QUB8TI0NS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
1 , ?, 3, 4 et cherchons les restes de la division par 7 des produits : dans ce calcul on se servira du théorème III (279); et Ton s'ari'êtera lorsqu'on aura obtenu le reste 4. On trouve que le reste 4 correspond au multiplicateur 2 ; mais en divisant 14 par 5 on obtient pour quotient 2 : on a donc l'identité
et, par suite,
0? = 2, y + 7 = 2, ou
On a dit plus haut comment on obtenait une infinité de solutions, quand l'une d'elles était connue; mais je vais démontrer que, si (a, j3) est une solution de l'équation (1), on aura toutes les solutions de cette équation au moyen des formules
(3) x = a-{-bty y = j3 -j- aty
dans lesquelles t désigne un nombre entier quelconque, positif, nul, ou négatif.
En effet, a» donnant le reste c dans la division par 6, le nombre a(a-|-6^), qui diffère de aoc^ d'un multiple de 6, donnera le même reste c, et aucun autre nombre ne jouira de la même propriété (283). Mais le dividende augmentant de abt^ le quotient p de la division par b doit augmenter de at : les formules (3) sont donc démontrées.
Soit maintenant à résoudre l'équation
(4) ax -}- by'== c.
Posons y égal à — y' et désignons par a et /3' une solution de l'équation
(5) ax — fty' = c.
Les solutions de cette dernière équation seront données par les formules
x = a'\-bt, y' = /3' -f bL
On aura par conséquent les solutions de l'équation (4) au moyen des formules
ou encore, en remplaçant p' par — p, par celles-ci :
(6) a? = « + *^ y = P — cbt.
(a, j3) est évidemment une solution de l'équation (4), et on voit, comment cette solution étant connue, on a toutes les solutions de l'équation (4) par les formules (6). Appliquons la méthode à l'équation
(7) 7x + by = 39.
En changeant y en — j/ on retombe sur Téquation (2) précédemment résolue. On a trouvé une solution de cette, équation (2, — 5) ; toutes les solutions de l'équation proposée seront donc données par les formules
MIS. THÉOiiÈMB V. — s. et h étant toujours des nombres positifs premiers entre euœ^ et c un nombre positif quelconque, si on désigne par q la partie entière du quotient de c par ab, le nombre des solutions entières et positives de l'équation
aar -f- 6j/ = c,
sera toujours q ou q + 1 . (0 est considéré dans cet énoncé comme un nombre positif).
D'après les formules (6), pour que x et y soient positifs, on doit avoir
^> — -- et «<-7-;
Of
il y a donc autant de solutions entières et positives de l'équation qu'il y a de nombres entiers, positifs ou négatifs compris
entre r- et -^ .
premier ca»« — Les nombres -r- et -^ ne sont pas
entiers. — Soient — ^ — /"et — -|- /i, les nombres entiers,
respectivement, inférieur et supérieur à 7- et —, Il y
aura évidemment, entre les deux nombres entiers — r — f
et — + /iï autant de nombres entiers consécutifs qu'il y a a
d'unités dans leur différence diminuée d'une unité. Si donc on appelle n le nombre des solutions entières et positives de l'équation, on aura
40i QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Mais comme («, ]S) est une solution de Téquation proposée, le nombi'e aa, -f- b^ est égal à c, et il vient
Si maintenant nous désignons par f^ la fraction complémentaira de la partie entière g du quotient de c par a6, on aura
Comme, par hypothèse, — =- et r- ne soDt pas des nombres
entiers, /"et ^ sont des nombres positifs, différents de zéro, et plus petits que 1 . Le nombre /*+ /i + A — ' • <ï"i ®st entier, ne peut donc être égal qu'à zéro ou 1, et par conséquent le théorème est démontré.
beuxièioe ca». — L'un des deux nombi^es -^-r- et -^
OU fous deux sont entiers. Si le nombre — 7- est entier, on
-pourra prendre t égal à =- , et-a? sera égal à zéro, tandis que
y aura une valeur positive et entière, qui sera le quotient de c par 6. On prendra alors, dans la démonstration, le nombre
entier qui précède — , c'est-à-dire que l'on supposera f égal à 1. On fera une observation toute semblable pour le cas ou
— serait un nombre entier. Sous ces nouvelles conditions, la a
formule (1) est toujours applicable. Si Ton suppose d'abord que
l'un des deux nombres seulement — ,- ou ~ soit entier, le
nombre entier /"-f-Zi + A"" 1 se réduira à la somme de deux nombres différents dé zéro et tous deux plus petits que 1 . Ce ' nombre sera donc Tunité, et le nombre des solutions sera ^+1 .
Soient maintenant les nombres r- et — ^ tous deux
entiers. Les nombres f et /^ seront tous deux égaux à 1, et on peut voir facilement que ^2 est égal à zéro. En effet, comme
on Ta dit plus haut, — 7- étant un nombre entier, c est divi-
sible par i, et -— étant aussi un nombre entier, c est aussi di-
visible par a, et, par suite, par ab. Le nombre /-f-Zl+Zi""! est donc égal à 1 , et n est encore égal à ç -f- 1 .
Remarque. — Les deux cas où n est égal à g ou 7+I peuvent se présenter également. Ainsi, si l'on propose de résoudre en nombres entiers et positifs les équations suivantes :
(2) 5a? + 3?/ == 2, (3) 7x + by = 39,
(4) 4x + 3y = il, (5) 7a? + *3t/ = 61,
Pour les deux premières, le nombre des solutions est g, et pour les deux deanières, ç + 1.
Corollaire. — Lorsque c est égal ou supérieur à a&, on peut toujours résoudre en nombres entiers et positifs Téquation
ax -{-by =: c.
Quand c est plus petit que aft, le problème peut être impossible ou avoir une seule solution : les deux cas se rencontrent dans les exemples (2) et (4).
Je terminerai par un problème qui ne se rattache pas aux théories précédentes, mais qui est assez curieux pour qu'on désire en connaître la solution.
JtfMl. Problème. — Trouver une règle générale pour obtenir une infinité de nombres parfaits.
On appelle nombre parfait un nombre qui est égal à la somme de tous ses diviseurs, excepté lui-même.
Les deux formes générales les plus simples d'un nombre
sont, en désignant par a et b deux nombres premiers, a*" et a^b. Mais il est évideiit qu'on ne peut avoir
a"* = 1 + a -j- a' + • • • + tt"*~\
puisque, les deux nombres a -f- û^' + • • • + ^'""^ ^^ ^^ étant divisibles par a, leur différence 1 devrait l'être aussi.
Prenons donc un nombre de la forme a b : alors Téquatiou du problème est
a'^b = (a"* + a""* + . . . a + l) (1 + è) - a"6. Mais si Ton pose
Téquation précédente peut s'écrire ainsi :
2a"è=(a" + c)(l+6), ou encore.
La dernière égalité montre que a*" — c doit diviser 2o. Mais oT — c est premier avec c, puisque tout nombre, qui les
diviserait tous deux, devrait diviser leur somme a"*, et que a"* et c n'ont évidemment aucun facteur commun. Donc le diviseur oT — c est égal à 1 ou ?.
1® a* — c= 1. — En remplaçant c par la valeur que donne Téquation (1), et faisant la somme des termes d'une progression géométrique, on a
a — 1 ou
On obtient donc les conditions nécessaires
a = 2, c = 2"* — 1 , et il faut y adjoindre la condition
6=2-'*"* — 1 qu'on déduit de l'ôquation (2), en y remplaçant a par 2 et ù
par 2*" — 1. Il faut, de plus, que le nombre 2***"* — 1 soit un nombre premier. On voit donc que la formule
(3) ic = 2'~x(2~+*— 1)
donnera pour x des nombres parfaits pour toutes les valeurs
de m qui seront telles, que le nombre 2*""*"* — 1 sera un nombre premier.
On trouve ainsi les nombres parfaits 6, 28, 496 . . . qui correspondent aux valeurs de w, 1, 2, 4 . . .
2* a"* — c = 2. — En remplaçant c par sa valeur, on a
Le nombre a, divisant tous les termes de Tégalité jusqu'au
\ MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS. m
ab^ accroissemeuts de x et de y. multipliés respectiveme^i; par m et^, et Taccroissement de x étant plus petit que celui de y, ou voil^ue Taccroissement dew est négatif, c'est-à-dire que la fonction ^ est constamment décroissante.
2*^ m > K — On part alors de l'identité
(3) {mx — nj/)' — {nœ — my^) = (m* — n*) (a?* — y'), et, à cause des équations (1) et (2), on a
(4) w* =a {m* — n^)a^ + {nx — mj/)*.
On voit d'ailleurs, comme dans le problème précédent, que la quantité nx — my peut devenir nulle pour des valeurs convenables de a? et de y.
Cela posé, si on fait croître y depuis zéro jusqu'à la valeur
— qui annule nx — my, cette dernière quantité ira
en décroissant puisque n et Taçcroissement de x sont respectivement plus petits que m et l'accroissement de y, et elle
décroîtra jusqu'à zéro, y croissant ensuite depuis —
jusqu'à l'infini, my devient plus grand que nx^ et alors la
quantité (my — nx)* va en augmentaxit constamment depuis 0.
Il est clair que la fonction u varie toujours dans le même sens que (nx — tnj/)^, elle a donc d'alStord décru jusqu'à un minimum qui a lieu lorsque les variables x ety sont proportionnelles à m et 71, et elle a ensuite constamment décru.
D'après l'équation (1) on voit bien que la valeur initiale de u, c'est-à-dire celle qui correspond à y égal à zéro, est égale à tna, mais on ne sait pas immédiatement quelle est la valeur qui correspond k x et y infinis. Pour la trouver, on remarque que, l'équation (2) donnant
X* rr' *
la limite du rapport -^ quand x et y tendent vers Tiafini est l'unité. Alors si on écrit l'équation (1) sous la forme
t^ = a?jni— n— ), on voit que u est infini pour xeiy infinis.
\ 147. Problème VIII. — Etudier la variation de la diffêreftçe des carres de deux nombres^ lorsque la différenee des produits de ces nombres par des nombres positifs donnas est connue.
On fait Tétude â& la variation à laide de la même identité que dans le problème précédent, et on trouve un m^aximum qui a lieu dans les mêmes circonstances que le minimum de ce problème.
149. Appiiention des problèmes préc^eiiUi it l'étude des fonctions d*une seule varlabl^* — Si dans les
fonctions u des hait problèmes précédents on remplace y par sa valeur en fonction de x que donne l'é^Juation adjointe, on obtient
(5) u=mx + n>Jlfl^=¥'^ (6) u= ^'^^+<V^^^\
-,^. /— T ^ ,,,, n^x^ — (a — mx)*
(7j u = mx — -.n V a?« — a', (8) u = ^— —^
\ Les équations (1), (6) et (8) conduisent à des trinômes du second degré en j?, l'équation (2) doi;ine un cas particulier de la fraction dont les ternies sont des trinômes du second degré en X ; mais les équations (4), (5) et (?) donnent des fonctions dont nous n'avions jusqu'ici étudié la variation que d'une manière indirecte (problème III, 123).
GÉNÉRALISATION Dfi QUELQUES-UNS DES THÉORÉATlSS PRÉCÉDENTS.
Je vais maintenant démontrer quelques théorèmes qui s'appliquent à des fonctions d'un nombre quelconque de variables liées entre elles par une seule équation de condition. Ces théorèmes sont la généralisation de quelques-uns des théorèmes précédents.
149. Théorème I. — Un produit d'un nombre déterminé de facteurs^ dont la somme est constante, a sa valeur maxima lorsque tous ses facteurs sont éçaux.
Problème XT. — Un cône droit et circulaire est tangent à t)wîe sphère donnée, et sa base d>même centre que Ick sphère : qtMle doit être la hauteur de ce cône pour que son volume soit le ptus petit possible ? ■ /
On adopte toujours les mêmes notations : r e^i le rayon de la sphère, x le rayon de base du cône, y sa hauteur. On a
. Mais si on forme deux expressions du double de Taire d'un triangle rectaogle et qu'on les élève au carré, on obtient
ou
J--I-JL— 1
Posons
le minimum de u correspondra évidemment au maximum de V. Mais, à cause de l'équation (2), on est ramené à trouver le maximum d'un produit de deux facteurs, élevés respectivement aux puissances 2 et t et dont la somme est constante. Donc quand le minimum de v a lieu, on a
et en remplaçant — ^ par — y dans 1 équation (2), on trouve
— - = -— d'où y =?= r Vs!
Donc le cône a le plus petit volume, lorsque sa hauteur est égale au côté du triangle équilatéral inscrit dans l'un des grands cercles de la sphère.
MAXIMâ ET DE MINIMâ.
155. Lorsqu'on veut trouver le maximum d'un produit de facteurs dont la somme est constante, ces facteurs étant élevés
àHa même puissance ou à des puissances différentes, si Von sup^se que tous les facteurs aient été exprimés en fon(;tion d'une ^^eule variable, Tapplication des théorèmes I et V >(l49) et ( 1 53) )sonduit à autant d'équations qu'il y a de facteurs moins un. Or, comme une seule équation suffit pour déterniiner la valeur de la variable qui correspond au maximum, d^s que le nombre des fa(vteurs est supérieur à deux, on trouve, eu général, des équations de condition entre les données, qui ;ie sont pas satisfaites, et les théorèmes I et V ne sont plus immédiatement applicables. Mais IHntroduction de coefficients /indéterminés dans le calcul permettra souvent d'étendrs la méthode, fondée sur les thé(»rèmes citésV au cas d'un nombre de facteurs supérieur à*2 : c'est ce qu'on va faire voir sur deux exemples.
Problème I. — Aux quatre angles d^uné feuille de papier rectangulaire^ on enlève quçtre carrés é^auœ^ puis on forme avec la feuille ainsi découpée un pafàllélipipède rectangle dont la hauteur est égale au Mté de If un des carrés : on dedoit être le côté de ce carré pour que la boîte que l'on a conmande quel struite ait un volume aussi grand que possible.
Soit ABCD (fig. 18) le rectangle (ionné, et posons
AB = a, AD.= b\ AK = œ.
Le parallélipipède rectangle a pour base le rectangle EFGH dont les côtés EF et EH sont respectivement a^Zxetb — 2x; on a donc
La somme des facteurs dans Texpression de u n'est pas constante, mais il est évident qu'on la rend telle, en multipliant le dernier facteur par 4. On devrait donc poser, d'après la méthode comme,
a — 2a? = 6 — 2x = ix.
Mais la première équation donnant a égal à 6, on voit que le théorème I (149) n'est pas applicable à la fonction Au.
Voici maintenant comment on remplace la fonction w par une fonction v, maxima en même temps qu'elle, et tombant sous l'application du théorème I (149). Soient a,|3,7 trois coefficients constants, mais d'abord indéterminés : on pose
dernier 3 exclusivement, doit diviser ce nombre, et par conséquent lui être égal. Mais si dans l'équation de condition
on remplace c par — , puis a par 3, on a Téquation
qui ne peut être satisfaite que par m égal à 1. Alors c est égal à3 — 2oul.
Si maintenant dans l'équation (2) on remplace a par 3 et m et c par 1 , on trouve b égal à 2. On obtient donc un seul nombre parfait 6, et encore ce nombre fait-il partie de ceux qui ont déjà été donnés.
Remarque.. — Si l'on prend toujours pour point de départ l'équation (2), on peut encore faire la démonstration en considéî'ant deux cas, suivant que ft est un nombre premier impair ou qu'il est égal à 2.
Nota. — On ne connaît pas d'autres nombres parfaits que ceux que l'on déduit de la formule .(3).
