io» + w
fia -|-(*ft V -4- »
et pour déterminer x on pose les équations
a«+3ia»+fia-fv = 0, ft» + V/ + fi6 + v = 0, c* + ic* + f^ + * = ^ï
Le système des équations (2) dans lesquelles >, /x et v sont les inconnues n'est autre que le système (1) (203) ; on a donc immédiatement
> = — (a -j- 6 + c), pt = a6 -|- ac + 6c, v = — abc^ et par suite la formule (3) donne
— abc
d^ — (a -f- 6 + c)tP -}- (a6 + dc + bc)d — abc '
ou, d après la formule du n® 24,
— - aie
(d — a) (d - fe) (d — c) '
on aura ensuite les valeurs de y^ z et u en permutant dans la formule précédente, d et a, d et 6, d et c.
Mft. Résoudre le système
m — o m — 6 ni— c
p — fe ' p-c
Dans le système que l'on rencontre en géométrie analytique a est nul, mais ici on a immédiatement introduit la lettre a ix)ur la symétrie, on la fera ensuite, si Ton veut, égale à zéro.
Méthode de M. Binet. — ' On considère l'expression
236 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉUSlMËNTAlRË.
et l'on remarque qu'elle est nulle, en vertu des équations (!), quand t est égal à m, n ou p. D'autre part, si jon réduit au même dénomijjateur tous les termes de l'expression on obtient un numérateur* de la forme :
fl -| B^* + C« + D ;
on peut alors écrire :
Mais le premier membre de l'égalité précédente étant nul quand on y fait t égal à m, n ou p, le second membre et, par suite, le numérateur de la fraction qui y figure est nul : on a alors (théorème (III), 17)
«3 + Bî* + et + D = (« — m) {t — n) (« — p),
(comme il a déjà été observé dans une circonstance analogue le nombre par lequel il faut multiplier le second membre est l'unité), et, par suite, on obtient l'identité
Si maintenant on veut obtenir la valeur de oî, on multiplie d'abord les deux membres de l'équalion précédente par t — a, et l'on a
Faisant ensuite t égal à a dans l'égalité précédente, qui a lieu quel que soit t, on arrive à la formule
On obtient ensuite les valeurs de // et z par la même méthode ou mieux par une permutation de lettres.
Métboiie (le M. L^iouviiie. — Ecrivons l'équation
t — a t--b t — c qui est satisfaite par les valeurs m^n, p données à ^, et aap-
posons d'abord que Ton veuille détorminer x. Prenons une variable auxiliaire T définie par l'équation
(2) f — a = T ; on aura alors Téquatiou
ou sous forme entière,
(3) T3 + AT« + BT — a? (a~6) (a — c) =0,
A et B étant des polynômes indépendants de T dont la forme explicite est inutile à connaître. Mais, à cause de l'équation (2), l'équation précédente en T est satisfaite par les valeurs m — a, n— a, p — a et son premier membre est, par suite, identiquement égal à
Alors, en égalant entre eux les termes indépendants de T dans le produit précédent et le premier membre de Téquation (3), on a
et en résolvant cette dernière équation, on retombe bien sur la formule déjà obtenue.
ÉQUATIONS QUI CÔiNrlËNNENT DES RADICAUX ET DONT LA HÉSOLUTION SE RAMÈNE A CELLE D'ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ.
MU. On sait que, lorsqu'on élève à une même puissance les deux membres d'une équation, on obtient ordinairement une équation plus générale que la proposée. Si donc, on donne une équation irrationnelle par rapport à l'inconnue et que, pour faire disparaître les radicaux, on élève les deux membres de l'équation une ou plusieurs fois à une même puissance, il n'est pas certain que les racines de Téquation rationnelle satisferont à Téquation proposée. On devra, en conséquence, faire la vérification. Je donne ici seulement un exemple.
Soit à résoudre l'équation
(t) V^r+5"^ Vj- — 5 =2.
ns guESTioNs d'algèbre élémentaire.
En isolant V ^+ 5 dans un membre et élevant au carré les deux membres, on a
et en élevant encore une fois au carré, on obtient
d'où
ÛL' =
On vérifie facilement que — r- satisfait à l'équation (1), car
après la substitution on arrive à l'identité
Si le second radical dans l'équation (1) avait été + ^ x— 5 ,
on aurait toujours trouvé pour x la valeur -^ , mais cette
valeur n'aurait pas satisfait à Téquation, puisque la somme
de -^ et — n^estpas égale à 2.
Remarque. — Lorsque l'équation ne contient que deux radicaux du second degré, et que la différence des quantitités sous les radicaux est, comme dans l'exemple, indépendante de (p, on peut faire le calcul plus élégamment comme il suit : on écrit d'abord l'identité
et quand on divise, membre à membre, cette identité et l'équation (1), il vient
(2) y/x + h + >Jx -h = 5.
Ajoutant maintenant, membre à membre, les équations (1) et (2), on a
2 V^ + 5 = 7, d'où en élevant au carré on obtient
x + b = — ou ^ = ^.
RÉSOLUTION ET DISCUSSION DE QUELQUES PROBLÊMES CONDUISANT À DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.
M9. Problème I. — Deuœ vases de capacités données v et y' contiennent, chacun, un mélange d*eau et de vin : quelle capacité doivent avoir deux vases égaux pour que les remplis^ sant à la fois, Vun dans Vun des vases donnés^ Vautre dans l'autre, .et versant dans chacun d'eux ce qui a été pris dans l'autre, la proportion du mélange devienne la même dans les deux vases ?
Soient n et n' le nombre de litres de vin contenus dans les deux vases, et x la capacité, exprimée en litres, des deux vases
qui opèrent l'échange. En retirant x litres du premier vase,
nx on ôte un nombre de litres de vin représenté par , puisque t; litres du mélange contenant n litres de vin, un seul litre
contient — , et x litres — x litres de vin : on voit de même
qu'on a retiré -7- x de vin du second vase. Mais le rapport du
nombre de litres de vin à la capacité du vase devant être le même dans les deux vases quand l'échange est fait, on a
d'où Ton tire
On voit que la valeur de x est indépendante de n et n' : cette observation suggère l'idée d'une autre solution.
Supposons que les deux vases t; et v' soient deux cylindres de même diamètre, et, lorsqu'ils sont remplis, réunissons-les par leui' orifice de telle sorte qu'aucune goutte de liquide ne soit perdue. Admettons qu'au bout d'un certain temps l'eau et le vin se répartissent également dans le double cylindre, il en sera évidemment de même des liquides primitifs considérés comme distincts. On voit ainsi que le problème proposé revient à obtenir dans les deux vases une égale répartition des deux
•ao QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
liquides primitifs, et alors l'équation du problème est évidemment
d'où Ton tire
vv' — ' £P (v + v^ = 0,
et, par suite, comme tout-à-rheure
909. PiiOBLÉME II. — Trois prés ont respectivement pour aires a, a', a'^ mètres carres, et Vherbe, d'abord de même hauteur dans chacun d'eux, y croit de hauteurs égales et pi^oportmnelles aux temps. Le premier pré peut nourrir n bœufs en t heures, le second n' bœufs en t' heures : on demande combien le troisième jrré peut nourrir de bœufs dans le temps V\
Soient h la hauteur primitive de l'herbe dans les trois prés, V le nombre de mètres dont l'herbe croît dans une heure, b le nombre de mètres cubes d'herbe que chaque bœuf mange par heure, et x le nombre de bœufs demandé. On a les équations
nbt=^ a[h -\-vt), n'bV = a\h + vt'), xbt'' = a"{h + vt").
En tirant les valeurs de h et de t; des deux premières et les substituant dans la dernière, on trouve
aa"n't'{t —t")+ a'a"nt{f — t') ^ ~ *aa\t - Vy
La solution de ce problème est remarquable en ce que sa mise en équation a été facilitée par l'emploi d'inconnues auxiliaires dont on n'a pas eu à déterminer les valeurs.
909. Problème III. — Étant données les deux bases ABet CD d'un trapèze {flg. 24), on propose de déterminer une droite EF qui partage les deux côtés non parallèles dans un rapport connu.
Les deux bases AB et CD sont désignées par a et 6, le
EA
rapport -~— , que Ton considère comme positif ou négatif siii-
vaut que les deux segments EA et ED sont du même côté ou
de part et d'autre du point E, est représenté en grandeur et en signe par k ; on appelle enfin x la Valeur positive ou négative de la droite £F, le signe de cette droite étant déterminé d'après le principe de Descartes généralisé (38). Sous ces conditions on a, pour déterminer EF en grandeur et en signe, la formule
/4V a — kb
(1) ^=-r=ir-
Pour établir la généralité de la formule on considère plusieurs cas de figure.
1* La droite est dans la position EF entre les deux bases AB et CD. Si l'on mène la diagonale BD qui coupe EF au point I et que Ton calcule IB et IF par des triangles semblables, on aura, en désignant par n et m des segments proportionnels à ÀE et CE
EI=î!ii-, FI = ^ ^*
d'où (2) EF=.^Î^.
On vérifie sans peine que la formule (2) est comprise dans la formule (1), car pour retrouver la première il suffit de remplacer dans la seconde x et A;, respectivement, par EF et
, conformément aux définitions données.
2* La droite est dans la position E'F' au dessous de AB. En
prolongeant ladiagonaleDB jusqu'à sa rencontre en V avec la
droite E'F', on voit que cette droite est la difTérence entre ET
et FTy et on obtient par un calcul analogue à celui du premier
cas
ma ^* fUf 3) E'F= -^ ■!—■ •
Mais cette formule se déduit de la formule générale en rempla-
çant X par E'F' et k par , le rapport -wfp étant actuellement, positif.
3"* La droite est dans la position W¥^' entre la base supérimre CD et le point de concours G des côtés non parallèles du trapèze. On vérifie la formule générale dans ce cas comme dans le précédent.
242 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRR.
4* La droite est dans la position W"V"* au delà du point 6. Dans ce cas, pour vérifier la formule particulière, on .devra se rappeler que la droite E'"F'", étant projetée sur le prolongement de AB à gauche de A, devra être considérée comme négative, d'après le principe de Descartes généralisé.
Extension de la formule {\) au trapèze du second genre. J'appelle ainsi le trapèze dans lequel les côtés non parallèles se coupent entre les deux bases. Une discussion toute semblable à la précédente fait voir que la formule (t) s'applique encore, mais sous la condition de considérer maintenant h comme ayant une valeur négative — CD, conformément au principe de Descartes (38).
•lO. Problème IV. — Étant donnés quatre points en ligne droite 0, a, b, c, on propose de déterminer, sur la droite qui les jointe un cinquième point i qui soit d'égale puissance par rapport à deux cercles qui passeraient respectivement par les points et cet les points sl et h.
L'équation générale de condition est
(1) ± io Xic = ± ia X ib,
Les signes supérieurs ainsi que les signes inférieurs étant pris ensemble et se déterminant par la règle connue (vpyei Questions de Géométrie, page 23).
On considère plusieurs cas de figure.
!• Les deux segments oc et ab sont intérieurs run à Vautre comme dans la figure 25. Si on suppose le point i à droite de 0, il doit évidemment, d'après la définition de la puissance d'un point, tomber à droite du point c, car dans tout autre position les puissances seraient de signe contraire ou manifestement inégales. Soient y la distance oi, et a, 6, c les distances oa, ob, oCy l'équation générale (1) donne alors
y(y^c)=(î/ — a)(y — 6), d'où
IjOrsque c est plus petit que a + 6, c'est-à-dire lorsque le point c est plus près du point b que le point o du point a, on trouve pour y une valeur positive, et Ton vérifie facilement que cette valeur est plus grande que c.
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. Wà
Remarque. — Si dans le cas actuel on avait supposé que le point i occupait une position quelconque à droite de o, on aurait toujours trouvé la formule (2), mais alors cette formule aurait appris que le point i est nécessairement à droite de c.
Lorsque les deux segments oa et bc sont égaux, c est égal à a-j-^î la valeur de y est infinie et le point i n'existe, plus.
Lorsque le segment bc est plus grand que le segment oa, G est plus grand que a -f- ^ et la valeur de y est négative. Le principe de Descartes conduit à placer le point i à gauche de o; c'est ce que confirme une démonstration directe, et ce qui est d'ailleurs évident a priori^ puisqu'on peut dire maintenant du point ce que Ton disait du point c et vice versa,
2* Les segments oc et ab (fig. 26), sont extérieurs Vun à l'autre. — Il résulte évidemment de la condition de Ténoncé que le point i est entre a et c, et on trouve, commç dans le cas précédent, que la distance oi est toujours donnée par fa formule (1). On vérifie d'ailleurs que la valeur de y donnée parla formule, est dans le nouveau cas, positive, plus grande que c, et plus petite que a.
3® Les segments oc et ab (fig. 27) empiètent Vun sur Vautre. — On démontre, comme dans les cas précédents, que le point i est toujours déterminé par la formule (2) et que ce point est situé entre a et c,
La généralité de la formule (2) est maintenant démontrée.
Ml. Problème -V. -— Étant donnés quatre points en ligne droite o, a, b, c, déterminer sur la même droite deux autres pints e et f, qui soient à la fois conjugués harmoniques des points et c et des points a. et h.
Si l'on prend le milieu i du segment ef, que Ton désigne par X la distance ie, et que Ton prenne pour inconnue auxiliaire la distance oi ou y, on verra que dans les trois cas de figure précédemment examinés, si Ton tient compte d'une propriété bien connue de la division harmonique {Questions de Géométrie y page 12), on a toujours
(t) ûfl=zy{y—c).
(On donne ici, bien entendu, des signes aux produits tels que iox/r.) Alors, en remplaçant dans l'équation précédente y
par la valeur que donne la formule (2) du problème précédent, on arrive à la formule générale
La formule (2) montre que, lorsque c — a et c — b sont de même signe, c'est-àdire dans les deux premiers cas de figure, les points e et f existent toujours, mais dans le troisième cas de figure^ c — a et c — fe étant de signe contraire, les points e et f n'existent plus.
Tous les résultats, auxquels a conduit la discussion des deux problèmes précédents, se vérifient sans peine, à Taide de la théorie des axes radicaux.
Les six points o, a, 6, c, e, /'sont dits en involution^ le point i est le centre et les points e et f les points doubles de Tinvolution.
