L-uf, s'entend encore

Les résultais qui se dégagent de l'ensemble de toutes les observations qui viennent d'être rapportées peuvent se résumer comme il suit :

1° Les battements m aussi bien que les battements m' d'un intervalle quelconque n : lin + m (h = 1,2,3,...) se transforment en sons continus dès que leur nombre dépasse une certaine limite, pourvu que les sons primaires aient une intensité suffisante. Paî exemple, les sons primaires uti} sit (8:15) donnent m'= 8 battements, et les sons ?t/5, sis donnent le son de battements m' = 128 v.d. = itl2, les sons ute, sia le son de battements m' = uts. De même, si nous considérons l'intervalle 4 : 15 (n : 3n + m), les sons primaires utu si2 font entendre un roulement formé par«i' = 16 battements, et les sons primaires ut., sî„ donnent le son m' = utt

2° Pour avoir les sons de battements dans les oclaves aiguës, ou les nombres des battements séparés dans les octaves graves, il faut prendre les différences des nombres de vibrations doubles du son primaire aigu et des deux harmoniques du son primaire grave entre lesquels tombe le son primaire aigu, — et non pas comme on l'admettait jusqu'ici, simplement la différence des vibrations doubles des deux sons primaires. Si, par exemple, nous considérons l'intervalle 4 : 9, les sons primaires uts, ré6 font entendre distinctement le son uts (9 — 8 = 1), tandis qu'il n'y a pas trace du son wii5 (9 — 4 = 5), De même ut-, mit (2 : 5) donnent Yut,, (5 — 4 = I) et pas du tout le sol. (5 — 2 = 3). L'intervalle 4:11 (n : 2)i + m), formé par les sons primaires uts (2048 v. s.) et 5632 v. s., donne les sons de battements inférieur et supérieur sol,, {m = 3) et ut, \m' = 1), tandis qu'on n'entend aucune trace du son 3584 v. s. (11 — 4 = 7).

3° Des deux sons de battements ou des deux espèces de battements d'un intervalle donné, le son ou les battements m s'enten-

dent seuls quand m est beaucoup plus petit que - ; au contraire, on n'entend que le son ou les battements m' quand m est beaucoup plus grand que -; enfin on entend à la fois les deux sons ou les

deux espèces de battements quand m diffère peu de -. Ainsi ute,

rée (8 : 9) ne donnent que Vutt {m = 1) ; uts, si, (8:15) ne donnent queVuh {m' = 1) ; mais l'ute de 4096 v. s. et 6656 v. s. (8:13) font entendre distinctement le mi. (m= 5) etlesoi4 (m' = 3).

Battements et sons de battements secondaires.

Dans ce qui précède, j'ai tenté de décrire l'effet que produisent sur l'oreille les battements m et m', quand les intervalles sont formés en partant d'un son fondamental de plus en plus aigu et en faisant monter graduellement le son supérieur jusqu'aux notes les plus élevées, et pour ne pas compliquer la description du phénomène principal, j'ai laissé de côté des phénomènes secondaires dont il me reste maintenant à parler.

Nous avons vu plus haut que dans le concours des deux sons de 80 et de 148 v.s. on pouvait très bien distinguer à la fois le roulement des 34 battements m, et les 6 battements supérieurs n — m; qu'aux environs de la douzième utl : sol^ la coexistence de ces deux espèces de battements produisait un ronflement confus, enfin que dans les octaves aiguës, toujours pour les intervalles n : hn -h m, les deux sons m etn — m s'observaient à

la fois quand m différait peu de—. Or ces deux sons de battement

simultanés se comportent exactement commedeux sons primaires de môme hauteur et de même intensité. Lorsqu'ils sont voisins de l'unisson, ils donnent des battements assez forts ; lorsqu'ils sont à peu près à l'octave, ils battent encore, mais plus faiblement; on peut même encore entendre des battements quand leur intervalle approche de la douzième.

En considérant toujours les intervalles n : hn -+- m, nous avons

vu que les deux sons m et m' coïncidaient pour' = - (pour les intervalles 2 : 3, 2 : 5, 2 : 7).

il ri

Lorsque m = - + 1, on a m' = - — 1, et il en résulte 2 balte-

me nts.

Le son m' est à l'octave aiguë du son m quand m = -, ce qui a

lieu pour les intervalles 3 : 4,3 : 7... Si maintenant on a m= -

+ 1 , on aura m' = — — 1, et il en résultera des battements au

, 2» fM \

nombre de h 2 — — — 1 =3.

Le son m est à l'octave aiguë du son m' quand m = — , ce qui

2n arrivepour les intervalles 3:5, 3:8... Pour m= — + 1, on aurait

m' = - — l, et trois battements comme dans le cas précédent, car 2n /2n \

Les deux sons m et m' sont à la douzième quand m =— (inter-

3?i valles4 : 5, 4 : 9,...) et quand m= — (intervalles 4:7, 4: 11). Pour

m = ~-l-l, on aurait m' — — • — l, d'où quatre battements

3u On aurait de même quatre battements pour m = - — f- 1 ,

n . 3a fin \

m> = - — 1, puisque — + 1 - ^— -3J = 4.

Généralement parlant, toutes les fois que le plus aigu des deux sons m et m' est altéré d'une vibration double, il en résulte deux battements pour les intervalles 2 : 3, 2 : 5, 2 : 7,... trois pour les intervalles 3:4, 3:7,... et 3:5,3:8,... quatre pour les intervalles 4:5, 4:9,... et 4 : 7, 4 : 11,...

De tous ces battements secondaires, qui s'obtiennent à l'aide des sons de battements, j'ai pu, grâce aux sons très forts que j'ai employés, observer directement les suivants.

Dans le voisinage de la quinte mvt — s/-,, où les sons primaires produisent un fort ronflement, on n'entend qu'un battement primaire par seconde; près de la quinte sol-i — ré± (96: 144 v. s.), où les battements primaires s'entendent encore de même comme un ronflement, mais où ces battements ont déjà beaucoup plus d'intensité, on peut suivre les battements secondaires jusqu'à 8, et en dépassant la quinte même jusqu'à 10. En effet, ils deviennent plus distincts au-dessus de la quinte; cette particularité, qui s'observe aussi dans les octaves supérieures, s'explique en réfléchissant que dans celte région les intensités des battements m et m'approchent davantage de l'égalité, parce que les battements m', toujours plus faibles par eux-mêmes, ne sont pas encore devenus aussi nombreux que les battements m, tandis que le contraire a lieu au-dessous de la quinte.

L'intensité du son fondamental restant toujours la même, les battements secondaires s'entendent ici le plus distinctement quand le son supérieur est un peu plus faible; au contraire le ronflement a le plus de force quand le son supérieur est un peu plus fort.

Avec les intervalles qui ont pour son fondamental l'utu je n'ai pu observer les battements secondaires que sur l'unisson troublé des sons de battements m et m', mais j'ai pu les constater alors jusque dans la troisième période.

Avec l'intervalle uti : sol± (2 : 3), on les suitjusqu'à 6 ou 8, avec utt : mil (2 : 5) jusqu'à 5 ou 6 : l'intervalle 2 : 7 en fait encore entendre 2 ou 3.

Avec les intervalles mi'-, : sv-u soL^ : rét et uti : solu les battements secondaires, mêlés au ronflement des battements primaires, produisent à peu près le même effet que le concours des sons de 80 et 148 v. s. dont il a été parlé plus haut. Avec utt : mi^ le ronflement des battements primaires, qui est déjà bien plus faible ici, s'efface devant les battements secondaires; le même effet s'observe avec la quinte ut, : sol3.

Les intervalles qui ont pour son fondamental Vut2 permettent d'observer toute la série des battements secondaires d'une manière très complète. On entend non seulement les battements de l'unisson des deux sons de battements, nombreux et distincts, avec l'intervalle 2 : 3 (où l'on peut même les suivre jusqu'au moment où ils

deviennent un ronflement, quand leur nombre dépasse 12 ou 16), avec 2:5, 2:7, et même avec 2:9 (au nombre d'environ 4); mais encore ceux de l'octave de m et m' avec 3 : 4 (jusqu'à 6 ou 8 battements), avec 3:7 et 3 :8 (jusqu'à 4 battements, les premiers plus faibles que les derniers), et avec 3 : 11, dans la troisième période (jusqu'à 3 ou 4). Les battements de la douzième de m et m' ne peuvent être perçus que dans la première période, avec les intervalles 4:5 et 4: 7, et seulement jusqu'au nombre de 3 ou 4.

Pour les intervalles qui ont pour son fondamental \'utit les vibrations de mes diapasons sont un peu moins favorables que pour les intervalles précédents, formés avec l'w£2 ; on n'entend donc avec une netteté parfaite que les battements secondaires qui se produisent sur l'unisson des sons de battements m et m' dans les trois premières périodes, c'est-à-dire avec les intervalles 2 : 3, 2:5, 2:7, et sur l'octave des sons de battements, dans la première période seule, avec 3 : 4 et 3 : 5.

Dans la première période des intervalles qui ont le son fondamental uti, on entend les battements secondaires avec tous les intervalles où les deux sons de battements sont dans les rapports 1:1, 1:2 ou 1:3; dans la seconde période, on n'entend plus quelques battements distincts qu'avec 2:5, et des battements très faibles avec 3:7.

Les intervalles qui ont pour son fondamental Yut5 sont formés dans la première période à l'aide d'un diapason fort pour Yutt et de diapasons plus faibles pour le son supérieur; on n'entend ici distinctement les battements secondaires qu'avec 2 : 3, puis avec 3 : 4 et 3 : 5. Mais au delà de l'octave, avec les forts diapasons de la gamme d'ute, on entend encore les battements secondaires non seulement avec 2:5 et 2 : 7, puis avec 3 : 8, mais aussi encore avec 4:9.

Avec tous ces sons si forts et si élevés, l'observation devient déjà très fatigante pour l'oreille; elle est surtout pénible avec les sons de la gamme d'ute. Malgré cela, j'ai pu observer non seulement les battements secondaires de la quinte, de la quarte et de la sixte, mais aussi ceux de la tierce et de l'intervalle 4 : 7 ; mais l'intensité extraordinaire des sons de mes diapasons pour celte gamme me fut surtout précieuse pour l'élude des intervalles 8:11 et 8:13.

Ainsi que je l'ai déjà dit plus haut, l'intervalle 8:11 formé par les sons 4096 (»/6) et 5632 v. s. fait entendre distinctement un so£4

(m = 768 battements) et un mig (m' = 1280 battements); mais en outre on entend encore nettement un ut,, de 512 v. d. = 1280 — 768 v. d. On obtient le même effet par le concours des sons 4096 et 6656 (8 : 13), où m = 1280, et m' = 768; ici encore on entend parfaitement un utk\ preuve manifeste que, tout comme les battements primaires, les battements secondaires, devenus suffisamment forts et nombreux, se changent en un son continu.

Je n'ai constaté l'existence des sons de battements secondaires que dans ces deux cas, où ils étaient très forts et très distincls. Dans l'octave inférieure, où les mêmes intervalles donnent les sons de battements très distincts sol- et «ut, ces derniers, à cause de la faiblesse relative des sons primaires, n'ont pas assez de force pour faire entendre Yut. qui théoriquement devrait se produire.

En thèse générale, on peut dire que, plus les battements secondaires sont faibles, moins il sera permis de dépasser un certain nombre pour qu'ils soient encore perçus. Il ne faut donc pas oublier, lorsqu'on désaccorde un des sons de l'intervalle pour les provoquer, qu'une altération égale à une vibration double suffit à produire 2, 3 ou 4 battements secondaires. Lorsqu'on étudie, par exemple, l'intervalle ut» : mia, il faut tout au plus désaccorder le «iù d'une vibration double, si l'on veut encore entendre distinctement les battements secondaires ; je n'ai pu du moins les entendre, avec cet intervelle, quand leur nombre dépassait 4.

L'intervalle ut6 : mie fait également entendre les battements secondaires avec le plus de netteté, quand leur nombre approche de quatre. Mon diapason rra, pèse environ 560 grammes, et il suffit d'appliquer au bout de l'une de ses branches une petite masse de cire de 08r. l seulement pour altérer la note d'une vibration double et obtenir les quatre battements secondaires. On voit par cet exemple que, dans beaucoup de cas, l'existence des battements secondaires doit rester inaperçue par cette seule raison que l'intervalle musical qui les produit a été altéré trop fortement.

J'ai déjà fait remarquer plus haut, à propos des battements des intervalles harmoniques proprement dits, que jusqu'à présent on a voulu ramener les battements des intervalles larges à des battements de sons voisins de l'unisson. On supposait que le premier son différentiel des deux sons primaires engendrait avec ces derniers d'autres sons différentiels qui à leur tour produisaient des sons différentiels avec les sons primaires et avec le premier son différentiel, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrivait à deux sons

voisins de l'unisson auxquels on attribuait les battements observés. Ainsi, par exemple, pour expliquer les battements de la tierce majeure 4»: bn-\-x, on formait les sons intermédiaires

bn -f- x -

- 4ra = n -{- x

kn — [n -f- x) = 'in — x

bn -\- x

— (3ra — x) = In + 2x

kn — (2n -f 2x) = 2n

et l'on admettait que les deux sons 2n±2cc donnaient ensemble kx battements. Il est vrai que de cette manière on arrive toujours au nombre des battements observés, mais l'on est obligé d'admettre l'existence de sons que non seulement l'oreille ne perçoit pas, mais qui sont censés dériver de sons ou en engendrer d'autres qui euxmêmes ne sont point perçus. Dans l'exemple ci-dessus, les sons primaires 4» et b>i-{-x font entendre le son de battements n -\- x, d'une intensité déterminée; si alors On produit directement un son primaire n-\-x de môme intensité avec le son kn, ils donneront ensemble 4 ce battements, et non point un son 3 h — x, d'intensité suffisante pour donner naissance à d'autres sons à l'aide de combinaisons nouvelles. Ce son 3 ». — x ne serait ici qu'un son différentiel dont l'existence ne se laisse même pas constater.

On verra encore mieux combien l'explication des battements des intervalles larges par les sons résultants est peu acceptable, en examinant, au lieu d'un intervalle de la première période, un intervalle de la seconde ou de la troisième. Il a été constaté plus haut que des battements secondaires s'entendent distinctement sur l'intervalle 2 : 7. S'il a été formé à l'aide du son fondamental uts, les sons de battements sont l'un et l'autre Vutk, qui s'entend très nettement.

En désaccordant légèrement les deux diapasons, on écarte un peu les deux sons m et n-m, et ils battent alors comme feraient deux sons primaires de même intensité et diffèrent du même nombre de vibrations. On n'a donc besoin, pour rendre compte de ce phénomène, d'aucun autre son intermédiaire. D'après l'ancienne hypothèse, au contraire, il faudrait former l'algorithme suivant :

1n-\- x — 2n(ul^) = bn-\-x(ini6-\- x)

bn-j-x — 2n= in -f- x (sols -\- x) 7)i + x — Cin + x) = im(ut6)

bn -\- x — kn = n -f x ( u(4 -f x)

kn — (n -f- x) = in — x (sol^ — x)

et ce seraient finalement les deux sons 3n±x qui donneraient en-

semble 2cc battements. Mais de toute cette série de sons intermédiaires il n'existe aucune trace. Dos lors, si avec des sons,d'une intensité exceptionnelle, comme ceux dont j'ai fait usage, la production des battements secondaires par les sons résultants n'a pour elle presque aucune probabilité, cette probabilité disparait complètement lorsqu'on emploie des sons primaires simples plus faibles, comme, par exemple, ceux des tuyaux d'orgue fermés. Eu admettant d'un autre côté qu'il fût possible d'obtenir des sons primaires simples assez forts pour engendrer tous les sons résultants qui, d'après l'ancienne théorie, seraient nécessaires pour rendre compte des battements secondaires, il est probable qu'alors les deux sons m et m', ainsi que leurs battements , atteindraient à leur tour une telle intensité que les battements secondaires des sons résultants d'ordres supérieurs qui coïncideraient avec ces battements ne pourraient toujours représenter qu'une très faible partie de l'intensité des battements observés.

Pour donner une idée plus nette de l'ensemble de mes résultats concernant les battements et les sons de battements primaires et secondaires, j'ai formé le tableau suivant, où la première colonne (A) donne la valeur musicale et les nombres de vibrations simples des sons primaires; la seconde (B), leurs rapports n: n'; les colonnes G et D, les nombres des battements m et m'; les colonnes c et </, la hauteur relative des battements qui correspondent aux nombres m et m', par rapport au son fondamental ; dans les colonnes E et F, j'indique de quelle manière on entend les battements m et m' ; la colonne G renferme les battements secondaires dus aux concours des deux genres de battements primaires.

Je n'ai fait figurer dans ce tableau que les résultats perceptibles sans difficulté pour une oreille normale et lorsqu'on fait usage des sons que j'ai employés dans ces recherches, et j'en ai fait la remarque dans tous les cas où des sons n'étaient pas directement observables sans difficulté, dont l'existence était non seulement révélée par les battements secondaires, mais encore facile à mettre hors de doute par des diapasons auxiliaires, d'où l'on peut conclure qu'une oreille particulièrement fine et exercée parviendrait à les entendre directement, avec plus ou moins de netteté. Dans ce cas sont, par exemple, les sons de battements des intervalles ut. : mi. et ut^ : fa-. Les conditions supposées, — une «oreille

normale » et « des sons lels que ceux que j'ai employés », — manquent peut-être de précision, malgré l'indication des dimensions des diapasons et des résonateurs ; mais il est clair d'un autre côté que les phénomènes dus au concours de deux sons simples ne pourront être décrits d'une manière tout à fait précise, en ce qui louche leur intensité, que lorsqu'il sera possible en général d'exprimer par une mesure commune l'intensité des sons de hauteur différente avec la même précision que la hauteur s'exprime par les nombres de vibration

Quelques anomalies apparentes que l'on remarque dans ce tableau, — le fait que la série des battements secondaires s'observe moins facilement avec les intervalles qui ont pour son fondamental Yul- qu'avec ceux qui partent de Yutt et de Yutk\ — que les sons de battement font défaut avec les intervalles parlant du son fondamental utu qui dépassent 2:5, — ces anomalies s'expliquent, comme je l'ai déjà dit plus haut, par la faiblesse relative des sons primaires qui composaient ces intervalles.