SA

On construira la droite SE, on la portera sur SB en SE et la droite AE sera la droite demandée).

317. Partager un quadrilatère ABCD en deux parties équivalentes par une parallèle à l'un de ses côtés AB.

318. Soit un triangle ABC et supposons qu'on joigne les milieux A', B', C des côtés BC, CA, AB, puis qu'on joigne de même les milieux A", B", C" des côtés B'C, C'A', A' B' du triangle A'B' C'« et ainsi de suite. On demande la limite vers laquelle tend la somme des périmètres du triangle ABC et des différents triangles A' B'C, A"B''C", ....

Question analogue, en considérant les surfaces des mêmes triangles.

319. Soit un triangle ABC rectangle en A, et supposons que du point A on abaisse une perpendiculaire AD sur l'hypoténuse CB, que du point D on abaisse une perpendiculaire DE sur AB, que du point E on abaisse une perpendiculaire EF sur DB et ainsi de suite. On demande la limite vers laquelle tend la somme des surfaces des triangles ADC,DAE,EDF, ....

LIYRB III. — GHÀPITRB III. 83

g II. — Construction d'un rectangle équivalent à un carré donné et dont la somme ou la différence des dimensions est égale à une droite donnée. — Division d'une droite en moyenne et extrême raison.

Les trois problèmes que comprend ce paragraphe sont ordinairement résolus synthétiquement dans tous les Éléments de Géométrie ; nous allons les résoudre au moyen de TAlgèbre, en modifiant les énoncés des deux premiers.

320. Trouver deux droites x ety dont la somme est a et dont le produit est égal à m^ (En résolvant le système d'équations

xy = m% on trouve

A la première valeur de x correspond la première valeur de y^ et à la seconde valeur de x la seconde valeur de y\ d'où il résulte que le problème n'admet qu'une solution.)

Remarque I, — Pour construire la première valeur de x^ on prend d'abord la moitié AO de la droite donnée AB = /i et Ton ajoute à la suite le côté 0£ de l'angle droit d'un triangle rectangle 0£D, qui a

pour hypoténuse OD = - et /w pour l'autre côté de Tangle droit. On re-

trouve ainsi la construction synthétique connue.

Remarque II. — D'après cette construction, on voit que la moyenne arithmétique de deux droites inégales AE et EB est plus grande que leur moyenne géométrique.

Remarque III. — Pour que les valeurs de a; et de j conviennent à la question, il faut qu'elles soient réelles et que Ton ait

ni^ < -- ou au plus égal à -y • 4 4

Ainsi, le maximum du produit "de deux droites , dont la somme est constante, est le carré de la moitié de cette somme ^ ou, en d'autres

84 QUESTIONS PROPOSÉBS.

termes, si une droite a est divisée en deux parties, le produit maximum

de ces parties est —) c'est-à-dire le carré de la moitié de cette droite.

De plus, les valeurs de x et de j doivent être positives ; or elles le sont évidemment.

Remarque IF, — La résolution de cette question 320 donne le moyen de construire immédiatement les racines de Téquation homogène du second degré

ax — x^=^(f ou x(^a — jc) = ^'.

Elle donne aussi le moyeh d'obtenir les racines de Téquation

car les racines de cette équation ne sont autres que celles de Téquation précédente, changées de signes.

Remarque V, — Au lieu de considérer deux inconnues, on aurait pu n'en considérer qu'une. En désignant par ^ l'une des parties de a, l'autre serait a — x^ et l'on aurait à résoudre l'équation

x[a — a:) = /w*, ce qui donne encore

n , la

et, par suite,

a jd"^ - 2 V 4