CHAPITRE XXIII

De la vitesse de F écoulement des Jluides, sous des pressions quelconques, dans des milieux moins denses qu'eux.

vais terminer cette première section en appliquant les principes qu’elle contient au mouvement que la gravité imprime aux fluides, soit liquides, soit élastiques, sous différentes pressions.

Il y a un rapport exact entre les vitesses finales qu’acquierent les corps qui tombent dans le vide d’une hauteur donnée , et les vitesses uniformes de l’écoulement des fluides , chargés d’une pression’, dans un milieu vide ou moins dense qu’eux.

Les physiciens et les géomètres se sont occupés d’abord à déterminer par l’expérience jointe à la théorie , de quelle hauteur tombe un corps grave dans un temps donné , et ils ont pris une seconde pour l’unité de temps.

L’espace parcouru par un corps giave, en tombant dans le vide, a, été trouvé de i5 pieds I pouce dans la première seconde.

On a trouvé , par la théorie des oscillations des pendules, un résultat à-peu-près semblable. Les géomètres démontrent que le temps qu’emploie un grave à parcourir l’arc d’une demi-oscillation , est au temps de la chute du même corps le long

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PARTIÊ IV. ÏECT. I. CHA1>. XXtîl. f6l

tlu diameti'e du même arc, comme le quart dé la circonférence est au diamctre^ l)’où ils conclueilt que le temps de V oscillation dun pendule est égal txu temps de la chüte le làng d’ïthe hauteur égale tM produit de la moitié de la lortgaéur du péfiâùle par le quatré du rapport de la èirconjféi'encé üïi diamètre. .

Or , on a trouvé , par l’expérience j qtié la loh- .gueur du pendule qui bat les secondes dati^ le vide, à la latitude de Paris, èst d’environ 3 piéds ,8 lignes et. 7 ^, ou de 36‘"’,7a8'; et oh sait qiiè Ite rapport de la circonférence au diamètre Îîst,‘ à très-peu. de chose près, 3,i4l59?!6, dotitlè quitté est 9,86q6o4i Ainsi la hauteur de là êhiitè d’uii grave , dans une seconde ^ serait de i8ï'^,ÿ5'*,^ qUi different peu. de la hauteur trouvée l’etpé- Tpence directe. Nous nous en tiendrons ^ édiimie ,on le fait ordinairement, à i5^' i>’“=i8r JiOtices;'^ ia3. 11 suit des lois du .mouvement accéléré , que, si l’on dçcfft upp parabole sur un .Jiararaelre égal à la hauteur d’où est tombé un ocjrps dans un temps donné, les ordonnées de cette parabole re|rrésenieront les vit^ses finales acquises à chaque point correspondant de sa chute, et ces vitesses Seront proportionnelles aux racines qtiarrées des espaces parcourus depuis l’Origine de la chute, ou aux abscisses de la parabole. . . ^ SI donc cette parabole était couslruité .sur un paramétré de i8i poucés, la vitesse qUi répoiulraît à une abscisse de i8i pouces serait elle-même égale à i8i pouces, et on trouverait 1^ vitesse finale,

Tom. J II. 1 1

1^2 BRINCI^KSjDE P YROW)YNAMlQUE^

qui répondrait à un pouce de chute , en faisant kfrrii:'K7 :: i8i : 1/^.

V' tSi J >

Telle serait la vitesse finale par seconde à la fin d’une chute d’un pouce de hauteur, en prenant le pouce pour l’unité de mesure. Mais , si l’on avait pris le pied pour l’unité de mesure, cette vitesse fiu^Le serait égale v 5 *' i*'°, ou' 1 5 ,o 83 . Mais, d’vP^autre côté, ou sait qu’un projectile parcourrait un espace double dans le même temps s’il continuait à se mouvoir uniformément avec la vitesse finale acquise à la fin de sa chute; et cette suppQsifion est applicable aux fluides qui se meuvent en vertu d’une charge exprimée par la hauteur du fluide au-dessus de l’orifice par lequel il s’écoule. Donc lî^^îtesse uniforme du fluide tombant ou pl^ùt s écoulant sous une charge d’un pouce de hauteur est égale à deuxfois la racine de i 8 i pouces ■jlI\ pôUfces ; éf'-si l’on nomme H une hauteur quelcôiique de charge ou de pression exprimée en pouces, la vitesse uniforme de l’écoulement sera exprimée par 1/72411- La même vitesse exprimée en pieds , ou en prenant le pied p’ôiir l’unité de mesure , serait 1 /fio

Ces quantités, 724 pouces ou Go ^ pieds, peuvent se nomriier la gravité, ou simplement G, parce qu’elles en sont l’effet , et qu’ici on peut prendre l’effet pour la cause à laquelle il est toujours proportionnel. Ainsi on peut dire .sans inconvénient que la vitesse uniforme d’un fluide, sous une charge

i tiy Coogle

PARTIE IV, SECTION I. -CHAP. XXIII. l63 quelconque, est égale à la racine quarrée du produit de la gravité par la hauteur de la colonne qui exprime la charge ou la pression.

ia/|. D'après ces notions préliminaires, on peut appliquer le principe général que voici : Quand un fluide incompressible ou élastique s'écoule par un orifice , la vitesse de la veine fluide est due à la gravité multipliée par la différence des pressions exercées de chaque côté de C orifice , en exprimant cette différence par la hauteur d'une colonne fluide de même densité que la veine en mouvement, et en faisant abstraction de la contraction (T orifice Priucip. d'Hydraul. , t. i", §. 5).

Conformément à ce premier principe , on peut calculer quelle serait la vitesse de l’écoulement de l’air dans le vide, à une température donnée. ^Nous avons vu, par exemple, qu’à la température moyenne, la colonne theTmométrique II est égale à a5a37,65 : ainsi la vitesse de la veine qui s’écoulerait dans le vide serait 6o^ X a5a37,(î5 = ia34^‘;

et telle serait à-peu-près celle avec laquelle l’air tend à rentrer dans l’ame d’un canon quand la piece a tiré , parce qu'après l'explosion de la poudre il reste un vide presque parfait. la température était plus grande ou moindre que lo degrés au thesmometre de Réaumur, la même vitesse serait plus grande ou plus petite 11 suit encore de là que si un projectile, tel qu’un boulet de canon, est lancé avec une vitesse plus grande que ia34 pieds par seconde, à b même température, il se formera un vide derrière lui»

. lizeH h- ■

ï6{. PRIIfCIPES I>K PTRODTNJUtf IQIIK.

et la résistance de l’air sera la plus grande qu’il est possible.

laS. Mais si l'écoulement du fluide, au lieu de se faire dans le vide, se faisait dans un milieu dont la densité fût seulement moindre que celle de la veine fluide, il faudrait, dans ce cas, appliquer le principe suivant:

Si T air atmosphérique , ou en général unfluVde Æune densité donnée , s’écoule par un orijîce dans un autre fluide dune densité moindre et connue , la vitesse de V écoulement sera égale à la racine quarrée du prpduit formé par la gravité , multipliée par la colonne thermométrique multipliée par une fraction dont la différence des densités'sera le numérateur, et la plus grande densité le dénominateur.

Car, si l’on nomme D la densité du fluide qui s’écoule, d celle du second , dans lequel le premier* s’écoule, et H la hauteur de la colonne thermométrique, il est clair que la pression antérieure sera représentée par HD, et la pression postérieure lesera par Tic?. La différence de ces deux pre.ssions est HD — Hc/; et, pour exprimer la vraie pre.ssion à laquelle est due la vitesse en valeurs de la çolonne thermométrique H, il faut faire cette proportion : H D : HD — H c? : : H : H ( — Donc la vitesse, en nommant G la gravité, est égale à

ia6. Je ne ferai ici que deux applications de ces principes pour en montrer l’usage.

■ PARTIE IV. SECT. I. CHAP. XXIII. l65 1 ° J’ai dit (laa) que^la longueur du pendule qui bat le.s secondes dans le vide, à la latitude de Paris, est de 36 pouces 8 lignes et ^ de ligne, ou de 36‘’°,7a8 , et qu’en multipliant la moitié de cette longueur par le quarré du rapport de la circonférence au diamètre, on trouve que la hauteur de la chute d'un grave, dans la première seconde de sa chute, est de i8i^,a5j en sorlfe que la vitesse uniforme d’un liquide qui s’écoule par un orifice dans le vide, en vertu d’une chute d’un pouce, est égale 7a5 x i*”, et qu’une vitesse quelconque due à une hauteur de charge exprimée par H, est Mais si ce fluide ( supposé de l’eau ) devait s’écouler dans l’air, donj: la densité serait de

celle de l’eau, la vîtesSfe serait l/'7a5 H (-~^)

= 72411 ci’est l’expression des vitesses de l’eau

oui coule en l’air, sans égard à la contraction il’orifice ; etc’est aussi celle que nous avons adoptée dans les Principes d’Hydraulique.

Si un vaisseau partagé eu*deux par une cloison était plein de mercure d’un côté , et d’eau de l’autre, et que la cloison fût percée d’un orifice placé un pied au-dessous de la surface de l’un et de l’autre fluides, on demande avec quelle vitesse le mercure tendrait à s’écouler par l’orifice dans"%i parti? du vaisseau pleine d’eau ?

Nommant h la haut;pur de la colonne de mercure , depuis sa' surface jusqu’au centre de l’orifice, 0n voit que la pression du mercure sur cet orifice serait représentée par A; mais il existe une

l66 PRINCIPES DE PTRODYNAMIQÜE.

pression contraire et opppsée contre l’orifice extérieur, laquelle est due à une colonne de la pouces de hauteur d’eau ; et cette hauteur, étant divisée par le rapport 1 3,568 de la densité du mercure, à celle de l’eau , donne oP‘*, 884 de hauteur de mercure , qu’il faut déduire de la hauteur h. Ainsi, il ne reste que iir°,ii6 de hauteur, qu’on peut nom-

mer II; et la formule y 724 H — ,3 ggg j donne une vitesse de 8&’”,3.

127. Si l’on veut appliquer la môme formule à la cause qui produit certains vents locaux , on n’a qu’à supposer qu’une cause physique quelconque ait produit dans un espace notable deTatmosphcre une diminution de densité, comme, par exemple, de J l’air environnant se portera, en vertu de Ja pression 800 , vers le lieu où elle n'est plus que de 799; et, si l’on suppose la température à 3o'*'* au-dessus du point de 1» glace ou à 228'^'%5i dil thermomètre rectifié-, la colonne thermométrique

sera 27668, et vaudra = i. Ainsi la

vitesse du vent sera égale à 1^60^ x 27668 x = 43^6.

• 128. La même formule peut aussi servir à déterntiner la vitesse avec laquelle le vent passe par la tuyere d’un soufflet de forge : car si l’on c^naît le poids dont est chargé l’air qu’il renferme, ofi pourra déterminer la densité de cet air, et la comparer avec celle de l’air extérieur pour y .appliquer le calcul précédent,* *

PARTlü IV. SECT., I. CnAP. X.XHI. 167

Supposon^, par exemple, que, le baromelre

marquant a8 pouces çt le thermomètre 10 degrés

au-dessus du point de glace, un soufflet dont les

joues ont 10 pieds quarrés de surface, soit chargé

d’un poids de 70 livres; on en conclura que chaque

pied quarré de la surface de la joue supériéure,

ou de l’air qu’elle comprinle , portera 7 livres

pesant en sus du poids de l’atmosphere , qui est

représenté par une colonne d’eau de 3i'",658^.

Or, pour réduire dfette pression de sept livres à

la valeur d’une certaine hauteur de colonne d’eau ,

on fera lâ proportion 70*” : : : 7**' : quatrième

terme qui est o^^i ; et si l’on ajoute ce de pied à

la hauteur de la colonne 3 1,658|, on aura 3 1,758 1.

Mais nous avons vu qu’en divisant (62) la colonne

thermométrique, qui est ici 25287, G5, par cette

hauteur de colonne, on trouve le rapport de la^

densité de l’eau à celle de l’air, qui sera 794>7-

Ainsi la densité de l’air enfermé est —7— , tandis

que celle de l'air extérieur est d’où il résulte

que les deux densités H et d sont dans le rapport de 797,5 à 194,7 : la différence est 2,8, qui, divisés par 797,5, donnent o,oo35. Ainsi, la vitesse de l’air qui sort par la tuyere est , .

l^Goi X 25287,656 X O, oo35 = 73 pieds.

J 29. Ces exemples suffisent pour montrer comment on doit calculer la vitesse des écoulements des fluides, soit incompressibles, soit élastiques. Dans les premiers , .la seule hauteur de la colonne pesante donne l’impulsion à la veine fluide qui

i68 pniHGinr.s be pïrodyjvamiqüe, sort par l’Qriflce ; la température y .^tre pour si peu de chose, qu’oir la néglige ordinairement. Dans les seconds, la température fixe la hauteur la colonne thermomélrique et la densité du fluide qui s’écoule, comparée à celle du fluide ou du milieu qui le reçoit J mais on a vu que , quelque rapport qu'il y ait entre ces deux deqsitéa , la hauteur de la colonne thermométrique reste constante aussi long-temps que la température reste la même. ,