PROPAGATION AVEC LXDUGTION ET CAPACITÉ DISCUSSION

263. — Certaines parties du mémoire de Kirchhoff (Haut sujettes h cautiou, altachons-nous y spécialement.

Pour arriver à la forme simple d'équation aux dérivées partielles, (Is (n** u55) il faut que Taction Umt inductive qu'électrostatique des parties lointaines d'un circuit sur chaque segment de quelque étendue soit iiéglig<»able. C'est ce qui arrive dans un cas déjà très étendu, celui d'un long circuit dont le fil d'aller et le fil de retour marchent parallèlement ; cas très importaut i>our la pratique, car il correspond aux conditions d'établissement des lignes télégraphiques.

L'àmc et l'armature dans un câble, le fil et le sol, ou mieux le fil et son symétrique par rapport au sol, dans une ligne télégraphique ordinaire, constituent ainsi un fil d'aller et un fil de retour parallèles, dont l'écart cl est petit, et dont les segments en regard sont parcourus par des courants égaux et contraires, et ont des charges électriques égales et contraires.

264. — Alors, ({uel que soit l'état variable des deux fils, la force électrostati(iue en un i)oint, due à un segment des deux fils, varie, à grande distance r, comme d : H, et la force électrique induite comme d : r^ \ sur rcnsemble des deux éléments de fil parallèles, ces forces d'origine lointaine agissent dans le même sens absolu, et par conséquent en sens opposé par rapport aux courants d'aller et de retour; leur action est donc de l'ordre de rf* : r' et de d^ : 7*^.

CHAPITKB Vlïl. — PROPAGATION AVEC INDUCTION KT OAPACITK 239

Par conséquent, en excluant les boucles, et les enroulements, môme assez lâches, de manière que la lonfi;ucur d'un arc quelconque soit rie môme ordre que la distance r de ses exlrémités, Tintégration étendue à toul le circuit sauf un tronçon aX donnera des résultats petits de l'ordre de ci^ : à' et de d^ : X au milieu de ce tronçon.

265. — On peut donc se borner à considérer les réactions mutuelles de ce tronçon, long par rapport à la dislance d des fils d'aller et de retour, et sensiblement rectiligne.

Si la densité et Tintensité varient beaucoup d'un bout à l'autre du tronçon, le problème relatif à ces fils parallèles reste encore difficile. Mais ajoutons la condition que la densité et l'intensité sont sensiblement des fonctions linéaires de l'ai-c sur toute la longueur 2X d'un tronçon quclconciue, beaucoup plus grande que la dislance d : le problème devient très simple.

En effet, si la répartition est uniforme, il y a une capacité par nnité de longueur C, et un coefficient de self-induction L par unité de longueur ; il eu est de même si la variation est linéaire, parce que, les éléments symétriques jouant le même rôle dans les intégrales, leur somme est la môme que pour la distribution uniforme éjale à celle du point central.

266. — Gela étant, le courant est ? dans le fil d'aller, et — i dans le fd de retour, en face.

L'électrostatique donne

ai

dS

c dV Û* àt

c étant la capacito géométrique ;

et l'induction donne

d'où

dS

à^\ CR dV CL ô'Y

às' "" li-' fit "^ a' M' '

Cette fois Téquation H, de même forme générale que celle de

240 PROPAGATIOJC DE l'eLECTRICITÉ

Kiroilhoff, a des coefficients dont la signification et la grandeur n'ont rien d'indéterminé.

C'est sous cette forme, mais sans s'être embarrassé un instant d'établir l'existence de la capacité et de la self-înduction par unité de longueur, que M. llcaviside a écrit h nouveau cette équation de propagation en 1876 (' ;, et a refait une discussion analogue à celle de Kirchboff, qu'il cite d'ailleurs. Il s'en est occupé de nouveau, dans un long et important mémoire, paru en 1881 dans le journal (anglais) de la Société des Ingénieurs télégrapbistes (^) : et a développé les formules d'intégration par la série de Fourrier, comme pour le cable sans-induction, non seulement pour le fil indéfini, mais pour le fil limité, soit isolé, soit relié au sol, directement ou par l'intermédiaire d'appareils présentant eux-m<>mes de la résistance, de la capacité, de l'induction ; ce ([ui dans cbaciue cas modifie la loi des coefficients de la série (^).

267. — Cette équation a été étudiée au même point de vue parles ingénieurs télégraphistes français (*).

Au point de vue théorique, et sans hypothèse restrictive, au sujet de l'ordre de grandeur des coefficients, Téquation mise sous la forme

en posant

^y «W àx*

a été intégrée au moyen des fonctions de Bessel par M. II. Poin-

(») On the Extrat-ourrent. — Ph, Mag, 1876 et Eîectr, Papers, (Hacmillan) I. p. 53, h partir, du § 14.

(-) Eleclr. Papers. t. I. p. iiU. On induction between paraUel wires; h partir du n» i3 p. i3(j.

(3) M. Hbavikide n titdlc la plupart dcâ questions de principe, et & peu près loufes les applications possibles au moyen des séries de Fourier, des fonction, spbériques cl des louclioiis de Bessel, dans une prodigieuse série de mémoires à la fois condensés et touffus, qui ont beureusement été réunis en volumes sous le titre « Electrical Papers » (Macmillan) 1892.

(*) Annales de télégraphie Barbaiut, 1888, — et pour l'ensemble des travaux* Vaschy, Traite d'électricité et de magnétisme en doux volamei».