Principes fondamentaux de la géométrie non euclidienne de Riemann

1. Introduction. La géométrie euclidienne repose sur un certain nombre de postulats parmi lesquels se trouvent les deux suivants : 1° Deux droites ne peuvent contenir un espace. 2" Deux droites qui en rencontrent une autre en faisant avec celle-ci des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux droits, se coupent du côté où se trouvent ces angles.

Lorsqu'on laisse de côté le second de ces postulats, on obtient la géométrie non euclidienne de Lobatchefsky ; lorsque, en outre, on abandonne le premier, on arrive logiquement à la géométrie non euclidienne qui porte le nom de Riemannn, bien cpie ce grand analyste n'en ait donné que le principe fondamental, savoir que la droite est une ligne finie rentrante en ellemême.

Pour comprendre le sens de cette dernière proposition, on doit interpréter les définitions euclidiennes de la droite et du plan dans le sens qui leur a été attribué par Cauchy (1) et développé par M. De Tilly (2) : La notion de distance étant regardée comme une notion première irréductible, un point M est dit appartenir à la droite AB si aucun point de l'espace n'est distant de A et B comme Test M. Un point M est dit appartenir au plan ABC, si aucun point de l'espace n'est distant de A, B et C comme l'est M. Un point quelconque M de l'espace est déterminé par ses distances à quatre points fixes A, B, C, D.

(1) Sept leçons de Physique générale (Paris, Gaulhier-Villars, 1868). Ces leçons ont été professées à Turin, en 1833. Voir pp. 44-45.

(2) Essai sur les principes fondumentanx de la Géométrie et de la Mécanique. Bordeaux, Gounouilhou, 1879 {\" cahier du t. III de la 2^ série des Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux). — Essai de Géométrie analytique générale (Mémoires couronnés et autres Mémoires de l'Académie royale de Belgique, in-S", t. XL VII ; ou Maihesis, décembre 1893).

En partant de ces notions et sui)posant finie la distanee maxima 2A de deux points de l'i'space, on démontre, comme on peut le voir dans le premier des ouvrages de M. De Tilly cités en note, que deux droites quelconques d'un même plan se coupent en deux points situés à la distance 2A. On en déduit (jue, dans un triangle riemannien, la sonune des trois angles est supérieure à deux droits et, par suite, que, dans un quadrilatère riemannien, la somme des angles est supérieure à quatre droits (Mathesis, août 1894, t. XIV, pp. 18()-l<S5i.

Ces préliminaires posés, voici comment on peut établir les principes fondamentaux de la géométrie riemannienne (4).

:2. Notations. Considérons deux demi-droites OSO', OsO' faisant un angle aigu ; soient S et s leurs milieux. Les deux triangles OsS, O'sS étant égaux,

Ss est une perj)endi(ulaire commune. Des points M, N de la droite OS, abaissons des perpendiculaires Mm, Nn sur Os; de M abaissons aussi Mw' perpendiculaire sur 0//*' perpendiculaire à Om. Nous poserons

Om : X, Mm =: y', Om' = y, Mm' =r x'.

Ces quatre quantités varieront avec OM ::::: z.

3. Théorème I. L'anyle OMm z= (z, y) croît avec z (Fig. 1). La somme des angles du quadrilatère MNw?n surpasse quatre droits; comme les angles en m et n sont droits, on a donc

Mais Donc

//<Mi\ -f MNw > 2 droits.

OMm h mMi\ :2 droits.

OMm < MNn.

(1) ÎSous iiiiitons aulniil (jue possil)le les dr'iiiojisli-ilioiis de I\I. (iôrai'tl dans un excellenl article sur la ^jcoiucU'ic; lol)atch(>fskieimc, iiilitult' : Sur la Geowrtrie non eudidiemie (Nouvelles Annalex de MalliemaUques, 3« série, t. X, \\^. 74-81;; février 1893). Plusieurs de ces (Icnionstralioiis se trouvent en substance, dans le cli. IV du premier ouviage cité de M. De Tilly. Voir aussi la disseilalion inauj^urale de M. (iéi-ard : Sur la Gcn^nelric non euclidienne. Paris, Gauthier Viilars et lils, 189'2 (un volume in-4« <le 110 pages).

Corollaire. De 0 en S, tous les angles [z, y') sont ;iigiis puisqu'ils sont plus petits ([lie l'angle en S ; au delà, ils sont tous obtus.

4. Théorème II. De 0 en S, y' croit; de S en 0', //' décroît (Fig. 1'). Soit/)

le milieu de mn, pV pcrpcndiculair(! à mn; nM'=: Mm ; menons PIM'. Le quadrilatère VWnp sera égal à MP/)m. L'anghî M'IV ~: l'angle MP/> sera aigu et, par suite, moindre que l'angle obtus NIV, si N est en deçà de S. Donc M' sera compris entre N et n ; par suite Mm, qui est égal à nW, sera inférieur' à Nw. Ainsi, en deçà de S, y' croît avec z.

On verrait de même (pie, au delà de S, y' décroît quand :; croît.

5. Théorème \U. De 0 en S, ix : ;:) croit; de S en 0', {x : z) décroît. 11 suffit de faire la démonstration })onr les points situés entre 0 et S. Fig. 1'. Dans le fi-iangle PNM', l'angle N est plus grand

(|ue l'angle M', qui est égal au supplément de- M; par suite, PM' ou PM surpasse PN.

Donc, à mesure (pie l'on s'éloigne de 0, à des accroissements égaux tnp, pn de X, correspondent des accroissements de plus en plus petits de z ; par conséquent, (,r : :;) croît, parce que le numérateur croît plus rapidement que le dénominateur.

Remarque. Si l'on compte les z à partir de S, les x à partir de s, il est (;iair que ix : -), d'après la démonstration précédente, décroît quand z croît de S en 0', puisque les accroissements de z sont de plus en j)lus grands à mesure

""que l'on s'éloigne de 0'.

6. Théorème IV. De 0 ('// S, (y' : z)décroit ; de S en 0', {y' : :;) croît (Fig. !")• H suffit encore de faire la démonstration pour les points situés entre 0 et S. Soient Q le milieu de MN ; Qq une perpendiculaire abaissée de Q sur mn ; Ma une perpendiculaire abaissée de M sur Qq, M une perpendiculaire abaissée de N sur Aq.

D'après la seconde partie du théorème II, on a

aq / Mnu bq )> Nn.

Les triangles égaux MUa, Q6N donnent d'ailleurs

Fig. 1".

Qq — aq = bq — Qq.

En remplaçant dans cette égalité aq, bq par les quantités plus petites Mm, Nn, il viendra

Qq — Mm > Nn — Q9.

Donc à des accroissements ÎMQ, QN égaux de c, correspondent des accroissements de plus en plus petits de y' à mesure que l'on s'éloigne de 0; par conséquent, (y' : z) décroît quand ^ croît, pour les points situés enfre 0 et S.

7. Théorème V. Quand z tend vers zéro, {x : z)tend vers une limite finie en décroissant, (y' : z) vers une limite finie aussi, mais en croissant. 1" D'après le théorème III, {x : ;:;) décroît quand :; décroît ; donc {x : z) a une limite tinie ' ou nulle. 2'' D'après le théorème IV, {y' : z) croît quand z décroît; donc iy' : z) a une limite finie ou infinie. 3° D'après la seconde partie du théorème II, on A X y x', donc

Mais [x^ : z), d'après c-e qui vient d'être prouvé (;2"), a une limite finie 1 ou infinie ; donc (x : z) qui surpasse [x' : ::) n'a pas une limite nulle. 4" De même, d'après la seconde partie du théorème II, on a //' < y, et aussi^

Mais {y : zj a une limite finie ou nulle d'après ce qui a été.démontré au 1". Donc iy' : :;), qui est inlerieure à (// : z), n'a pas une limite infinie.

PiFMARQUK. Si l'on comptc les c à partir de S, les x à |)artir de s, on prouve de même (juc ix : z) lend vers une limite finie en croissant, (y' : z) vers une

limite finie en décroissant.

8. Quadrilatère trirectanyle. Dans les n"" 0 et 10, nous allons considérer (Fig. 2) un (|ua(h'ilatère frirecl angle {x, y, x', y'). Nous a|)pelons x, y les côtés adjacents à deux angles droits, x', y' les côtés opposés. D'après le théorème II, on a Kig. 2.

9. Théorème VI. Dans ini quadrilatère trirertanglc où y' est constant et où X croit, x' croit de jdiis eu jdus lentement à tnesure que x croit (Fig. :2'). Soient

Fig. ^2'.

Aa6B, A«tC, Aadl) trois quadrilatères trirectangles, l'angle xV étant obtus dans chacun d'eux ; nous supposons de plus bc =: cd ; il faut démontrer que l'on a