FLEXION SIMPLE
G8. On dit qu'une section normale d'un prisme de résistance a éprouvé une flexion simple lorsqu'elle n'a subi, par rapport à la section indéfiniment voisine, qu'une rotation autour (Tunedrotte située dans son propre plan et passant par son centre d'élasticité.
Les fibres situées dans l'une des deux régions dans lesquelles cette droite divise la section, se raccourcissent, tandis que les fibres situées dans l'autre région s'allongent. Les fibres dont les bases se trouvent sur cette droite de séparation, restent invariables, ne s'allongent pas et ne se raccourcissent pas. Pour cette raison , cette droite est appelée aœe nevire ; on dit encore axe de flexion et a^e â! équilibre,
09. Problème I. -— Connaissant le moment fléchissant X>™ qui fait éprouver, autour d'un axe donné, une flexion simple à une section donnée â!un solide de résistance, trouver la tension en kil, par m, carré en un point quelconque de cette section.
Soient (fig. 26) : CD et AB, deux sections normales
A ce
indéfiniment voisines, à une distance L"» l'une de l'autre; CD' la position de CD après que cette section a fléchi et tourné d'un angle ¥ autour de l'axe W W donné passant par
le centre d'élasticité 0. Nous supposons donc cet axe connu par avance et la position du plan du couple X , inconnue et à déterminer. Dans ce but, traçons Tellipse centrale d'inertie, puis le diamètre VV conjugué à WW et faisant avec ce dernier Tangle a. Appelons v et w les coordonnées d'une fibre s quelconque , par rapport à ces deux diamètres conjugués; u et u\ les distances perpendiculaires de cette même fibre s à ces mêmes diamètres, de manière que
La fibre s étant tendue dans la direction des arêtes du prisme, sa tension sera donnée, en vertu de l'équation (3),
par
Wu
cette tension est positive ou négative , suivant la région à laquelle appartient la fibre s.
Toutes les tensions , étant parallèles , se composent ou bien en une résultante unique, ou bien en un couple unique. Si elles donnent lieu à une résultante unique, celle-ci est égale à leur somme algébrique ou à
Mais lEsu = 0,
parce que (n° 24) c'est une quantité proportionnelle à la somme des moments des forces élastiques Es, par rapport à l'axe W W qui passe par le centre d'élasticité. Il en résulte que les tensions se composent en un couple unique qui, devant faire équilibré au couple donné X , lui est égal et opposé.
Reste à trouver le plan de ce couple. A cet effet , remarquons qu'un couple n'a aucune énergie par rapport à une droite quelconque de son plan, puisque la projection de son axe représentatif sur une telle droite est nulle. Si donc il existe dans la section C D une droite par rapport à laquelle la somme des moments des tensions est nulle, cette droite appartient nécessairement au plan du couple X et en est ,
par suite, la projection sur le plan CD. Or, la droite VV, diamètre conjugé à Taxe neutre WW, jouit de cette propriété , car on a
puisque lEsvw est le produit d'inertie par rapport à deux axes conjugués de l'ellipse centrale d'inertie (voir n<> 31). Donc V V est la projection du plan du couple X et une droite de la section CD, telle que OX, perpendiculaire à VV, en est l'axe représentatif. .
Enfin, puisque le couple X et celui des tensions par rapport à l'axe neutre doivent se faire équilibre , on a
26ti = Xsina,
W ou ■j^lEsu^ = Xsinct;
... Y X sin a
et ^=l. = E«^ii^. (19)
70. La quantité lEsu* porte le nom de moment cCinflexibilîté de la section par rapport à l'axe W W. Pour les corps homogènes , elle devient E25w* = EI, I étant le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe WW. Pour les sections homogènes, l'équation (19) qui sert à résoudre le problème I devient donc
. Xsina
71. Il résulte de l'équation (20) que, pour les sections homogènes la fibre s a une tension d'autant plus grande qu'elle est plus éloignée de l'axe neutre; par suite, la fibre la plus fatiguée est la plus éloignée de Vaxe neutre. Si donc nous appelons w' la distance à l'axe neutre de la fibre qui en est la plus éloignée, et /"kil. par mètre carré, la tension de cette fibre la plus fatiguée , nous aurons :
^ Xsina .
7^. La quantité -j porte le nom de module de flexion de
la section par rapport à Taxe neutre W W ; et , comme X sin a est le moment de flexion estimé suivant le même axe neutre , on peut traduire Téquation (21 ) mise sous la forme suivante
I Xsina
comme suit : Dans le cas de la flexion simple et pour les sections homogènes , le module de flexion est égal au moment de flexion estimé par rapport a Vaxe neutre et divisé par la tension de la fibre la plus fatiguée.
78. Si le couple donné M''" agit dans un plan contenant l'un des axes principaux d'inertie, Tautre^ axe principal devient l'axe neutre, et, comme il est perpendiculaire au premier, sina= 1 et les équations (19), (20) et (22) deviennent respectivement
t= jU, (24)
74. Problème H. — Étant donné le moment fléchissant X^ agissant seul sur une section d'un prisme homogène, ainsi que le plan dans lequel il agit; connaissant en outre la figure géométHque de la section , déterminer ses dimensions de manière que la tension de la fibre la plus fatiguée ne dépasse pas ihil. par mètre carré.
Puisque la figure géométrique de la section est donnée , on connaît le rapport de ses dimensions , ou tout au moins une seule de ses dimensions reste inconnue. Par conséquent le module de flexion peut s'exprimer en fonction d'une seule de ces dimensions. Celle-ci sera donc la seule inconnue dans l'équation (22) qui servira à la déterminer.
9ft. Rxemple. — Nous avons vu n^ 44 que le solide fig. 4 , no 22, est soumis à un moment de flexion de 4250 km agissant dans un plan qui fait avec Taxe des y un angle de 151^55' et qui se projette sur le plan des yz suivant une droite que nous appelons VV. L*axe neutre a> par conséquent, la direction WW du diamètre conjugué à VV. Au n^ 32, nous avons trouvé que la droite WW fait un angle de 25o6' avec Taxe des z et, par conséquent, Tangle a = 151o55' — 25o6' = 126«>49'. La section du solide considéré est rectangulaire (fig. 12) et 6 = 2/i. Son moment d'inertie I par rapport à Taxe WW,
h^h bh*
I = I-i sin« pf + -- cos« fif = 0,01604 b\
La fibre la plus éloignée de Taxe neutre est au sommet A et sa distance
à Taxe neutre W W est m' = -- cos ^' + "ô sin /S' = 0,4385 6.
On en déduit -- = 0,03658 6».
Ensuite on a X sin « = 4250 X 0,8006 = 3403 km.
La plus grande tension ^=4 000 000 k. par m. q.
On en déduit 0,03658 6» = , ^^1^?^^ »
d'où 6» = 0,02325; ô = 0«»,286 et /i = -i = 0«,143.
99. Antre exemple. — La section considérée est soumise à un couple de flexion de 2000 km. agissant dans un plan qui contient un des axes principaux ; on veut que la tension de la fibre la plus fatiguée ne dépasse pas 5,000,000 de kil. par mètre carré.
u' a. Section circulaire pleine , d -^^ .... d:=0™,160
15 ic
6. Section circulaire creuse, D = 2d . . . -rz- r^D*. . D = ,164
c. Section en losange, diagonales D = 2d. — cî = 0,l69
d . Section carrée , plan du couple parallèle
c* à un côté — - . . , . . c = ,134
e. Section carrée , plan du couple parallèle
à une diagonale ^^ . . . c = , 151
/*. Section rectangulaire, D=:2d — ^....d = ,085
L'aire des sections est respectivement :
a « 0mq,0201 , d = 0>nq,0180 ,
77. Da solide d^égale résistance à la flexion. — Supposons que le moment de flexion agissant aux diverses sections d'un solide homogène varie suivant une loi donnée , et qu'il ait , par conséquent , pour l'une de ces sections , une valeur plus grande que pour les autres. Si Ton fait en sorte que , pour cette dernière section , la fibre la plus fatiguée n'ait que la tension maxima /^voulue, on obtiendra les- dimensions de cette section par l'une des formules (22) ou (25). Dans la suite, nous supposerons que le couple agit dans un plan qui contient l'un des axe principaux d'inertie, de manière que c'est la formule (25) que nous viserons seule.
Si l'on donne au solide la forme d'un prisme géométrique ayant pour base la section calculée par la formule (25) , (afin, par exemple , d'économiser la main-d'œuvre) , la fibre la plus fatiguée dans toutes les autres sections aura une tension moindre que f. Dans ce cas , si l'on suppose que les moments fléchissants croissent continuellement , mais en conservant entre eux toujours le même rapport , il arrivera un instant où la rupture aura lieu , et la rupture se produira nécessairement à la section où le moment est le plus grand. Telle est la raison pour laquelle cette section est dite dangereuse.
Si, au contraire, pour économiser la matière, on fait en sorte que, dans toutes les sections , la tension de la fibre la plus fatiguée soit la même et égale k f , le solide obtenu prendra le nom de solide d'égale résistaiice à la flexion,
78. Problème 111. — Fa/5an^ abstraction de V effort tranchant y supposant le solide homogène, sa fibre moyenne primitivement rectiligne et le moment de flexion agissant dans un plan qui contient l'un des axes principaux d'inertie de chaque section , chercher la forme géométrique du solide d'égale résistance à la flexion dans les cas suivants :
VA Fig.2,7, 1. Solide encastré à Vune de ses ex-
I trémités et sollicité à Vautre par une
4 a ! B force unique P ML (fig. 27). Le moment
I ——-2;^—^—- de flexion est Vx.
I , rn A. Section circulaire pleine ; rayon y .
Tzy^
Module de flexion ^
Try» P^ .
Le solide de révolution a pour méridienne une parabole cubique. Forme approchée avec section dangereuse à L'encastrement , un tronc de cône de révolution engendré par la touchante en A à la méridienne et dont la petite base en
B a pour rayon - R.
B. Section rectangulaire , dont la base est constante et égale à b , hauteur 2 y.
Module de flexion - by^.
2 x> , Pa? \
