COMPLÉMENT DE LÀ MÉTHODE DE DISCUSSION EXPOSÉE AU N

fl#fl. Il peut arriver que la quantité m, par rapport à laquelle nous supposions les inégalités résolues dans l'exposé de la méthode précédente, puisse être inférieure, égale ou supérieure à une quantité donnée h, et que, suivant que Tun ou Tautre de ces cas se présente, le nombre ou le genre des solutions varie. Cette circonstance pourra môme se présenter plusieurs fois pour des nombres donnés ft, A, /. Alors, après avoir déterminé les valeurs maxima et minima p ei q de la quantité m comme il a été dit dans l'exposé de la méthode du n9 99, on rangera pai* ordre de grandeur croissante les quantités

p, A, kj Z, q. Si cet ordre est celui dans lequel les lettres viennent d'être écrites, on fera varier m depuis p jusqu'à /i, puis depuis h jusqu'à k et ainsi de suite, et on verra comment le nombre ou le genre des solutions varie quand m atteint et dépasse Tune des valeurs h, ft, l.

On pourra aussi, dans la discussion d'un problème, avoir à exprimer que certaines inconnues sont plus petites ou plus grandes que des limites données : alors on opérera d'après la méthode du n'» (96).

10j8. Je vais donner quelques exemples.

Problème I. — Étant données une sphère et une surface cylindrique de révolution qui touche la sphère suivant un grand cercle EA {fig, 6), on prend sur Vaxe du cylindre et^ à égale distance du centre^ deux points G et G pour sommets de deux cônes droits tangents à la sphère et prolongés jusqu'à la rencontre du cylindre: on demande de déterminer les points G et G de telle sorte que la surface totale du volume ainsi formé soit égale à une surface donnée.

Posons

OA = r, OC = ar, AB=î/,

et soit 27rra la surface donnée. En exprimant que la surface totale est composée de la surface du cylindre BDFH et de celle des deux cônes CDB, FGH, on a d'abord

^nry + 2irrx = 27rra, ou

(On a remarqué, que le triangle COB est isocèle et que GB est égale à OC ou x.) D'un autre côté le triangle CBK donne

ou

De l'équation (1) on déduit

et en substituant cette valeur dans l'équation (2), on a

(4) 5y« — 2ay + r« = 0,

d'où Ton lire

on a ensuite une valeur de x qui correspond k chacune des valeurs de y, au moyen de l'équation (3).

Discussion. — On remarque d'abord que lorsque AB ou y est plus grand que r, les deux cônes pénètrent dans Tintérieur du cylindre et que ce ne sont plus leurs surfaces qui touchent la sphère mais les secondes nappes formées par les prolongements de leurs arêtes. Nous appellerons uiïe pareille solution, du second genre, par opposition à la solution ordinaire qu'on appellera solution du premier genre.

Cela posé, on voit d'abord que la condition de réalité pour les valeurs de y est

Quand elle est remplie, les deux valeurs de y sont réelles. D'ailleurs Téquation (4) montre que ces valeurs sont toutes

deux positives et que chacune d'elles est plus petite que— , puisque leur sommp — - est plus, petite que . Alors Té-

quation (3) donne une valeur positive de x correspondant à chacune des valeurs de y.

On voit que, si Ton ne feiit aucune distinction entre les deux genres de solution, on peut dire que, dès que l'inégalité (6) est satisfaite, le problème a toujours deux solutions qui se réduisent à une solution double, lorsque a est égal à r \/ 5 .

Mais ici nous voulons distinguer les deux genres de solution et faire les trois hypothèses : y inférieur, égal ou supérieur â r. Pour comparer y kr substituons, suivant la méthode (96), r k y dans le premier membre de l'équation (4). On trouve pour résultat de la substitution 2r(3r — a) et l'on sera conduit à distinguer trois cas suivant que a sera inférieur, égal ou supérieur à 3r.

Maintenant, en nous conformant à la méthode du n" 101, faisons croître a depuis sa valeur minima jusqu'à l'infini en passant par la valeur 3r.

P rt = / yj^ . — (Pour les valeurs plus petites de a le pro-

blême est impossible.) Alors il y a une solution double du premier genre

r VT 2r yJJ

2** r V 5 < a < 3r. — a étant plus grand que r \/ 5 les valeurs de i/ et x sont réelles et positives, mais comme a est plus petit que 3r, le résultat de la substitution Aer ky dans le premier membre de l'équation (4) est un nombre positif. Les deux valeurs de y sont donc toutes deux plus petites ou plus grandes que r, mais ce dernier cas est exclu parce que

le produit des racines •— - est plus petit que 9r* : donc le pro-

blême a deux solutions du premier genre.

2® a = 3t. — Alors on trouve les solutions

y' z=zr^ x' = r ; y" =-r- , x":=-

La première donne la surface totale du cylindre circonscrit et la seconde est une solution du premier genre.

3** « > 3r. — La quantité 2r(3r — a) étant maintenant négative, l'une des valeurs de y est plus grande que r et Tautre plus petite : le problème a donc une solution du premier genre et une autre du second.

Voici un tableau qui résume toute la discussion :

Variation de a.

Nombre des solutions.

Problème II. — Connaissant le rayon r d'ime sphère et k surface totale 2nm^ d'un cylindre qui lui est inscrit, calculer le rayon de base et la hauteur du cylindre.

Soient x le rayon de base et 2y la hauteur du cylindre, les é'juations du problème sont

De la première on tire

et en substituant dans l'équation (2) la valeur que donne ré(|uation (3) on a

d'où

En prenant avec le signe + les racines carrées du second membre de l'équation précédente on aura deux valeurs pour ar, et en les substituant dans la formule (3) on aura pour chacune d'elles une valeur correspondante de y.

Discussion. — D'abord pour que les valeurs de a:* soient réelles on doit avoir

(m«4-2r«)*>5m*, ou

m« + 2r* > w« V'bT

d'où l'on déduit, après avoir fait passer un radical du dénominateur d'une fraction à son numérateur,

D'ailleurs, dès que les valeurs de x^ sont réelles, elles sont positives en vertu de l'équation (4) et, par suite, les valeurs de X sont réelles et aussi positives puisqu'on prend les radicaux avec le signe -|-.

Mais, pour qu'une valeur de x soit admissible, il ne suffit pas qu'elle soit réelle et positive, il faut encore, comme le montre l'équation (3), qu'elle soit plus petite que m afin que la valeiu* correspondante de y soit elle-même positive. Il n'y a point d'ailleurs d'autre condition : les inconnues x et y doivent, il est vrai, être plus petites que r, mais par cela seul que des valeurs réelles et positives de a? et j/ satisfont à l'équation (2), ces valeurs sont plus petites que r.

Il s'agit maintenant de comparer, sous le rapport de la grandeur, m' à l'une des valeurs de x* ou à toutes deux. ÎV cet effet

suivant la méthode du n* 96, nous substituons m' à .r* dans le premier membre de l'équation (5) qui est du second degré par rapport hœ^. Le l'ésultat de la substitution est km^ (m* — r*). Alors comme le pi-escrit la méthode (101), on devra faire varier m* depuis jusqu'à r*, ensuite depuis r* jusqu'au maximum

lo m* < r^, — Alors 4m* (m* — i^) est négatif : il y a donc une valeur de x* plus petite que m* et l'autre plus grande, et par conséquent le problème n'a qu'une solution.

2** m* = r*. — L'une des valeurs de x est m ou r et la valeur correspondante de y est zéro : le cylindi-e se réduit alors à ses deux bases confondues avec un grand cercle de la sphère. Quant à la seconde solution, elle est donnée par les deux formules

c'est-à-direqu'on a un cylindi'e semblable au litre. On a obtenu la seconde valeur de x en remarquant que le produit des deux

valeurs de x* est égal à — =— en vertu de l'équation (5) .

3* r' < m* < r* . -^ — ^ — . — Dans ce cas 4m* (rn* — r*)

est positif et les deux valeurs de x' sont toutes deux plus petites ou plus grandes que m^ ; mais cette dernière circonstance ne peut se présenter puisque le produit des va-

leurs de rr*, c*est-à- dire — -— est plus petit que m\ Donc, lorsque

m^ est compris entre r* et r* ^ , le problème a toujours deux solutions.

4® m' = 7'* - — — "t- - , — Alors il y a une solution double. On

ne donne pas à rrfl de valeur supérieure à r* -^ — ^ — puisque

le problème est dès lors impossible.

Si maintenant on désigne par S la surface totale du cylindre et qu'on multiplie par 2n les égalités ou inégalités précé'

dentés, on peut résumer la discussion dans le tableau siii* vaut :

Variation de S. Nombre de solutions.

S < 27rr« t

S = 27rr* 2

27rr« < S < 7rr«(v/y+ l) 2

S = 7rr« (v^"5'+ 1 ) l

S > Trr' {yjt+ l) ^

Problême III. — Inscrire dans un de mi -cercle dorme un rectangle, connaissant la somme de sa base et de sa hauteur.

Soient r le rayon du cercle, p la somme donnée, 2x la base et y la hauteur du rectangle, on a immédiatement les deux équations

(1) yJ^2x — p, (2) a?' + j/« = r«.

En résolvant le premier par rapport à y on a

et si on substitue dans l'équation (2) la valeur de y que donne l'équation (3), il vient

(4) 5a?2 — 4/73? + p« — r« = 0, d'où

(5) ^^iP±VpEZ.

On calculera ensuite y par la formule (3).

Discussion. — Dans ce problème nous admettrons les solutions négatives de x et de y. Quand x ^\. y seront positifs nous dirons que la solution est du premier genre : elle sera du second genre quand x sera négatif et y positif, c'est-à-dire quand la différence entre la base et la hauteur sera donnée, et on aura une solution du troisième genre quand, x étant positif et y négatif, on donnera la différence entre la base et la hauteur.

On trouve d'abord pour condition de réalité des valeurs de X

p <r\fb'.

On remarque aussi que les valeurs de x, d'après Téquatioii (4), soût toutes deux positives ; ou Tune positive et l'autre négative, suivant que p est plus grand ou plus petit que r.

D'un autre côté, on voit par la formule (3) qu'à une valeur positive de X correspondra une valeur positive ou négative de y, sui-

vant que x sera plus petit ou plus grand que -^ . Alors on doit,

P suivant la méthode, chercher le résultat de la substitution de -^

à a? dans le premier membre de Téquation (4). Ce résultat étant •^ — , on aura à examiner trois cas, suivant que p est inférieur, égal ou supérieur à 2r, le dernier cas étant possible

puisque 2r est plus petit que r V 5.

En résumé, on voit que les quantités que l'on aura à considérer sont, dans l'ordre de grandeur croissante, r, 2r et r ^ 5. Nous ferons donc varier p comme le demande la méthode, successivement entre et r, entre r et 2r, et enfin entre 2r et

r yfb7

i" p < r. Alors l'équation (4) donne une valeur positive et une valeur négative pour x, A la valeur négative de X correspond une valeur positive de y, on a donc toujours une solution du second genre. Maintenant la valeur positive de x est nécessairement plus grande

que -^ . En effet, p étant plus petit que r est, à plus forte, rai-

son, plus petit que 2r, et la quantité — — -r est négative.

P La valeur négative de x doit donc être plus petite que -^ et la

valeur positive plus grande, et, par suite, à la valeur positive de X correspond, en vertu de l'équalion (3), une valeur négative de y. On a, par conséquent une solution du troisième genre. Ainsi, quand p est plus petit que rie problème a deux solutions. Tune du second genre, l'autre du troisième genre. 2° p = r. On trouve dans ce cas

La première solution peut être considérée comme du premier

OU du second genre ; quant à la seconde^ elle est du troisième genre. Le cas actuel rentre dans le premier cas, mais on pourra aussi le faire rentrer dans le suivant.

3** r < p < 2r. Les deux valeurs de x sont maintenant

positives, mais comme la quantité -^ — est négative. Tune

des valeurs de x est plus petite et Tautre plus grande que -^ .

A la première correspond une valeur de y positive et à la seconde une valeur de y négative ; on a donc une solution du premier genre et une solution du troisième genre.

4* p = 2r. IjCS deux valeurs de x sont toujours positives,

©a — 4r« mais la quantité -^ — étant nulle, Tune des valeurs de x

est égale à - ou r, et la valeur correspondante de y est nulle.

On obtient la seconde valeur de x, -r^ ou -— , en retranchant

-~ de la somme des racines — |- , et Ton trouve --— pour va- Z 5 5

leur correspondante de y. On a donc deux solutions dont la seconde est du premier genre tandis que la première peut être considérée, à volonté, comme du premier ou du troisième genre.

5* 2r<p<r ^5. Dans ce cas les deux valeurs de x sont toujours positives, et je dis qu'elles sont toutes deux plus

petites que ~ . En effet, la somme des racines étant — ^

nombre plus petit que p, les deux racines ne peuvent être

toutes deux plus grandes que -^, et comme la quantité ^ ^

est positive, elles sont nécessairement plus petites que — .

Alors aux deux valeurs positives de x correspondent des valeurs positives de y et on a deux solutions du premier genre.

6** p = r v/TT On a une solution double du premier genre.

On ne fait pas varier p au delà de r \/ 5 puisque alors le problème devient impossible.

RÉSOLUTION ET DISCUSSION DBS PROBLÈMES. ill