PROBLÈME X X X
Résoudre tous les cas des triangles rectilignes rectangles et des triangles rectilignes olliquangles.
Nous savons qu'un triangle quelconque, rectiligne ou sphérique, est composé de six parties principales : trois angles et trois côtés, tellement dépendantes les ânes des autres, qu’il suffit d’en connaître trois pour déterminer non seulement les trois autres, mais encore diverses quantités , telles que sa hauteur , sa surface , etc. La seule exception est que si le triangle est rectiligne il faut qu'il y ait au moins un côté parmi les trois parties connues.
Les arcs ou les angles auxquels ils servent de mesures , sont exprimés indistinctement dans le calcul par des nombres de degrés, minutes et secondes. Ainsi nous désignerons le quadrant ou l’angle droit par go”; deux quadrans ou deux angles droits par 1800; trois quadrans ou trois angles droits par 270"; quatre quadrans ou quatre angles droits j>ar 36o”; de plus par l’extension dounéc aux principes qui servent à la résolution des triangles, nous considérerons des arcs ou des angles positifs et négatifs plus grands que 180° et même comprenant plusieurs circonférences.
Menons deux droites AA\ BR1 perpendiculaires entre elles , et prenons leur point O d'intersection pour centre d’une circonférence , ayant un rayon quelconque UA et décrite dans le sens AB A' B' A ; cette circonférence ayant pour origine le point A , déterminera sur ces droites deux diamètre AA', BB perpendiculaires entre eux, qui la diviseront, ainsi que l'espace plan situé autour du point O, en quatre parties égales de <jo" chacune.
Cela posé, on est convenu de dire qu’un arc quelconque commençant à l’origine A et compté dans le sens direct ABA'B'A de la description, est positif et toujours censé précédé du signe +.
Que s’il est compté de l’origine A dans le sens opposé AB'A'BA de la description , cet arc est négatif et doit être précédé du signe — .
Ainsi les valeurs des arcs ou des angles sont comprises entre o° et zb 3Go".
Le compliment d’un arc ou d’un angle est la quantité qu'il faut ajouter algébriquement à cet arc ou à cet angle pour avoir une somme égale à 90° ou un angle droit , affectée du même signe que lui.
Pour remplir ces conditions, il a fallu admettre non seulement des romplëmens positifs et négatifs, mais encore fixer leurs origines suivant le signe dont l’arc ou l’angle est affecté.
Pour les arcs positifs ou précédés du signe + , l’origine des complémens a été placé du côté des arcs positifs à uue distance égale à + po° de l'origine de la circonférence et se comptent de part et d'autre de .ce point depuis o* jusqu'à ± i8u“.
3 lo Des Problèmes.
Pour 1 os arcs ou les angles précédés du signe - , l'origine des Complément à un poinl silué du côté des arcs négatifs à une distance de - go” de l’origine de la circouférence, ils se comptent de part et d'autre de ce point depuis o® jusqu'à — 180.
Dans notre construction, pour les arcs positifs l’origine des complémens est le point /?, ils sont précédés du signe + lorsqu'ils sont comptés de B vers A ; et précédés du signe lorsqu'ils sont près de B vers A'.
Pour les arcs négatifs, l’origine des complémens sera en B1, ayant le signe — lorsqu’ils seront comptés de B' vers A , et du signe ■+■ lorsqu'ils seront comptés de B' vers A'.
Le supplément d’un arc ou d’un angle est la quantité qu’il faut lui ajouter algébriquement pour avoir une somme égale à 180" ou deux angles droits, qui soit de même signe que l’arc.
Nous aurons donc des supplémrns positifs et négatifs qui , quel que soit le signe de lare ou de l'angle , auront une origine commune placée à ± 180” de l'origine de la circonférence et qui se compteront depuis o® jusqu’à ±: 180”.
L’origine des supplémrns sera donc le point A' situé à ± i8o” du point A; ces supplcmens seront affectés des mêmes signes que les arcs , lorsque ceux-ci seront plus petits que 180"; mais ils auront des signes contraires quand les arcs ou les angles seront plus grands que 180”.
Pour abréger les calculs, on a remplacé les arcs ou les angles par des lignes droites qui en dépendent de telle manière qu’elles soient déterminées quand l’arc est connu, et réciproquement. C’est a ces droites, dont le nombre a été augmeulé successivement, que l’on a donné le nom de lignes trigonométriques ; elles sont .
i.” Le Sinus : le sinus d'un arc est la perpendiculaire abaissée de l’extrémité où il se termine , sur le diamètre qui passe par l’origine de l'arc ; d'où il suit qu'il est la moitié de la corde qui soutend un arc double.
a.® Le Cosinus: le cosinus d'un arc est le sinus du complément de cet arc.
3. ® La TANGENTE: La tangente d’un arc est la droite élevée perpendiculairement sur l'extrémité du diamètre qui passe par l'origine de l’arc , et terminée par le prolongement du rayon qui passe par l’autre extrémité.
4. ® La Cotangente : la cotangente d’un arc est la tangente du complément de cet arc.
5. ® La Sécante : la sécante d’un arc est la ligne droite comprises entre le centre cl le point où le rayon prolongé rencontre la tangente.
G.® La Cosecakte : la cosécante d’un arc est la sécante du complément de cet arc.
7. ® Le Sinus verse : le sinus verse d’un arc est la partie du diamètre comprise entre l'origine de l’arc et le sinus.
8. ® Le Cosinus verse : le cosinus verse d’un arc est le sinus verse du complément de cet are.
g.® Le Sl'SINUS verse : le susinus verse d’un arc est le sinus verse du supplément de cet
arc , compté de l’origine des supplémcns.
1 alturs des lignes trigonométr iques pour un arc quelconque x et fonction d'un arc a plus petit que go® ; le rayon du cercle étant pris pour unité.
Lignes.
MM
Sinus x
^sin. a
+ cos. a
— sin. a
ip cos. a
foiîn. je
4 cos. a
4! sin. a
— cos. 0
~4~ sin. a
Tan», j
HHang. a
— rolan. a
-4- ling. a
— rot. 0
Tolanp;. x
•4- colin, et
— Iing. a
