HO

ît

3tf

9e «neNiie* ▼•Aies d^iuie esipèee rartievllère.

807. Les règle» établies précédemment répondent aux cas qui se présentent Journellement dans la pratique ; mais il existe d*autres dispositions de Toutes qui sont, on peut le dire, d'un ordre plus élevé; et dont la construction demande une étude spéciale et approfondie. Pour ces Toutes, qui ne sont employées que dans des cas particuliers, il arrive assez souvent aux constructeurs qui les exécutent, de déduire leurs dimensions de celles des voûtes semblables exécutées k peu près dans les mêmes conditions; mais, comme il eèt très-important de pouvoir vérifier la justesse de ces dimensions, en faisant Fénumération rapide de ces voûtes, nous indiquerons les principales règles qui peuvent servir à vérifier leur stabilité pratique.

508. Dômes. Considérons d'abord un dôme k intrados hémisphérique,^^. 107, page 474. Supposant, comme on doit le faire dans ces 8orië9 de calcula, que les matériaux n'exercent entre eux aucun frèttèlnent et àuciinè adhèmnce, et que les dimensions de Textrados

i72 FRËUIÈRE PARTIE. — MAÇONNERIE ET TERRASSE.

étant réglées de telle manière qu'en chaque point de Tintrados la composante normale des actions exercées est constante, d*où il résulte que la surface d'équilibre de cet intrados est celle d'une sphère, Dejardin, en considérant la voClte comme composée d'onglets infiniment petits déterminés par des plans méridiens verticaux, arriTO à la formule

^ sm a ^ '

Q poussée horizontale sur ie joint de la base, rapportée à l'unité de longueur de la circonférence Inférieure de Tlntrados, et calculée comme pour un berceau cylindrique dont le profil serait celui déterminé dans le dôme par le plan du méridien (304) ;

q poussée horizontale sur un joint quelconque mit, rapportée à l'unité de longueur du parallèle de l'intrados déterminé par le joint mn ;

a angle que fait la génératrice On du joint mn avec la rerticale.

La relation précédente est tirée de ce que la poussée horizontale totale est la même pour tous les joints, pris en totalité ou sur un même onglet, et elle montre que, rapportée a l'unité de longueur des parallèles de l'intrados, cette poussée croît depuis la base jusqu'au sommet en raison inverse de sin a ou du rayon des parallèles horizontaux de l'intrados.

Supposant la voûte complétée parla juxta-position de tous les onglets différentiels qui ont servi a établir la relation précédente, l'équilibre de la voûte entière aura lieu s'il a été établi dans chaque onglet en particulier, c'est-à-dire si cet onglet, considéré comme appartenant à un berceau droit, a été réglé suivant le profil d'équilibre précédemment défini, n~ 303 et suivants.

Concevons maintenant que de la voûte complète on enlève une calotte se terminant au joint conique mrs, dont la génératrice fait un angle a avec la verticale, et qui s'appuie par conséquent sur un parallèle de l'intrados ayant un rayon égal k r sin a. D'après ce qu'on a vu tout a l'heure, chaque point dudit parallèle éprouvera,

par unité de longueur, une poussée horizontale g=-~-, dirigée vers

l'axe vertical de la sphère, et cette action normale continue fera naître, suivant le parallèle, une pression circulaire dont l'intensité totale sera égale à

Ainsi, lorsqu'on enlève une portion quelconque de la calotte sphèrique, il s'établît immédiatement un nouveau mode d'équilibre en

raison duquel le parallèle supérieur éprouve une pression circulaire horizontale qui, pour tous les parallèles, est égale au produit du rayon de Tintrados par la poussée Ijorizontale qui résulte du profil du dôme, considéré comme le profil d'un berceau droit. (La coupole inférieure du Panthéon français est, suivant ce principe, évidée à sa partie supérieure ; la lunette a 9*,56 de diamètre, celui de la coupole à sa naissance étant de 20",36.)

Il résulte de là que l'équilibre des voûtes en dôme peut se main* tenir et que la poussée peut s'y établir de deux manières bien distinctes : ou bien la voûte se partage en onglets qui s'équilibrent deux k deux en s'arc-boutant par le sommet, alors la pression sur l'unité de surface des voussoirs croîtrait fort rapidement de la base au sommet; ou bien la voûte se partage en rangs circulaires de voussoirs abou* tissant k des parallèles de l'intrados, alors chacun de ces parallèles, en raison du poids de la partie supérieure, éprouve une tension circulaire égale a Qr, et qui est immédiatement combattue par la pression égale du rang de voussoirs qui le touche inférieurement : cette pression circulaire constante remplace ici la poussée horizontale constante des voûtes en berceau. Dans la réalité, il est probable que l'équilibre naturel participe des deux modes de résistance que l'on vient de spécifier, sans qu'il soit possible d'assigner a chacun son degré de prépondérance. Quoi qu'il en soit, il reste bien évident que l'équilibre de la voûte ne peut être rompu sans que ces deux espèces de résistances* aient été vaincues ensemble ou successivement, et qu'on asssurera péremptoirement la stabilité en rendant sensiblement indéfinie l'une de ces deux résistances. De là l'efiicacité parfaite de ceintures circulaires que l'on applique à l'extérieur des dômes. Suivant ce qui a été démontré ci-dessus, la tension desceiniures est la mêmCj à quelque hauteur qu'on les place^ de même que dans les voûtes en berceau la tension des brides horizontales serait la même à toute hauteur.

309. Profil des voûtes en dôme. Le profil des berceaux circulaires qui, d'après le numéro précédent, deviendrait celui des dômes à intrados sphérique, aurait l'inconvénient de conduire à un extrados très-aplali, et qui souvent ne se prêterait point à la forme extérieure que Ton veut donner aux dômes. On remédiera à cet inconvénient en adoptant pour l'intrados un profil surhaussé tel, que le profil d'équilibre de l'extrados correspondant se rapproche de la figure voulue. Cette combinaison pourra même avoir un grand avantage d'économie; car, suivant le numéro précédent, la longueur des joints ira en diminuant depuis le sommet jusqu'à la naissance, ce qui permettra dé réduire les dimensions du tambour portant le dôme. La coupole extérieure du Panthéon français a un intrados surhaussé, et cependant son épaisseur croît depuis le sommet, où

dlle est de 0",SS, judqii*à la base, où elle est de O^'^TO. Ces proportions sembleraieut être un contre-sens.

Soit proposé de déterminer la profil d'équilibré d'uii Abme dont Textrados serait une surface sphérique.

On doit, diaprés ce qui précède, ramener cette question à la re-

chercbe de la courbe d'intrados d'un berceau droit dont l'extrados

serait circulaire, recherche que l'on peut pratiquement se contenter

d'aborder ftinsi :

Supposons, fip, 107, que, petldaiit la cotjstruction, les voussoirs

étaient non pas portés sur ^8' *®^* un cintre fixe suivant l'in-

trados MDM', mais suspendus à un système fixé appliqué suivant Textrados ÀEA'. Pour que la forme circulaire de l'extrados se conserve, lorsque là voûte sera abandonnée k elle-même, il faut et il suffit que toutes les actions appliquées aux poinis N, n, etc., aient une composante constante normalement à l'extrados, c'est-à-dire suivant les directions ON, Ot^ etc. Alors il s'établira suivant l'arc d'extrados une pression circulaire qui remplacera précisément le système de suspension des voussoirs. On s'aperçoit que la question devient la même, au signe près, que celle résolue au moyen de la formule (2) du n* 303; par suitç, l'équation de l'intrados MDM', rapportée aux coordonnés polaires p et tf, deviendra pratiquement

fr

COS a

r désignant ici le rayon de l'extrados, et e l'épaisseur à la clef DE.

Cette courbe se construira par un procédé entièrement analogue à celui qu'on a indiqué au n* 303. Ainsi on mènera l'horizontale GG' a une distance 00' = e au-<lessou6 du diamètre de l'extrados, et pour avoir un point quelconque m de Tîntrados, on prolongera le rayon nO jusqu'à sa rencontre S avec l'horizontale CiC, et l'on portera de B en m la longueur r.

La courbe petit aussi être tracée d'un mouvement continu, comme on l'a indiqué au n* 303.

La courbe d'intrados que l'on vient de déterminer n'est autre chose que la branehe inférieure de là pértcyclôide, dont on n'avait

considéré que la branche supérieure au n** 303. L'une et Tautre branches sont représentées par Téquation (SI) de ce numéro ou par réquation (1) ci-dessus, lorsqu'on y fait varier a depuis 0» jusqu'à 480". En d'autres termes, là solution, dans l'un et Tautre cas, répond a la fois ^ la ques|ion directe d'un intrados circulaire et à la question inverse d'un extrados circulaire.

En discutant l'équation (î), on reconnaît que la courbe a une tangente verticale au point M, sur le joint à 60**, pourvu que les dimensions eetr soient liées par la relation, parfaitement admissible dans la pratique,

Si cette condition b'était point satisfaite, la tangente verticale correspondrai! R un joint dont l'inclinaison a sur la verticale serait donnée par réquation

cosa

On pourra donc disposer d'une des indéterminées e et r de manière à donner à la coupole intérieure une montée ou une ouverture donnée.

En raisonnant ici comme on l'a fait pour les berceaux circulaires (304), on trouvera l'expression de la poussée horizontale constante, rapportée à l'unité de longueur du berceau,

Q.= ^[2er--e']. (4)

. En concluant maintenant le profil décrivant du dôme équilibré de celui du berceau analogue, on voit que la pression circulaire a totgpurs pour expression Qr.

510. Quant au volume du dôme établi d'après les conditions d'équilibre précédentes, on a généralenient, pour une calotte sphérique dont le joint inférieur fait un angle a avec la verticale.

' = ânfer^ L. — e'r ( i ^ + T tang*«l

L cosa \cosa / 6 J

Dans cette formule, L. est l'indice des logarithmes népériens j le» divers coe^ ficlenU variables en a se troovent tout calculés, de degré en degré, dans la table de la page 460.

Lorsqu'on adopte pour inclinaison du joint extrême a = 60°, ainsi

que dans les berceaux droits, la formule (5) se réduit, tous calculs effectués, à la formule pratique

V = er« X 4,355172 — cV x 6,283186 + c» x 3,141593. (6)

Si rintrados était circulaire et l'extrados en péricycloïde, les expressions du volume seraient encore les précédentes (5) et (6), seulement r serait le rayon de Tintrados, et les termes négatifs deviendraient positifs et seraient

+ <?V (—^ i) et + e»r X 6,283186.

\cos a / '

Quand les courbes d'intrados et d'extrados sont des arcs de cercle, si le dôme est bémispbérique, son volume est égal au secteur sphérique du rayon d'extrados, moins le volume du secteur sphérique du rayon d'intrados ; et, dans ce cas, les surfaces dlntrados et d*extrados ne sont autre chose que celles des zones sphériques.

511. Pieds-droits des dômes. Les pieds-droits circulaires qui supportent les dômes ont reçu le nom de tambours. Leur^tablissement ne peut présenter aucune difficulté, d'après ce qui a été exposé précédemment.

Si le dôme se partageait en onglets, comme on Fa supposé d'abord, pour régler son établissement dans Thypothèse la plus défavorable, et qu'en même temps le tambour se partageât, suivant les mêmes plans méridiens, en autant de secteurs infiniment petits, chacun de ces derniers devrait être considéré comme le pied-droit d'une voûte circulaire représentée par un des onglets du dôme; conséquemment, le profil du tambour serait celui du pied-droit de la voûte, comme le profil du dôme est celui de la voûte même.

Mais, ainsi qu'on Ta vu, la poussée du dôme, suivant les rayons du cercle de base, sera toujours considérablement réduite par l'effet des résistances accessoires du frottement, de l'adhérence et de la dureté des matériaux; cette poussée pourra même être complètement annulée par des moyens de consolidation parfaitement admissibles dans une saine pratique, comme l'application des ceintures en fer sur la surface extérieure, ou en substituant à ces ceintures plusieurs autres systèmes tout aussi efficaces, quoique moins coûteux et plus commodes dans la pratique, tels que, par exemple, un cercle en fer plat goujonné ou simplement encastré dans toutes les faces horizontales d'un même rang de voussoirs, ou bien des attaches ordinaires d'une pierre a l'autre, ou bien encore de simples goujons en fer ou en chêne sec, de petite longueur, implantés avec mortier dans les joints verticaux de deux voussoirs consécutifs, de manière à former tenon entre eux; ou enfin en rendant les vous-

VOl'TES. 47 i

soirs d*un même rang circulaire solidaires entre eux, au moyen d'un artifice quelconque d'appareil qui appliquerait à l'office voulu la résistance transverse des voussoirs. Lorsqu'un de ces moyens est appliqué, le tambour n'a plus à remplir d'autre office que de soutenir le poids du dôme et son propre poids ; toute l'étude de son établissement se réduira k examiner si la base du tambour ofTre, en raison de sa surface et de la nature des matériaux, une résistance pratique h, lécrasement qui réponde au poids cumulé de ce tambour même et du dôme. Cette vérification était la seule k faire pour le dôme du Pantbéon français, qui, comme on sait, n'a point éprouvé d'autre accident que celui de l'écrasement des pieds-droits.

Suivant Rondelet, les diamètres de quelques dômes principaux sont : 1' Panthéon de Rome, extérieurement 55 mètres, intérieurement, 43 mètres; 2° grande coupole de Saint-Pierre de Rome, 41 mètres; 3* Saint-Paul de Londres, 34. mètres; 4'» coupole extérieure du Panthéon français, 23",76 en dehors, et 22",36 k l'intérieur.

Le dôme principal de l'église de Saint-Isaac en Russie a intérieurement i9*,509, et extérieurement S50",728.

5iî. Niches. Une des applications les plus fréquentes de l'établissement des dômes est celle des niches sphériques, qui sont formées de la moitié d'un dôme coupé suivant un plan méridien vertical : ce plan est le plan de tète de la niche, dont l'extrados d'ailleurs est ordinairement noyé dans un massif de maçonnerie.

Il est aisé de se rendre compte, d'après ce qui a été exposé (308), du genre et de l'étendue des actions qui peuvent s'établir dans une semblable construction. On trouve que la poussée totale que peut éprouver la tête â^une niche sphérique, dans une direction perpendicu^ taire à son plan^ reste comprise entre 3,14 Qr et 2Qr, r étant le rayon de la niche, et Q la poussée horizontale due à son profil â^ équilibre considéré comme appartenant à un berceau droit.

Cette poussée sera toujours considérablement atténuée par les résistances accessoires, qui jouent ici le même rôle que dans les dômes, et cela d'autant plus que la tète de la niche supporte presque toujours la charge d'un mur qui concourt énergiquement k accroître la résistance au déplacement des voussoirs. On pourrait d'ailleurs ajouter encore a ces résistances naturelles par l'un des procédés indiqués au n* 311, ou par tout autre analogue.

La combinaison la plus efficace pour assurer la stabilité d'un hémicycle, ou d'une niche de grande dimension, consiste k la prolonger par une voûte en berceau dont l'intrados est décrit du même rayon que la niche même. La résistance est alors continue comme l'action, et eUe peut être regardée comme indéfinie, puisqu'elle n'a pour limite que le déplacement du berceau tout entier dans le sens de sa longueur; si, comme cela a lieu dans un pareil cas, l'extrados

47S PREMIÈRE PARTIE. — lUÇONNERIE ET TERRASSE.

de la niche doit être nu, on pourra y annuler la poussée, comme il il a été dit précédemment, en rendant cettç niche solidaire du berceau.

Si une niche, au lieu d'avoir un intrados sphèrique, avait toi|t autre intrados en surface de révolution ou en surface courl>e quel* conque, on conclurait toujours son établissement de celui du dôme dont elle dérive, conformément k ce qui a été exposé aux n*' 307 et suivants. Quant à rétablissement de leurs pieds-droits ou demitambours, il résulte toujours de ce qui a été indiqué au n* 311.

515. Voûles en arc de cloître et voûtes darêie. Il ne peut pas être besoin de donner ici la définition des voûtes en arc de cUAtre et des voûtes d^arête; il suffira de distinguer en quelques mots ces deux systèmes, qui sont, pour ainsi dire, inverses Fun de l'autre.

Si un même espace quadrangulaire ABGD est recouvert, seit par une voûte en arc de cloître, Jig. 108, soit par une voûte d*arète, fig. 109, dans le premier cas, l'une des surfaces*cylindriquès dlntrados projetée en AOB, par exemple, aura ses génératrices parallèles h la face ÂB, les arêtes de rencontre AO, BO se profileront en creux, et le mur AB devra être conservé entier pour former pieddroit; dans le second cas, la portion d'intrados cylindrique AOB aura ses génératrices perpendiculaires à la face AB, les arêtes de rencontre AO, BO se profileront en saillie, et le mur sera supprimé dans tout l'intervalle AB, les piliers AM, BN servant seuls de piedsdroits à la voûte sur la face AB. Les différences sont les mêmes dans les trois autres espaces triangulaires AOD, DOC, COB.

D'ailleurs, l'une ou l'autre espèce de ces voûtes peut recouvrir un espace polygonal autre qu'un rectangle. Dans le cas de la voûte en arc de cloître, le mur formant pi^d-droit est continu sur tout le contour du polygone; dans le cas de la voûte d'arête, il reste seulement un pilier à chaque angle du polygone, et d'un pilier à l'autre règne une tête de berceau droit. On trouve à cet égard des exemples très-variés dans les édifices du style sarrazin, où les entre-croisements de voûtes sont accusés par des nervures d'une élégance r^ marquable : dans l'église de Notre-Dame-des-Fleurs, à Florence, 1« partie centrale de la nef est couverte par une voûte en arc de cloîtra octogone de 42 mètres de diamètre.

V établissement de ta voûte en arc de cloître sera tout à fait ana* logue à celui du dôme, que Ton peut considérer comme une voûte en arc de cloître d'un nombre infini de côtés (308).

Supposons qu'une voûte en arc de cloître, ayant pour base un polygone régulier, Jig, 108, soit partagée par des plans verticaux* mais suivant ses arêtes, en autant d'onglets qu'il y a de côtes dans le polygone de base. Si Ton regarde Fadhérencé et la résistanee transverses des matériaux comme nulles^ chacun de ces onglets

Fig. \W.

de^rft se maintenir en équilibre séparément, ^t exercer, tant au sommet qu'à la base, une poussée horizontale totale G, qui soit constante sur un joint horizontal quelconque dudit onglet. Soit l la longueur AB d'un côté du polygone de base, Q la poussée horizontale qu'il supporte, rapportée li Tunité de longueur; il faut que

De même, si Ton considère un joint quelconque mn^ déterminé par le plan de joint qui fait un angle a avec la verticale, sa longueur est seulement / sin a, et la poussée horizontale g

qu'il supporte, rapportée àTunité de longueur, est telle que

G = 9! sin a, d'où q-=^'~-,

^ ^ sm*

Résultat conforme à la formule (1) du n'' 308.

La voûte complète, résultant de la réunion de tous les onglets égaux à AOB, sera elle-même en équilibre, si chaque onglet a été établi suivant lé profil (J'équilibre du berceau droit de même intrados.

Si Ton enlevait la portion mOn dans chaque onglet, l'équilibre ne pourrait subsister, a moins que le joint mn ne fût rendu parfaitement rigide.

Si R' représente le rayon OA du cercle circonsçrif, R le rayoq Oa du cercle inscrit, co le demi-angle au centre du polygone, oa ^

C08 «»= f>7; conséquemment la poussée horizontale exercée suivant

Tarête OA, par les deux joints m», mn' qui s'y coupent en m, a pour valeur

Il résulte de là que la pression ^, supportée par chaque joint Tmi, mn, dans le sens de sa longueur, est

/ = Fy, d'où ^ = QR.

Aflnsi^ quelle que soit la hauteur du joint horizontal à partir duquel on enlève la partie supérieure Sune voûte en arc de cloître : V la

poussée horizontale qui s^éiablit suivant chaque arête est constante et ne dépend que du profil de la voiUe et de la figure du polygone de hase\ T la pression qui s* établit suivant chaque joint supérieur est constante aussi^ et égale au produit du ra^/on du cercle inscrit au polygone de base par la poussée horizontale résultant du profil ^équilibre de la voûte.

Ces résultats, complètement analogues k ceux qu*on a obtenus pour les dômes (308), montrent que la stabilité des voûtes en arc de cloître peut, jusqu'à un certain point, s'établir de deux manières distinctes, c'est-à-dire par poussée suivant les onglets que limitent les arêtes, ou par poussée suivant les points horizontaux. L'état naturel d'équilibre participe nécessairement de ces deux modes de stabilité, et il se trouve puissamment favorisé, soit par l'adhésion des matériaux entre eux, soit par la résistance des chaînes d'arête, qui empêche la division en onglets. Une ceinture étreignant la voûte suivant le contour du polygone de base, et dont la tension serait égale à Qr (308), suffirait pour annuler la poussée à chaque angle du pied-droit, mais pourvu que sur la longueur du côté du polygone chaque partie du pied-droit fût rigide : il faudrait donc, pour obtenir cette condition, et rendre la ceinture complètement efficace, que, d'un angle à l'autre du pied-droit, on prévînt la flexion de la maçonnerie au moyen d'une ferme en fer posée horizontalement et reliée à ses deux extrémités avec les articulations de la ceinture, ou par tout autre système dont la résistance serait suffisante dans la circonstance considérée. Un tel système sera toujours trèsfacile à établir, si l'on considère qu'il fonctionne rigoureusement comme une pièce posée sur deux appuis, et qui supporte perpendiculairement à sa longueu^ une charge totale Qjl distribuée uniformément (103).

La poussée étant détruite dans les voûtes en arc de cloître > soit par les résistances accessoires dues à la nature des matériaux, soit par un procédé quelconque de consolidation, l'établissement des piedsdroits ne comportera plus que la vérification de leur résistance à l'écrasement.

Établissement des voûtes d'arête. Les voûtes d'arête ne sauraient être, con^me les voûtes en arc de cloître, partagées en secteurs qui doivent se maintenir séparément en équilibre. Ici, au contraire, chaque portion de voûte ne peut se soutenir qu'en s appuyant sur les deux portions voisines, comme un berceau sur ses culées; toute la poussée se trouve composée dans le sens de la longueur de chaque arête, et transmise intégralement à chaque pilier, dans le sens de la diagonale de sa base.

Considérons d'abord une voûte d'arête projetée sur un carré A6CD, fig, 409, et dont l'intrados est d^^crit d'un rayon r égal à la

Fig. 109. demi-longueur d*un côté. Supposons que

le profil des quatre berceaux droits tronqués AOB, BOC, etc., soit celui d'équilibre; le berceau AOB exercera, tant en m! qu'en m", et dans le sens de la ligne mW, tine certaine poussée horizontale Q rapportée à Funité de longueur, et qu'on sait calculer. La poussée Q, comme on sait, est constante, quelle que soit la position des points m' w" correspondant à un joint quelconque m de l'intrados. Pour toute l'étendue du berceau tronqué AOB, la poussée horizontale sera donc Qr, attendu que Oa = Aa = r. L'arête AO recevra toute cette poussée, laquelle sera distribuée uniformément sur la longueur AO et dirigée parallèlement à AB ; mais la même arête AO recevra du berceau tronqué AOD une poussée horizontale d'égale intensité Qr, et dirigée parallèlement à AD. Conséquemment, on aura, pour la

poussée horizorUale totale t dans le sens d'une arête ,

MW

Connaissant le poids total MW de la voûte, d'où celui -j- que

supporte chaque pilier, et la poussée horizontale t appliquée au sommet du pilier, on fera facilement son établissement au moyen des formules du n* 298. On remarquera seulement qu'ici le pilier est sollicité suivant sa diagonale OU, et tend a se renverser en tournant autour d'une ligne ST perpendiculaire à OM.

Dans le cas, assez rare du reste, où la voûte d'arête, au lieu de se projeter sur un espace carré, se projetterait sur un polygone régulier, on pourrait, en s'appuyant sur ce qui vient d'être dit, et tout aussi facilement que pour les arcs de cloître, trouver la poussée suivant chaque arête.

Quelle que soit la disposition d'une voûte d'arête, on voit toujours qu'elle n'exerce aucune poussée sur ses têtes, mais que la poussée de ses piliers ne saurait être annulée que par des tirants nécessairement visibles, et qu'il faudrait établir, soit d'une naissance à l'autre sur chaque tête, soit suivant la diagonale commune de deux piliers opposés. Cet inconvénient de ne se point prêter à des moyens de consolidation accessoires, et celui de reporter toute la charge de la voûte sur des pied&-droits isolés, font que les voûtes d'arête ofifrent peu d'avantage sous le rapport de l'économie, et ne sont guère usitées dans la pratique commime. Il y a exception, toutefois, en faveur des voûtes dites à Vimpériale^ lesquelles, construites très-légèrement,

4S2 PREMIÈRE PARTIE. — ÉlAÇONNERIE ET TERRASSE.

et d'ailleurs avec des briques II crochet et du plâtre, qiii annulent presque absolument la j)oussée, déclinent Tun et Tautre des inconvénients que Ton vient de signaler. On peiit construire également ces sortes de voûtes avec des briques 'de Boui^gogne, ou des briquettes de 0'",03 d'épaisseur, posées avec du mortier de ciment de Vassy; la prise instantanée et la grande force de cohésion de ce mortier annulent presque entièrement la poussée.

SI 4. Meàurage des voûtes en arc de cloître et des voûtes d'arête. Lorsque ces voûtes ont un intrados circulaire, et que Textrados est limité par la courbe péricycloïde (303), on obtient facilement leur volume en suivant la même marche que pour les voûtes en dômes (310). Pour les Voûtes en ârc de cloître, si R désigne toujours le rayon du cercle inscrit, r le i*ayon d'intrados, e l'épaisseur k la clef, l le côté du polygone, et n le nombre des onglets qui composent la voûte, on a, pour le volume de la voûte, jusqu'au joiht qui fait ud angle quelconque à. avec la verticale,

V =^ Ter* L. -^ + e»r (— 1 W -tanguai.

R L cosa^ \cosa / 6 ^ J

Cette formule est exactement conforme à celle du n"* 310, pour le

cas de l'intrados circulaire, si ce n'est que le facteur r^- remplace le

facteur 2», soit — , ou, en d'autres termes, que le contour du polygone remplace le contour du cercle.

Quand la voûte se projette sur un carré dont lé côté est 1^, et que d'ailleurs le joint extrême correspond a a;=r:60*, la formuie précè* dente se réduit k

V= er» X 5,545176 + eV x 8 + e» x i.

Quant au volume des voûtes d'arête, voici comment on pourtii l'obtenir :

Considérant, dans le berceau tronqué AOB, Jig, 109, tliié SéctiOtt faite suivant le plan vertical quelconque m^m*\ qui répond k l'angle de joint a, et désignant par u la superficie variable de cette section^ par V le volume d'un des quarts de la voûte, par e rèpaissenr k la clef, et par r le rayon d'intrados, on a

, 1 H- sina . ,, ,..

a = cr L. y-^—. h e«tangtt, (1)

l—sma • o ^ '

Le volume d'une voûte d'arête à intrados circulaire et projetée sur un carrée jusqu'au joint qui fait V angle a ofcee la verticale^ est

4V==4errr8inaL.J±5|£i!2rL.-i- + e(l-C08«)l (2) L l—sma cosa ^ /j» \ /

ou, quand le joint extrême co7respond d « == B0<»,

4 1 = er* X 3,578968 + eV x 2,0Ô. (3)

Dans le même cas de a = 60», les valeurs de u, formule (1), sont données par la formule pratique

u = erx 2,633913 + e« x i ,732050. (4)

On poflrra toujours conclure des formules précédehles îé vttltihiè jusqu'au joint extrême, y compris les parties de berceau droit qui régnent dans la longueur et dans la largeur des pieds-droits, on y ajoutera le volume des parties inférieures formant culées, et l'on arrivera ainsi au volUttie total jusqu'aux naissantes (278). (Les coefficients en ft sont doiinês tout calculés dans la table de la page 460.)

Soit, fig, 408, un espace Â6CD couvert par une voûte en berceau ayant pour naissances ÂB, DG. Les plani verticaux hienés suivaiit let^ diagonales AC, BD diviseront le berceau en deux pans t)A6 éi OCD d'une Voûte d'arc de cloître de même intrados que le berceau, et en dent luûettes OBC et ODA d'une voûte d'arête également de même intrados que le berceau. Un second berceau ayant jpbùr naissances AD, BC serait divisé de la même manière. 11 résulte donc que la surface de deux voûtes eri berceau, en plein cintre ou surbaissées, est la somme des surfaces de deux voûtes de même courbe «d'intrados et de même plan de projection, l'une en arc de cloître et l'autre d'arête ; le volume des berceaux est aussi la somme des v'6lùmeâ de ces voûteô. Il s'ensuit donc que, connaissant leS surfaces du les Volumes dé deux quelconques de ces trois voûtes pour une même directrice d'intrados et un même plan de projectiott, la détermination de la surface et du volume de la troisième sera de la plus grande simplicité (page 486).

Loi^que les courbes d'intrados et d'extrados sont des cercles, on peut se iservir des procédés pratiques suivants pour déterminer la sUrfàce et le volume des voûtes d'arête et en arc de cloître.

Pour Obtenir la superficie d'une voûte d'arête plein-cintre sur jplan carré, on multiplie celle de son plan de projection par le terme intariable i -h 1/7; ou bien on ôte la longueur du diamètre de celle de la demircirconférence^ on prend le quart du reste^ on ajoute ce quart au même diamètre^ et on multiplie la somme par la lofigueur de la voûie» Dans ces deux cas, il reste à multiplier la superficie moyenne de l'extrados et de l'intrados par l'épaisseur de la voûte pour en avoir le cube sans les reins.

Exemple : Soit à déterminer le volume d'une voûte d'arête, sur ptau earré, de i mètres de diamètre moyen pris au milieu de l'épaisééurde la vi»Û«é et dé O^^IO d'épaisseur.

Suivant la première règle, on a

(4,00 X 4,00) X (1 + i/7) = 18-^,29 de surface; Suivant la deuxième règle,

Si Ton multiplie cette superficie par 0",40 d'épaisseur, on a, pour le volume cherché,

La mrface des voûtes en arc de clcîire sur plan carré et à intrados demi-circulaire se mesure de la manière suivante :

On ajoute à la demircirconférence dintrados de la voûte les trois quarts de la différence qui existe entre cette demi-circonférence et son diamètre^ et Von multiplie cette somme par la longueur de la voûte; ou bien, on multiplie le plan de projection de la voûte par 2, terme invariable ; on obtient aussi cette surface en multipliant par k le carré de la ligne oblique bc, fig. 108, menée de la naissance au centre de la clef; ou bien encore, en élevant tout simplement au carré la diagonale AC du plan de projection.

Le volume de ces voûtes s'obtient «nmuZ^êpZtan^ la surface moyenne de rinirados et de Vextrados par V épaisseur de la voûte.

Pour les voûtes d'arête ou d'arc de cloître surbaissées ou surhaussées, sur plans rectangulaires ou polygonaux réguliers ou irréguliers, dont le rapport de la surface k sa projection est indéterminé, il est impossible d'établir des règles générales pour calculer leur surface; on fait alors le rabattement, c'est-a-dire la planification de cette surface a l'aide d'une épure à grande échelle, et l'on évalue ce rabattement. Nous allons exposer cette manière d'opérer. Supposons, ^^, ilO, un espace rectangulaire ABGD, couvert par

un berceau ayant AB, DG pour naissances, et la courbe BGG pour directrice d'intrados. Goupant ce berceau par les plans verticaux passant par AG et BD, OAB sera un des pans de la voûte en arc de cloître qui recouvrirait l'espace ABGD, et OBG serait une des lunettes de la voûte d'arête qui recouvrirait le même espace.

De Ik il résulte que notre épure va nous donner k la fois le développement d'un pan de voûte en arc de cloître et celui d'une lunette de voûte

d'arète, et faire bien comprendre la manière d*opèrer, suivant qu*il s'agit de Tune ou de l'autre de ces voûtes.

Pour simplifier, il convient de ne développer que la moitié QBE du pan de voûte en arc de cloître, et la moitié OBF de la lunette de voûte d'arête.

On prend la droite BF' égale au développement de la courbe BG; on divise ces lignes en un même nombre de parties égales (en prenant un nombre pair lorsqu'on veut faire usage de la formule de Thomas Simpson); par les points de division on trace des parallèles à AB, et par les points 0, H, I, etc., oh en mène a BC. Traçant alors une courbe BO' passant par les nouveaux points obtenus 0', A, t... B, elle est le rabattement de l'arête rentrante OB de la voûte en arc de cloître, et de la même arête saillante de la voûte d'arête; BEO'F' est la planification de la portion OFBË de berceau, BOT' est celle de la demi-lunette OBF, et BEO' celle du demi-pan OBE.

Il ne reste donc plus qu'a évaluer les surfaces BOT' et BEO'.

Le nombre des divisions de BG ayant été pris assez grand pour que les parties de courbe O'A, Ai, etc., soient sensiblement droites, la surface BO'F' pourra être considérée comme composée de trapèzes et d'un triangle, et représentant par :

S cette gurfaceBOT';

L la longueur de BF' ou de BG ;

^o> Vi* y^'-Vn^ 1^ ordonnées F'C, /A.... et cellèlnenëe eo B, qui est nulle;

n le nombre des divisions de BP',

On a

Pour BG = BF' = 3-,00, n = 6, yo = 2-,65, y, = l-,80, y, = 4-,25, y,= 0-,70, y^ = 0-,32, y,= 0-,il et y.= 0, il vient

Thomas Simpson a donné une formule qui donne encore plus approximativement que la précédente l'aire d'une surface telle que BO'F'; elle est, en conservant aux lettres les mêmes significations, mais n étant toujours un nombre pair,

s=^ryo+y»+4(yi+ya + y5 + ...y«-i) + 2(2/î + y4-f-ye+---y»-j)] Pour les valeurs numériques ci-dessus, cette formule donne

S===^~^r2,65 + 0 + 4 (1,80 + 0,70 + 0,11) + 2(l,Stô + 0,32)l=2-%70.

49^ PKEUIÈRE PAUTIE. — UAÇONNERIE ET TERRASSE.

pn çalcuiprjii^ de mettre, p^r Tiiçie o^ Taut^'e des deu? fonniJes précédentes, la surface PEU', c'est-a-dire la surface de Is^ moitié (tu pan d'arc de cloît^'c OBP, et, comme vérification, ce^te surface, ajoutée ^ celle BO'f", doit donner 1^ surface rectangulaire BEO'f% c'est^a-dire la surface de la portion de berceau OFBE.

fiOrsque Içs yoûtes d'arè^ e^ e^ arc de cloîiiçei sont çxt^adossées Il^rizontalement, c'çst-'a-dire quand leurs ye^ns sont remplis ju$qu*aii uiveau de Vextra^ps de la clef, y. Berthot, ingénievir eti cl^eÇ 4^ piqpts et chaussées, donn^ I(^ fqrxi)\i(es ^uivaptes pour calculer le volume du massif de ce^ yoûtes Ç9n[)pri^ entre V^^t^ado^ et ^e pla|^ horizontal tangent ^ Vextrados k la c)ef.

Concevons uiî p^raViélipipède reqt^qg)ei ^Q^nt Içs 4ûneiisioii$ spnt c(, ^ et c; c est, par exemple, la h^utei^r.

Si sur les. qus^tre faces latérales on dèciri^ fuatrç. demi-eUifiBes ayant pour grands ^^es les côtés co^r^pondants de la t^açe inférieure du parallélipipè^e, çt pour 4^nii-axes verticaux la )iauteur c, on

Sourra considérer ces quatre demi-ellipses comme basçs de cylinres droits qui chercheront une por^on du parallélipipède, et ce qui restera sera le massif qui sijriponte vuap voûte d'a^é^. Appelant V le volume de ce massif, pu wra

\=zabc

Si, au contraire, les quatre demi-ellipses sont considérées comme bases de cylindres droits qui se pénétreront, et si Ton ne cop^erve de chacun de ces cylindres que la portion qui serait emportée par l'autre en cherchant à faire une voûte d*aréte, alors il restera le massif d'une voûte en arc de cloître.

pésignant également par V le volume de ce massif, on aura

Nous avons dit, page 483, que les deux voûtes en berceau, élevées sur ua même plan, étaient égales, en çurface et en volume, k la sppme d'une voûte d'arête et d'une voûte en arc de cloître de même djrectrice d'intrados. Ce principe peu^ s^ contrôler au mqyen des deux formules précédentes (ij et (2).

Exemple : soit a = 2",00, b = 2",00, et c = 1",00. On a pour le volume des massifs compris entre les extrados, le plan horizontal tangent à ces extrados et les faces latérales des deux parallélipipèdes formant les deux voûtes en berceau,

V = 8(2,00xM0x4,00^Sgr^|-^^^^)= i^,n

PojLir laypûte d'ar^^te, on a, d'après la.formule (i), ^

V=;M0xSI,0pxi,0ff (-"^^i^-^^^*)^. •. 0-M9

e^ pou;* la voû^ ep«arc de cloître, 4'après la f^raiale (2),

y ^ gl,00 xVoo X 1,00(1 4-^3 X 8,1 A)^^' .^ ^..^^

dont la somme donne un volume égal h, celui des massifs des deux voûtes en berceau ., ^ l"*,7a

5iJJ. Considérqfiqns générales sur Vappareil des pierres. Un ouvrage çn inaçûilniyie sç compose de pierres dont les dimensions dépendent de èetle§ dr^ matériaux que Ton a pu se procurer, sans dépasser une liinîte rui^fimable de dépense, et dont les formes sont celles gui leur donnent 1<^ plus de résistance pour supporter les efforts au xqut^b dïe^ sont soumises. Pour satisfaire à cette dernière condition, il peut ^rrivnr que les faces de la pierre doivent être taillées suivant des surfaces courbes; alors, pour que la taille n'offre pas trop de difficultés, ces surfaces doivent être réglées, c*est-à-dirc engendrées par le inouvement d'une droite; et, si c'est possible, ces surfaces réglées doivent être développables , c'est-à-dire pouvoir se développer sur un plan, ce qui exige que les positions successives de ia génératrice soient deux k deux dans un même plan. Pour qu'une pierre offre le plus d'uniformité dans sa résistance, chacune de ses faces doi^ être perpendiculaire aux faces adjacentes : un angle aigu est évidemment plus sujet a s'écorner ou s'écraser qu'un angle droit, et surtout qu'un angle obtus. Une pierre stratifiée offrant la plus grande résistance dans le sens normal à ses lits de carrière, ces lits doivent toujours être disposés normalement k l'effort qui sollicite la pierre.

Daps un mur vertical, une pierre n'étant soumise qu'au poids de la partie de construction qui la surmonte, ses joints d'assises doivent être horizontaux, les joints montants verticaux, et les faces apparentes normales k tous ces joints, si le mur n'a pas de fruit. *'bans une voûte cylindrique, la pression d'un voussoir sur le voussoir inférieur est dirigée suivant la tangente k la courbe des pressions (302), et, en supposant qu'en tous les points du joint les pressions soient parallèles k cette tangente, le joint doit être plan et normal k cette tangente. La courbe des pressions n'étant pas rigoureusement déterminée, la direction du joint se fixe d'après une autre considération. Lorsque la voûte est abandonnée k elle-même, parmi

toutes les lignes quQ Ton pent tracer sur la doueile, il y en a une qui est plus comprimée que toutes les autres et une qui Test au minimum. Le plus grand effort se produit tangentiellement k la première, et le plus, petit tangentiellement à la seconde. La première courbe étant celle de plus grande courbure, c'esi4-dire de plus petit rayon, elle est .déterminée parr la section droite de la voûte; la seconde courbe étant celle de plus petite courbure, elle n*est autre chose qu'une génératrice de la douelle. Ainsi les joints qui divisent les assises en voussoirs doivent être engendrés par une droite qui se meut sur la section droite, en restant normale à cette courbe ou mieux à la douelle de la voûte; toutes ses positions sont dans le plan de la section droite, et par suite les joints discontinus sont plans. Quant èi chaque joint continu, il est engendré par une droite se mouvant en restant normale à la voûte et en s'appuyant sur une génératrice; ces joints sont donc encore plans, et déplus normaux aux joints discontinus. Il en résulte que la voûta étant extradossée parallèlement, chaque face du voussoir est normale aux faces adjacentes; que les faces en douelle et en extrados sont des surfaces développables, que les autres sont planes, et que toutes sont faciles à tailler. 11 est k remarquer que ces considérations appliquées a un mur vertical conduisent, comme ci-dessus, k placer horizontalement les joints continus et verticalement les joints discontinus.

5i6. Voûtes biaises. Poussée au vide. Parmi les cas particuliers que peuvent présenter les voûtes en berceau (278), le plus commun et le plus important est celui des voûtes biaises^ c'est-k-dîre des voûtes dont le plan de tète n'est pas perpendiculaire k Taxe du berceau.

Soit ABCD le plan des naissances d'une voûte droite indéfinie;

Fig, ,11, la portion de voûte droite limitée à

ay deux plans verticaux AB et CD, incli-

J/ A nés sur Taxe aa' de la voûte, prend le >C A'/ / ^^^ ^^ voûte biaise. Les plans de têtes /^25^>V AB, CD sont parallèles k Taxe 66' de ^^'•/^/"Y la voie supportée par la voûte, et l'on / / nomme angle du biais Tangle p formé

'/ f par Taxe 66' avec Taxe aa! de la voûte,

^ ou de la voie ou du cours d'eau qui passe

a; sous le pont.

En considérant Tensemble de la voûte biaise, les lignes de plus grande et de plus petite courbure, c'cst-k-dire de plus grande et de plus petite compression, que l'on peut tracer sur la douelle, sont encore les sections droites A'B, A"B'... et les génératrices, et en prenant ces lignes pour directrices des joints, on est conduit k appareiller la voûte biaise comme une voûte droite.

Mais si Ton considère la voûte comme étant composée d^unc parlîe centrale A"B'C'iy', et de deux parties extrêmes ABB'A'' et DCCD", la première sera une voûte droite, laquelle, reposant sur des culées uniformes dans toute leur étendue, s*e trouvera dans les conditions les plus favorables de tassement et de solidité ; et, considérée isolément, elle devrait être appareillée suivant les sections droites et les génératrices ; mais la partie ABA' ne reposant sur la culée que par une arête B de joint, sa poussée, dite poussée au vide suivant le joint AB, parce qu'elle tend k jeter la partie ABA' en dehors de la tête de la voûte, ne sera détruite que par Tadhérence ou la cohésion du mortier, et par Tenchevêtrement des voussoirs, qui la reporteront sur la culée. La portion de voûte A'BB'A", ne reposant que sur la partie triangulaire BB'B" de la culée, ce triangle se comprimera plus que le restant de la culée ; et s'il n*y a pas disjonction suivant A"B'^, c'est qu'une partie de la poussée de A'BB'A'' se reportera au delà du plan A"B". Ainsi, suivant A"B", la poussée au vide se composera d'une partie de la poussée de A'BB'A'^ et de la poussée totale de ABA'. C'est donc suivant A''B'' que la poussée au vide est maximum; aussi est-ce vers cette ligne, du côté de l'angle aigu B, que l'on a vu des voûtes biaises se lézarder suivant la section droite.

Les considérations précédentes , qui établissent le défaut de solidité de l'angle aigu B de la culée, s'appliquent aussi à l'angle aigu de chaque voussoir de tète , du moins pour ceux qui se trouvent audessus du joint de rupture pour le côté AC.

Dans rétablissement des voûtes biaises, il s'agit de prévenir la poussée au vide^ ce qu'on ne peut faire qu^au prix de quelques difficultés d'appareil et d'exécution : aussi les praticiens cherchent-ils à éviter ces sortes de voûtes, dans toutes les circonstances secondaires qui laissent quelque latitude à cet égard ; mais lorsque les alignements sont donnés d'une manière impérieuse, comme, par exemple, à la rencontre d'une route anciennement établie et d'un chemin de fer, force est de recourir aux procédés qui ont été indiqués et éprouvés pour la construction des voûtes biaises.

Pour supprimer la poussée au vide de la partie A'BB'A", on a quelquefois prolongé la culée jusqu'à BE ; pour n'avoir pas k s'occuper du biais, on a aussi quelquefois fait les têtes normales à aa'\ mais ces dispositions ne sont pas toujours possibles, et de plus elles augmentent le volume de la maçonnerie.

Dans quelques cas, pour reporter la poussée au vide sur les culées, on a fait usage de tirants en fer, dont l'effet s'ajoute a celui du mortier et de l'enchevêtrement des voussoirs.

Dans une note sur les voûtes biaises^ publiée en 1856, par M. Léveillé , ingénieur en chef des ponts et chaussées , l'auteur dit avoir appareillé droit des arches de 4 à 10 mètres d'ouverture et d'un biais

atteignant 72*; il indique que Gauthey déclare ne s'occupe^ du biais que lorsque son angle atteint 67 et môme 63'; le pont de Trilpôrt, de 25 mètres d'ouverture et d'un biais de 72% est appareillé droit, et il en était de même des arches de Fancien pont au (Ibange de Pafis; enfin, il cite M. Baumgarten, qui, suf le chemin de fer de Saint- Quentin, s'est contenté d'incliner assez les joints pour que }eur angle avec les têtes ne dépassât pas une certaine limite.

Malgré ces exemples , en général, les ingénieurs ne se contentent pas d'opposer uniquement l'effet du mortier et de Tenchevêtrepient des voussoirs à la poussée aq vide, qui 8uJ)8iste quel que soit le mode fi'appareii, et qui ne dépend que de la forme de la voûte et de l'élaatlcijié des matériaux : par une direction convenable qu'ils donnent ^ux joints continus, les poussées, qui agissent dans les pl{^ls des sections droites de la voûte, sont ramenées*, autant que possible, dans des plans parallèles aux têtes; la poussée au vide est reportée sur les culées suivant ces plans, et les culées se trouveot sur toute leur longueur dans des conditions identiques pour résister aux efforts qu'elles ont à supporter. Nous allons passer en revue les diflërents modes d'appareils usités pour atteindre ce but.

317. Biais passé ou corne de vache. Hachette, dans l'édition de i828 de sa Géométrie descriptive, donne sous ce titre deux méthodes pour* appareiller les voûtes biaises.

Première méthode. ( Le plan des naissances est le plan horizontal pjg ,,2 de projection, et l'un des plans de

tètes est le plan vertical). On prend pour douelle de la voûte une portion de surface cylindrique dont la section par les plans de têtes sont des demi-circonférences. On fait par le centre 0 de la voûte une section de la douelle par un plan parallèle aux têtes. Sur cette section, représentée en plan par £F et en élévation par la • demi-circonférence err^fy on établit la division en voussoirs, et par les points de division et lecentre 0, menant des plans perpendiculaires aux, plans de têtes, les sections de la voûte par ces plans déterminent les joints continus ; on divise ensuite les assises en voussoirs par des plans parallèles aux têtes. Oo est la trace horizontale de tous les plans de joints, dont les traces verticales passent toutes au point o. Ces plans de joints coupent la douelle suivant des arcs d'ellipse dont les projections sont faciles k déterminer par points; ainsi, l'un de ces arcs se projette verticalement suivant la droite nki et horizontalement suivant la courbe NKI.

VOUTER BIAISES.

Qçufffiip^ m^^* £U€ consista à substituer & la surface cyiia- Pig ,,3 drique formant 1^ douelle, une

^^ ^^ surface réglée engçacirée par une

droite qui se meut en ^^appuy^nt sfr les demi -circonférences des têtes et sur la droite Oo, menée par ]e centre 0 de la voûte, perpendiculairement B,w plans de têtes. Il en résulte que Oo étant, comme dans Fappareil précédent» Taxe des plans des joints, chacun de cf|s plans coupe la douelle suivant upe génératrice qui passe par les extrémités d^ Tarq ^'eUipse qui déterminait le joint dans la première méthode.

IJu poi^it Qf comme centre, avec un rayon quelconque, décrivant unç^deuii-circonférquce, ^iv^sant cette demi-çirconférenceen autantde parties égales que Von yeut avoir de voussoirs, et joigpantle point o aux points de division, les lignes qui en résultent senties traces verticales des plans de joints. Les droites ni et NI sont les projections 4e l'ipterseçtioii de la douelle par un plan de joint.

|.e point ^ 1 où les projections verticales des demi-circonférences ^9 têtes se rencçntfent, est la projection verticale d'une génératrice ^ }a dpue]lq, et cette géiiératrice étant horizontale, il en résulte que la projection yer^cale 4c toute section faite dans la douelle par un pian tel qu0 OR, p^allèle aux têtes , passera par le point m.' La détçnpination qe Ifi projectiop verticale k du point K montre qu'il est ti*ès-facile de construire ces sectjpns par points.

L'inspection des deux figures précédentes montre que plus Tangle du ))iaj$ |iugç[i^n|^e, ainsi quq le rapport de la longueur k Touverture ^e la voûite :

y l^lusies yQifSsoirs 4e têtes sont inégaiif et plus ils produisent un ensemble d'un aspect désagréable.

^ Plus les intersections des têtes parles plans de joints s'éloignent de la normale a l'intrados, et plus quelques angle^ des voussoirs deviennept aigus et susceptibles d'éclater par l'effet des mouvements gui se produisent au décintrement.

3' P}i;s, dans l'appareil ^^. il3, le renflement au centre de la douelle, par suite de la powtion horizontale de la génératrice projetée en m, paraît sensible.

4' Plus l'ei^trémité n du premier joint se rapproche du plan des naissances, et l'on conçoit qu'il arrive une limite où un et même plusieurs joints viennent rencontrer le plan des naissances dans les culées; cette i-encontre peut même avoir lieu pour le joint de rup-

Fig. il4.

ture, lequel, se trouvant appareillé en crémaillère, reporte la poussée suivant la section droite de la voûte.

De ces inconvénients, il résulte que le biais passé n'a guère été employé que pour des voûtes de peu de longueur, telles que celles de portes biaises. Cependant, lÉ Couche Ta appliqué aux arches du pont par le(juel le chemin de fer du Nord traverse l'Oise ; mais le biais n'était que de 76", la largeur du pont 7",80 , et Touverture des arches 25",10. M. Léveillé Ta employé pour un pont de deux arches de chacune 7",40 d'ouverture et d'un biais de 33% mais n'ayant que \ mètre de largeur. Une voûte de 2 mètres d'ouverture, destinée au passage d'un chemin de halage sous le chemin de fer de Strasbourg, a ses tètes appareillées en biais passé ; le reste est établi comme une voûte droite, si ce n'est qu'on a dévié un peu les joints de la direction des génératrices, afin de les raccorder avec ceux des têtes.

Pour des travaux d'une certaine importance , on emploie la première méthode , parce que la partie comprise entre les tètes é^ant cylindrique, et en général en petits matériaux, elle est plus facile à établir. Les têtes seules sont en pierre de taille. 318. Division (Tune voûte biaise en zones. Supposons qu'après avoir

élevé la voûte jusqu'au point de rupture , c'est-a-dire jusque vers l'angle de 30** avec l'horizontale , on établisse le surplus par zones indépendantes,

séparées par des intervalles a6 , cd

que l'on ne remplit qu'après le décintrement. Dans chaque zone , la plus grande contraction se produisant suivant la ligne de plus grande courbure, ce sera suivant les courbes ayant pour projections les diagonales sb^ ad,.. Or, comme ces courbes diffèrent d'autant moins des courbes de tètes que les zones ont moins de large\j^, on voit qu'en réduisant cette largeur, on diminuera les chances de lézardes par suite des contractions inégales dans les différentes parties de la maçonnerie. Après le décintrement, les intervalles des zones se remplissent en plaçant d'abord les moellons formant douelle, et l'on conçoit que les contractions étant à peu près identiques dans toute la longueur de la voûte, les lézardes ik, qui se produisent souvent suivant la section droite de la voûte; du c5té des angles aigus des pieds-droits, sont moins k redouter (316).

L'idée de partager la voûte en zones est due k M. E. Clapeyron, et M. Lefort l'a appliquée avec succès sur le chemin de fer de Versailles frive droite), k des ponts dont le biais était de 52'. Sur le chemin de Saint-Germain, ou l'on a négligé la division en zones, il s'est

manifesté des lézardes dans des ponts moins biais et établis avec les mêmes soins que les précédents.

319. Voûtes biaises formées dPune série de voûtes droites. Pour reporter la poussée parallèlement aux plans de têtes, M. Hurel a proposé de remplacer le cylindre biais par une suite de voûtes droites a&, cd... perpendiculaires aux plans de têtes.

M. Boucher, dans un pont biais établi a Chartres, pour supporter

Fig. ub.

le chemin de fer {Annales des ponts et chaussées^ année 1848), au lieu d'accoler les voûtes partielles a'b\ &d'.,.^ les a séparées par un intervalle mn rempli d'une voûte d'une faible épaisseur. L'angle du biais est de 36*, et le passage a 9 mètres de largeur. Les voûtes, qui sont un peu en reculement sur les pieds-droits, sont en anse de panier à cinq centres, de 46",20 d'ouverture et de 5 mètres de flèche. Il y a six voûtes partielles, une sous chaque tête et chaque ligne de rails ; leur largeur est de 0"',80, et leur intervalle est de 0",70; pour les deux voûtes du milieu, l'intervalle qui correspond à l'entrevoie est de 1",06 au lieu de 0",70.

Les voûtes ont 1 mètre d'épaisseur; leurs arcs de têtes présentent aux extrémités du pont une archivolte d'une épaisseur uniforme de 1 mètre; mais intérieurement ils sont appareillés par carreaux et boutisses de 0",90 et 1"',10 de queue, et prolongés par des parements en meulières dont les joints continuent la coupe des voussoirs.

Les voûtes complémentaires ont 0",50 d'épaisseur dans toute leur étendue; elles établissent une liaison entre toutes les parties de la construction, au moyen de quelques voussoirs en pierre de taille ou en libages faisant harpe de 0<",15 à 0'',20 dans les voûtes principales voisines.

Les extrados de toutes les voûtes sont à la même hauteur à la clef; d'où il résulte qu'en ce point les intrados des voûtes principales sont de 0",50 en contre-bas des intrados des voûtes de remplissage. La surface gauche continue, qui doit recevoir la chape, s'obtient a l'aide de quelques remplissages en maçonnerie, faits dans les angles rentrants que présentent les extrados des différentes voû* tes partielles.

494 PREMIÈRE PARTIE. — itAÇONNËRtE ET TERRASSE.

Ce système d'appareil est applicable quel qiië soit lé biàtâ, mà\i il a rinconvénient d'augmenter rouvetture des voûtfes, fet tt'exige^ beaucoup de pierre de taille, dont le prix est d*àUtaht plus élevé que le dévelopjpement des arêtes et des parements vus est plus considérable. La multiplicité des angles saillants et rentrants que présente la douelle n*est pas non plus d'un effet très-heureilx, quoique Ton ait soin d'arrêter ces angles aux naissances, en appareillant suivant le biais les parements vus des pieds-droits. Enfin, un inconvénient qu'il convient encore de signaler consiste dans la facilité avec laquelle les nombreuses arêtes s'épaufrent par les chocs des corps flottants, lorsque le pont est établi sur un cours d'eau navigable ou sujet à des crues.

520. Appareil orthogonal parallèle. Supposons que la voûte est divisée en zones par des plans EF, GH..., parallèles aux têtes, ^^r. 116, et que Ton ait tracé sur la douelle des courbes continues, telles que IK, appelées trajectoires orthogonales, perpendiculaires aux différentes sections déterminées par les plans AB, EF, GH... En prenant pour génératrice des joints une droite qui se meut en restant normale k la douelle, et en s'appuyant sur les trajectoires pour les jointe continus d'assises et sur les sections EP, GH... pouf lés jointe discontinus, on conçoit que les plans ÈF, GH..: étant su{)poséâ infiniment rapprochés, l'on pourra considérer chaque tone eôîhme Une petite voûte droite, et l'on se trouvera dans les conditions les plus favorables a la stabilité.

5^1. Tracé géométrique des projections^ rabattements et développements des différentes lignes d'appareil visibles svr la douelle. Le plan des naissances est pris pour plan horizontal de projection, ef le plan de tête AB pour plan vertical. Les développements sont faits sur le plan horizontal, en opérant les mouvements autour de l'àrété AC de naissance [fig, 116).

Du point quelconque t', appartenant à la couft'be de tête, dbaissaht la perpendiculaire %i à AB, la parallèle il k AC est la projection horizontale de la génératrice passant par lé point t de la ddiielle.

Prenant oo' = ii\ le point o' appartient aii ràbatterhéiit Po'B de la section droite BP; on peut donc construire ce rabattement par points.

Dans le développement de la douelle sur le plan des naissances, le point B vient au point B', extrémité de la perpendiculaire Pfe', qui est égale au développement de l'arc Po'B. La génératrice BD prend la position B'D', en restant égale et parallèle k AC. Le rabatte-» ment IL d'une autre génératrice quelconque s'obtient comme celui de BD ; il suffit de prendre QI = arcPo'.

Le point I appartient au développerhent AIB* de l'arc de tête At'Bj on peut donc tracer ce développement par points. La courbe GLIi'

se trace eh stiiyant la même marche que pour ÂIB'; mais si cette dernîèi'e eât décrite^ on obtient un point quelconque L, en menant IL égal et parallèle k la génératrice AC.

La forme des courbes ÂB' et CD' leur a fait donner le noiii dé êinusoîde; ce sont du reste des courbes de Tespèce sinusoïde.

Toute section EF, parallèle aux tètês, se développe suivant une courbe EF' égale a AIE', et deux courbes quelconques interceptent la môme longueur sur toutes les génératrices.

Pour tracer une trajectoire, par exemple celle qui part du point !, on est obligé, lorsqu'on ne fait pas intervenir l'analyse, d'opérer par tâtonnement, en cherchant la courbe continue IK, qui paraît rencontrer normalement toute les courbes AB', EF'... Le développement de là trajectoire étant arrêté, pour avoir la projection horizontale, on détermine les projections horizontales des points de rencontre dfe ÎK avec les courbes AB', EF'... Pour avoir, par exemple, celle i du point I, il suffit de mener par I une perpendiculaire à AC, et de la prolonger jusqu'à la trace AB de la section qui fournit la courbe AB'. La cour))e lA, qui joint les points obtenus, est la projection horizontale de IK. Pour tracer la projection verticale de trajectoire, on opère encore par points. Ainsi le point i\ rencontre de la perpendiculaire n' a AB et de la projection verticale A/'B de la courbe déterminée par la section AB, est la projection verticale du point 1.

Nous verrons au n" 323 que le développement IK, de la trajectoire qui passe par le sommet I de la voûte, a pour asymptotes AC d'un côté et D'B' de l'autre ; que les développements de toutes les autres trajectoires sont tangents k AG et à D'B'; que, convenablement prolongés, tous ces développements peuvent coïncider entre eux et avec IK prolongé; enfin, que si l'on établit un pistolet om patron, limité pair CAIK, et convenablement prolongé au delà de CK, eh faisant glisser ce pistolet le long de AG, son arête IR s'appliquera successivement sur toutes les trajectoires et portions de trajectoires comprises sur le demi-développement AILG, et permettra de les tracer. Ainsi, lorsque le sommet du pistolet sera en F, son arête IR Coïncidera avec la trajectoire l'MR.

Comme les deux côtés de la voûte sont identiques, en retournant le patron bout pour bout, de manière a faire coïncider AI avec D'L, AC coïncidera avec D'B', et en faisant glisser le patron le long de D'B', on pourra terminer les trajectoires qui coupent IL et qui ne sont encore tracées qu'à gauche de IL, et décrire toutes celles qui coupent LD'.

AG et DB sont aussi les asymptotes de la projection horizontale ik de la trajectoire IR qui passe par le sommet I ; toutes les projections horizontales des autres trajectoires sont aussi tangentes à AG et DB ;

et en taillant un patron CAik convenablement prolonge au delà de Cky en le faisant glisser le long de ÂC, on tracera les projections horizontales des trajectoires et portions de trajectoires comprises à droite de la génératrice milieu il. En retournant le patron bout pour bout, et faisant glisser son arête le long de DB, on terminera le tracédes projections horizontales des trajectoires sur l'autre moitié de la voûte.

Enfin, AB est encore, dans les deux sens, asymptote de la projection verticlale SiT de la trajectoire IK; les projections verticales de toutes les autres trajectoires sont aussi tangentes k âB dans les deux sens; et en faisant glisser le long de AB un patron Bu'S, on tracera toutes les projections, telles que t'A:', situées a droite de la génératrice l'i'. En retournant le patron pour lui donner la position AuT, et en le faisant glisser le long de AB, on tracera les projections situées k gauche i'I', Quand la courbe de tête est une demi-circonférence, la tangente en un point quelconque k' de la projection verticale d'une trajectoire est la droite kfl'^ qui joint le point k' au centre l" de la projection verticale de la section parallèle aux tètes qui fournit kf. Au point i\ ii' est tangente k t'S et ki'T. Le tracé des projections verticales des trajectoires dépendanf de celui des projections horizontales, et celui-ci du tracé des développements, cette propriété des tangentes aux projections verticales des trajectoires est précieuse pour rectifier les erreurs des tracés.

Si la section droite était circulaire, les tètes seraient elliptiques; mais les tracés précédents s'effectueraient encore en suivant la même marche.

Après avoir divisé les arcs de tètes AB' et CD' en voussoirs, ce que Ton facilite en remarquant que, pour avoir les points de division d'une tête quand on a ceux de l'autre, il suffit de mener par ceuxci des génératrices ou des parallèles uv k AC, on trace, au moyen du patron, toutes les trajectoires par les points de division. Hais il arrive, comme les points de départ des trajectoires sont déterminés sur les têtes, que ces courbes ne se raccordent pas sur la génératrice IL du sommet; c'est ce que Ton voit sur la figure 416, pourp^ et qr. Alors on conserve les trajectoires sur toute l'étendue des voussoirs de têtes, et, a partir des points p' et q\ on les raccorde par une courbe, figurée pleine sur la figure 146. Les trajectoires qui rencontrent IL ayant un point d'inflexion sur cette génératrice, cette considération peut guider pour tracer le raccord p'g', ce que l'on fait du reste avec le patron comme pistolet. Les trajectoires qui ne rencontrent pas IL ne se raccordent pas non plus; alors, on ne les conserve rigoureusement que dans retendue des voussoirs de têtes, et entre ces limites on les raccorde par des courbes que Ton trace avec le patron ; ces courbes sont figurées en lignes pleines pour les voussoirs y eix.

F\g. lift.

C'est des trajectoires rectifiées qu'il faut ensuite déterminer les projections horizontales et verticales, en opérant par points, pour compléter Tépure, et l'on conçoit qu'il est à peu près inutile de tailler des patrons pOuv tracer les projections des trajectoires orthogonales.

Gomme les trajectoires vont en se rapprochant depuis chaque angle obtus A ou D' jusqu'à l'angle aigu C ou B', il en résulte que vers les naissances chaque voussoir de tête de l'angle aigu correspond h. deux de l'angle obtus.

Près des angles obtus, les moellons ayant une très-grande hauteur d'assise, on peut les composer de deux moellons; mais alors, près des angles aigus, les moellons deviennent trop faibles, à moins qu'à une certaine distance des angles obtus on ne réunisse deux assises en une seule. Comme ces suppressions de joints continus sont toujours d'un effet peu satisfaisant, il est préférable de remplacer, du côté des angles obtus, les moellons piqués par des libages.

Les voussoirs de têtes sont limités par des courbes EF' tracées avec le patron ; mais, dans la pratique, les assises en moellons sont simplement divisées en voussoirs par des lignes droites tracées avec l'un des côtés d'une équerre, dont l'autre côté coïncide avec l'élément de trajectoire correspondant à la longueur du moellon.

522. Malgré tout le soin que Ton a apporté aux tracés purement graphiques précédents, il convient de vérifier par le calcul au moins

quelques résultuts (Voir, pour plus de développements, des formules qui vont suivre, un mémoire de M. Lefort et un autre M. Graeff, publiés dans les Annales des ponts et chaussées^ le premier en 1839, et le second en 1852.)

La longueur l d'une demi-ellipse, dont a et 6 sont le demi-grand axe et le demi-petit axe, étant (Introduction à la science de fingénievTy 3* édition, n» 1186)

'-['-{ï'ï-m'-ï-im-)'--]' ^"

formule dans laquelle

et qui devient quand a = 6 = r, c'est-à-dire quand la demi-ellipse est une demi-circonférence,

on a {fig, 116) :

1*" Quand les tétés sont circulaires :

Courbe AIB' = -n, €t PB' = l ;

/ ayant la valeur (Â), dans laquelle, comme le montre la figure,

a = oo' = r, et 6 = Bo = Bi cos « = r cos a.

a, angle que forme la section droite avec le plan de tète; a est le complément de Tangle ^ du biais (316).

2° Quand la section droite est circulaire et de rayon r :

AIB' = valeur (A), et PB' = «r.

Dans cette valeur (A), comme le montre la figure 116,

a = Bi = = , et 6 = tt = r.

cos a cos a'

325. Équations des développements de là courbe de tête et des tra^ jectoires, — AC est pris pour axe des x et la perpendiculaire à AC au point A, sommet de Tangle obtus, pour axe des y.