte des changements de notations et d'unités, de passer des unes aux autres.
48. Sérieii numérlqaes. — Considérons les deux séries de nombres M et N, indépendants de S, et convenant par conséquent à toutes les poutres symétriques, que nous aurons à utiliser plus loin dans les calculs.
Indices 1 des nombres 1
Série des nombres M
Série des nombres N
Indices des nombres
Série des nombres M
Série des nombres N
to
etc.
etc.
etc.
Connaissant les quatre premiers nombres de chaque série, les autres s'en déduisent sans difficulté, à Taide des relations:
qui ont servi à calculer séparément, pour chacune des séries, les nombres à indices pairs et les nombres à indices impairs, et permettraient de prolonger indéfiniment les deux colonnes de
im
POUTHKS A TRAVÉES SOLIDAIHES.
chiiïres, arrêlées par nous à la limite k = 25, qui dépasse les besoins de la pratique.
Los séries t/ et ^ peuvent s*obtenir, soit directement à Taide des groupes d'équations rappelés au début de Tarticle 47, soit avec les relations suivantes, où (tgurent les nombres N et M, ainsi que le rapport S de la longueur L d'une travée intermédiaire à la longueur / de la travée de rive :
Um = Mint—i +^ Njjm-j
Wn-1
|Ntn-.
Po=0
m^ 4- 2Ni ^M4 + 2N4
Um—i Mm— s
^M2m— î + 2N2fli-2
ttn-i fin
^M2ii-6+2N8
(yM2w-4+2N2»-t
Il convient de remarquer que toutes ces relations présentent une forme générale constante, à l'exception de la dernière de chaque groupe (n étant le nombre des travées de la poutre), qui sort de la règle commune. Il en résulte que les séries des nombres n et ^ sont Tune et l'autre, jusqu'à lavant-dernier nombre inclusivement, fonctions de S, mais indépendantes du nombre n des travées. Le dernier nombre seul varie avec n.
Il conviendra tout d'abord de calculer ces deux séries u et ^ pour la poutre continue que Ton se propose d'étudier.
Si nous nous reportons aux conventions de l'article 14, nous remarquons, en tenant compte de la symétrie de la poutre :
1® Que le u et le v d'un point d'appui de numéro m sont respectivement, dans la série des u, les nombres désignés par
litn et Wt« — m 5
2"* Que le p et le y d'une travée de rang m sont respectivement dans la série des p, les nombres désignés par ^m— i et
Pïi — m-
40. €>»eraeientA numériqaes. — Connaissant les séries M, N, u, on calculera les coefficients numériques suivants, dont on a besoin dans la recherche des moments sur les appuis :
24(î* 2Mn-, + 3(?Nn-, '
24 (J» * 2Mii-, 4- 3<JN«-i '
24 (T* 2M»-, -f- 3<rNn-,
24 (î« ' 2M«-,+ 3(yN
24 (î« ' 2Mn-î + .SWi ' *^* ' < 3<î' — 3
24 ^« eTM»-, + 2N«~j ' . jl 3J» j^
On n'évaluera les coefficients g et y que si n est un nombre pair.
On n'évaluera les coefficients h et k que si /» est un nombre impair.
On n'aura donc en définitive qu'à établir sept coefficients nunaériques.
L Abscisftes des ffoyerti. — On calculera les abscisses X et x" des foyers à Taide des relations connues :
i64 POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Première travée :
x'i = 0 , x'^x = — ;— 2 — ; unité de longueur /.
« + Pi
Travée intermédiaire m :
x'm = , fV y ^"^ = rT~Z — ; ""^î^^ de longueurL=/S.
&t. Caleal deii moments sur les appuis.— H convient à présent de calculer les valeure numériques, ou plutôt les rapports à la quantité joL* ou/?/* S* prise pour unité, des moments fléchissants sur les appuis dont on a besoin pour le tracé de Tépure de stabilité (page 8S). Dans les formules que nous allons énoncer^ Â, B, C, D, E, J et H représentent les moments fléchissants correspondant aux dispositions de charge indiquées à l'article 2t ; d, e, /*, jr, /i, i, y, fe et q les coefficients numériques dont il a été question à Tarticlc 49 ; les lettres M, N, u et p sont des termes des séries numériques établies à l'avance (art. 48).
On a d'abord pour un appui quelconque de numéro m, quel que soit le nombre des travées n :
Am = — — — 2rf Mm-.2m ;
^ \ pm(l~i3ii^m— l) 1 |3m— PBi|3n— iH-J^
4 1 — PmPn—m— 1 4 1 — p^Pii— m— 1
„ i Pii--m(l — ^m— l) ^■ Pn— w — Pn— mPm— 1
4 i — Pfi)iiPm^l 4 1^— P»— mPm— 1
Dans ces deux dernières formules, p^ et p,|„i i sont le p et le y relatifs à la travée m+1 qui suit immédiatement Tappui w ; Pot— l c^ Pu— m s^nt le p et le Y relatifs à la travée m qui précède Tappui m.
Les deux premières relations sont absolument générales et s'appliquenl à tous les appuis. La troisième doit être modifiée lorsque l'on considère l'appui 1, second appui de la poutre^ pour tenir compte de la diflerence d'ouverture (/au lieu de L) dé la travée de rive, supposée chargée, et des travées intermédiaires.
CH. II. - (ULiniJ. DES POrTKES SYMKTHIOri'S.
On a pour ce cas spécial ^^m— l
Dans le calcul des autres moments^ relatifs à des surcharges partielles, il y a lieu de distinguer le cas où le nombre n des travées est pair de celui où il est impair, les formules n'étant pas les mêmes dans Tune et dans Tautre hypothèse. Il faut aussi tenir compte^ dans certaines circonstances, de la valeur de rindice ?n du point d'appui considéré.
Les relations à employer sont fournies par les tableaux suivants : il est bien entendu que nous ne nous occupons ici que de la première moitié de la poutre, et que Ton a toujours 2m ^ w. Pour 2m > n on se procurerait, le cas échéant, les valeurs des moments développés sur Tappui considéré en se basant sur la symétrie de l'ouvrage.
/• Poutres symétriques ayant un nombre pair de travées.
n est pair.
Formules
Bin =
— — — eUn-^m H- y «m tin
Bm = — — — /Mn-2t» + qUm Un—m
Dm = — r: — dMn-lm — iNn-2m
Du, = — - — dMn-^m -+- iN»-2m
Numéros des appuis auxquels les formules sont applicables
Appui I seul.
Appuis de numéros impairs, k l'exclusion de Tappui 1 :
Appuis de numéros pairs :
Appuis de numéros impairs:
Appuis de numéros pairs :
S^ Poutres symétriques ayant. un nombre impair de travées.
n est impair.
Kornmies
Biii= —
-7 — rfMn-îm+îNn-f m-hy l<mWn-m
-- — rfMn-îm— îNn— Sm+gWfnWn— m
Dm == — rr — /Mn-2m
Dm = — ^ — ^ Mn-2m
Numéros des appuis auxquels les formules sont applicables
Appui 1 seul
Appuis de numéros impairs, à l'excIusioD de l^appui i :
Appuis de numéros pairs:
fn=2. 4. 6 2A
Appuis de numéros impairs:
Appuis de numéros pairs:
La recherche de ces moments n'est ni compliquée ni pénible ; en dehors des sept coefficients numériques rf, e, /, t, y et g^ et/\ si n est pair (ou h et k, si n est impair) calculés une fois pour toutes, elle n'exige que la connaissance pour chaque appui m de huit nombres fournis par les séries numériques déjà établies;
Mn—2m , Nn— îw , Un Ct Unr-m , Pm-1 > Pm » Pn-m-l et [i«^ .
Nous supposerons donc que Ton ait calculé pour chaque point d*appui de la première moitié de la poutre les valeurs numériques des moments correspondants Am« Bm, Dm, im et Hm, qui sont tous négatifs.
On pourrait également se procurer les moments Cm et Em à Taide des relations connues :
Cm = Am — B
Em = A» — D
Mais, en fait, ce travail supplémentaire serait inutile^ et nous admettrons que Ton s'en soit dispensé.
CH. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. i67
