CHAPITRE m

§ 1, II et III. — Mesure des angles dièdres, plans perpendiculaires

ou parallèles entre eux.

k02. Un angle dièdre ne peut être mesuré par un angle formé par deux droites menées d'un point de Tarête dans les deux plans, si ces deux droites ne sont pas perpendiculaires à l'arête.

Rnmarque, — Cette question est résolue dans la Note 58 de nos Éléments de Géométrie.

403. Quel est le lieu des points de l'espace équidistants de deux droites qui se coupent; de deux droites parallèles?

404. Quel est le lieu des points de l'espace équidistants de trois droites situées dans le même plan?

405. Par un point donné, on mène des plans perpendiculaires à des droites situées dans un plan P; démontrer que tous ces plans se coupent suivant une droite perpendiculaire au plan P.

406. Une droite, qui coupe deux plans parallèles, fait avec ces plans des angles égaux.

407. Si deux plans parallèles MN, PQ sont coupés par un troisième RS suivant les droites AB, CD, les angles dièdres correspondants RABN, RCDQ sont égaux. (La réciproque n'est pas vraie; mais, si l'on accorde à la fois que les angles dièdres RABN, RCDQ sont égaux et que les intersections AB, CD sont parallèles, on peut conclure le parallélisme des plans MN et PQ.)

Remarque, — Cette question est traitée dans la Note 59 de nos Éléments.

LIVRB V. — CHAPITRE III. Io5

&08. Quel est le lieu des droites menées par un point donne parallèlement à un plan donné?

409. Lorsque deux droites se coupent, les plans respectivement perpendiculaires à ces droites se coupent aussi.

410. Quel est le lieu des points également distants d'un plan donné?

411. Par une droite parallèle à un plan, on peut mener un plan parallèle au premier, et Ton n'en peut mener qu'un.

412. Par deux droites non situées dans le même plan, on peut mener deux plans parallèles entre eux, et l'on n'en peut mener que deux.

413. Si deux plans P et Q sont respectivement parallèles à deux plans P' et Q' qui se coupent, l'interseciion des deux premiers plans est parallèle à celle des deux autres.

414. Deux angles dièdres, qui ont leurs faces respectivement parallèles ou perpendiculaires, sont égaux ou supplémentaires.

415. Démontrer que les milieux des quatre côtés d'un quadrilatère gauche sont situés dans un même plan.

416. Lorsqu'une droite divise proportionnellement deux côtés opposés d'un quadrilatère gauche, si l'on mène une seconde droite qui divise aussi les deux autres côtés en parlies proportionnelles, ces deux droites se rencontreront.

Remarque, — Celte question est résolue dans la Note 60 de nos Eléments.

§ IV et V. — Angles trièdres, angles polyèdres. — Propositions diverses.

417. Dans tout angle trièdre SABC, les plans perpendiculaires à ses faces et passant par les trois bissectrices des angles plans de ce trièdre se coupent suivant une même droite. (On s'appuiera sur la question 403.]

418. Dans tout angle trièdre SABC (^g^. i6), les plans menés par les arêtes perpendiculairement aux faces opposées se coupent suivant une même droite. (Soient SAD, SCE les plans menés par SA, SC, perpendiculairement aux faces SBC,

Io6 QUESTIONS PROPOSÉES.

SBA, et qui coupent ces faces suivant les droites SD, SE, et supposons que d'un point quelconque B de Tarête SB on

abaisse sur SD et sur SE les perpendiculaires BDC, BEA, et qu'on joigne AC,AD, CE; les droites AD, CE, qui se coupent enO, sont deux hauteurs du triangle ABC, et par conséquent BOF est la troisième hauteur; alors la question revient à démontrer que le plan SBF est perpendiculaire à la face SAC; etc.)

Remarque, — Cette proposition n'est plus vraie lorsque Fangle trièdre est trirectangle.

419. Dans tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une même droite.

420. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et les bissectrices des faces opposées se coupent suivant une même droite. (On procédera comme dans la question 418, seulement on aura à considérer les trois médianes du triangle ABC]

Observation, — On voit sans peine que les quatre propositions précédentes sont analogues à quatre propositions de la Géométrie plane.

421. Si, par le sommet d'un angle trièdre, on mène dans chaque face une perpendiculaire à l'arête opposée, ces trois perpendiculaires sont dans un même pian. (Car chacune des perpendiculaires est aussi perpendiculaire à l'intersection SO des trois plans, menés par les arêtes perpendiculairement aux faces opposées.]

422. Couper un angle polyèdre à quatre faces SABCD par un plan, de manière que la section soit un parallélogramme. (Le plan de la section doit être parallèle au plan déterminé par les intersections des faces opposées de l'angle polyèdre.)

423. Tout plan, perpendiculaire à l'une des arêtes d'un angle trièdre rectangle, coupe cet angle trièdre suivant un triangle rectangle.

424. Quel est le lieu des points équidistants des trois arêtes